研究数学

小时候，我们曾经在课外书中读到过欧拉自学数学、刻苦钻研并为后人留下了包括柯尼斯堡七桥问题的解决方案、各种欧拉公式在内的很多数学经典研究成果；我们也曾经了解到过，著名数学家陈景润为钻研数学废寝忘食，并发表了《组合数学》、《初等数论》等经典学术论著。不论是他们钻研科学的锲而不舍精神，还是那勇攀科学高峰的坚定信念，都令我们每一位后人在敬佩之余，对他们更加肃然起敬！数学家陈景润雕像的确，我们每一个人在成功的道路上，都需要那种锲而不舍的精神和勇往直前的坚定信念。然而，上世纪末，某地的一个农村也曾经出现过一位“农村数学家”*清（如下图所示），而他的遭遇，却令我们每一个人都不由得感到唏嘘不已。这究竟是怎么一回事呢？“农村数学家”*清1980年，*清凭借着众人羡慕的高分被哈工大建筑材料系热处理专业录取，全村人都敲锣打鼓欢送他入学。进入大学后， 他前两学年的成绩一直不错。后来在大三那学年，他在图书馆里读到了《哥德巴赫猜想》，从那时起，作为大学生的他便开始“废寝忘食”地把全身心都投入到了“数学研究”之中，一心要证明哥德巴赫猜想并研究出质数在自然数中的分布规律。为了研究，他岂止废寝忘食，后来专业课都不上了，学习成绩很快就被拉下来了。后来，辅导员老师得知他研究数学到了“茶不思饭不想”的地步，曾找过他并劝他至少要完成学业后再搞研究。可惜，他“钻研”得太深，沉浸于其中根本无法自拔，离校时可想而知，他肄业了。回到了家里，他仍一如既往地把自己所有的精力投入到“证明哥德巴赫猜想”和“质数在自然数中的分布规律”之中。别人给他介绍工作后，他总是去几天后觉得“无法专心研究”，主动辞职继续回到家中搞研究。草稿纸、证明纸积累了一麻袋又一麻袋，连他的弟媳都看不下去了，觉得本家的大哥怎么这么没有担当。可至于他的“研究成果”，曾经受到过国外一名数学家的青睐，要求他回信解释一下某个细节，他回信后，那位国外数学家便杳无音信。他自认为“证明了哥德巴赫猜想”，便托关系（通过高中同窗*明）找到了北京某知名大学的一位数学教授。在*明的死缠烂打之下， 那位教授才勉强同意看看*清的研究成果，前几页还证明得比较顺利，可在几页之后便发现“证明过程似乎有些牵强”。如今，*清只能依靠低保勉强度日，当村民们提起他时，都“一致认为”*清已经完全堕落了，和当年那个在敲锣打鼓声中被送上大学之路的那个人相比，已经判若两人。“农村数学家”*清的遭遇不禁让我们都感到扼腕叹息。本来一个智商很高的年轻人，却因钻研数学而无法大学毕业，甚至最后都到了依靠低保度日的地步。难道数学天才就要付出这样的代价吗？可你仔细想想，在全国范围内，又隐藏着多少我们所不知道的数学天才。例如，一位位中小学数学奥林匹克竞赛的奖牌获得者，一位位大学生数学建模竞赛获奖者，包括很多年前少儿频道曾播出过的《数学跷跷板》节目中的一些出色选手。他们在长大后有几个人像*清那样，因研究数学而导致最后到了靠低保度日的地步呢？难道“钻研”有错吗？可你仔细想想，不论是科技的日新月异，还是社会的发展与进步，都离不开各领域优秀专家“锲而不舍”的钻研。江泽民爷爷曾经说过这样一句名言：“创新是一个民族进步的灵魂，是一个国家兴旺发达的不竭动力。”可*清到底是哪里出了错呢？其实，答案很简单——他没弄清现实。而他对现实的疏忽，主要体现在以下两点：1、他没弄清自己真正的水平。想必，他总是以“数学家”来“自居”，总觉得“依靠自己的知识能力一定能证明哥德巴赫猜想并找到质数在自然数中的分布规律”，可实际上他的水平能达到吗？要知道，欧拉、陈景润都是读了多少数学著作、经过了多么高深的教育之后，才发表的真正属于自己的数学学术著作。而单凭*清在高中、大学所学的那么一点数学知识，又怎能和欧拉、陈景润那样真正的数学家相“媲美”呢？2、他没有认清自己的生活中什么是主要的，什么是次要的。在众多数学奥林匹克竞赛中获奖的选手中，很多获奖选手不仅数学好，其他文化课也好，显然他们并没因“爱好数学”而耽误到其他文化课的学习。想当年，笔者在小学数学课上也学到过“质数”，但由于在寒假备课时就已经对“质数”产生了兴趣，再加上伯父后来在数学方面的一些引导，笔者曾经利用课余时间，用“自创的方法”找到过1000以内的全部质数，令周围的很多同伴都感到万分惊讶！但不论怎样，笔者当年的文化课成绩始终是班级甚至全年级的第一名，周末上的英语班根本没因“找质数”而受到任何干扰，而且还在课余时间让自己强化、提高了另一种计算机输入法！同样，对于*清来说，顺利毕业并成就自己的事业，才是他一生的主旋律。钻研数学本来没错，但相比于一生的规划来说，在地位上最多只能作为一个“兴趣爱好”。其实，对于*清来说，最好的办法就是，让自己在正常的学习（以及工作）生活不受到任何的不良影响的前提下，每日或每周抽出点时间来让自己“钻研数学”，不论自己是否研究出了一些成果，都无所谓，至少不会因此而影响到自己的整个人生路，不会让自己因“钻研数学”而倾其所有甚至是“荒废一生”。*清的遭遇真正带给大家的教训，并不是“千万不要搞数学研究”，而是“先弄清楚现实再研究”。在我们的日常生活中，一些比较现实的人往往更容易在自己的人生路中获得成功，毕竟他们一方面知道自己的真正水平，一方面他们也知道自己的生活中什么是主要的、什么是次要的。要知道，只有认清现实，才能让我们在人生的航行中永远不偏离轨道；只有认清现实，才能够让我们在掌控自己的“人生之舵”时能够根据环境来随机应变，进而调整到最佳的方向。希望任何一个有“数学天才”或其他领域“科学天才”的人，都要深刻吸取农村数学家*清的教训，千万不要因自己“脱颖而出的一面”而让自己在人生之路上迷失了方向。关注教育，我们一起提高，四海兴家教永远与你同在！

导语：数学研究，究竟是以实际应用为目标，还是一小拨高智商人群的自娱自乐？数学的意义在何处？来自加州大学洛杉矶分校的Amir Alexander带你通过历史寻找答案。1842年，著名的德国数学家雅可比（Carl Gustav Jacobi）受邀在曼彻斯特的一个学术会议发表演讲，他的一番话让在场的英国听众都大跌眼镜：“科学的最高荣耀，是无用。”面对着台下震惊的物理学家们，他继续说，科学的真正目标是“人类精神的荣光”，而最终能不能带来实际用途并不重要。雅可比没能使大家改变看法。在跟他哥哥的通信中，他带着满意的口吻说，他的一番话让大家都“大摇其头”，毕竟英国作为欧洲制造业的首都，那里的科学家们自然也都是以促进工业进步为终身事业的。然而，雅可比周围的德国数学家们可不这样——他们都同意雅可比的观点，认为数学真理是独立存在的，不需要其他东西来证明。确切地说，没人（包括雅可比）能否认在某些领域，数学是很有用的，而且正是数学让现代技术得以迅速发展。然而，在其他领域，包括一些最伟大的数学发现所在的领域，数学好像并不能提供任何形式的实际用途。其实，数学的这个特点，自它诞生的时候就伴随着它了。几何学，作为最古老的科学之一，虽然其名字（geometry）告诉我们它起源于土地测量这一实用的技术，但到了公元前300年欧几里得将它总结编纂成《几何原本》的时候，它离实际应用已经很远了。举个例子，在《几何原本》第五卷的命题16提到了圆内接正15边形——那时候的实际生活中哪会用到正15边形呢？而谁又会用到阿基米德发明的那个计算抛物线所围的面积的聪明方法呢？而到了现代，数学在非实用的道路上越走越远。与雅可比同时代的数学家伽罗瓦（?variste Galois，1812-1832）由于发现了用标准代数方法判断任意一个方程是否可解的方法而永垂不朽。这是数学史上的大事——然而这个方法是如此麻烦（伽罗瓦自己也坦然承认），以至于仅仅对一个方程作出判断，就可能耗费一个数学家一生的时间。同样是在19世纪，非欧几何诞生了。这个领域描绘了一个奇妙的世界，在这个世界里图形的形状取决于它们的体积。之后，康托尔又发现了无穷大的不同阶次，这在数学界引发了一场暴风骤雨，而对圈外人来说，只是一阵小小的涟漪罢了。有的时候人们会说，在数学的某些领域，虽然研究时并没有以实际应用为目标，最终却产生了令始创者都没有想到的实际应用。然而，高等数学领域是例外：绝大多数的高等数学研究，自被发现以来，都一直保持着原初的状态，看不到任何投入实际应用的可能性。所以说，高等数学就仅仅是一群受过高度训练的专业人员玩的智力游戏吗？如果是这样，我们为什么还要在意这些成果呢？对于这个问题，伟大的英国数学家G.H. 哈代，给出了一个答案：“如果非要给真正的数学赋予意义的话，那么只能将其看作是艺术。”这个回答可能会让雅可比感到高兴，但对于那些一心想要为数学找到一个实在用途的人们来说，或许并不会满意。所以这里给出另外一个答案：数学是关于秩序的科学，而一直以来，人们都在用数学来规范他们的人生、社会和世界。想想柏拉图的例子吧——这位古希腊哲学家曾经在自己的学园门口刻上这样的字样：“不懂几何者，不得入内。”他对几何学如此热爱，以至于不仅将它视为获得最高真理的典范，也视为获得他崇尚的政治秩序的基础。几何学中的每一件事都有着清晰、理性、不可动摇的位置，而柏拉图的理想国也是如此，在国家的阶级体系中，每一个人都有明确的位置。柏拉图设想的由哲学家统领的、等级严明的寡头政治体系放到今天或许会让大家感到排斥，然而从他所在的时代一直到今天，他的理想国对改革者们来说一直都是一个文明有序的社会范本。使用几何学中的原理来构建有序社会和国家，这种想法到后世仍然有人采用。17世纪，耶稣会试图用几何原理的模型来改革天主教会体系，并以此支持教皇集权和不可动摇的等级制度。法国的路易十四国王也建造了如下充满各式各样几何图形、令人眼花缭乱的凡尔赛花园，作为自己权力的象征。花园中的每一块石头、每一朵花、每一棵草都严格遵照几何学规则，放在应放的位置，而所有的这一切都指向国王的宫殿——那是所有直线的焦点。另一方面，反对等级制度的人们却乐于将数学作为自己的理论基础，为他们的事业贡献力量，积极发扬新的“等积原理”（method of indivisibles，又称“卡发雷利原理”）来代替死板的几何学。而这方面最典型的代表就是微积分。在微积分建立初期，它的原理看起来是有矛盾的，人们对它的了解也不完善，但它仍然产生了很多优美而强大的结论。对于追随者来说，微积分就是放下教条主义、直奔实际目标的典范。数学不仅影响了政治，也影响了文化潮流的走向。19世纪早期，受浪漫主义运动影响，高等数学拒绝与自然世界相结合，转而走向另一个只由数学定理统治的世界。正像那个时期的浪漫主义画家、诗人和作曲家一样，数学家试图脱离充满缺陷的、堕落的现实生活，追寻一个由真理与美构成的完美天国。而到了20世纪初，非欧几何的发展颠覆了我们对真实世界看似不言而喻的假设，我们所处的欧几里得的世界竟然只是无穷可能性中的一种——这一发现大大影响了现代美术和文学，使它们摒弃了单一视角的叙述，开始采用多重视角。这只是一个小小的例子，表明数学已经影响了一代又一代人的生活，但我希望它已经足够说明数学的确很重要。并不仅仅是因为数学的研究结果可能在某一天会派上用场，创造出先进的科技，也因为我们人类历史上的最高目标——对秩序和意义的寻求，永远将我们带回到数学的怀抱。（作者：Amir Alexander，在加州大学洛杉矶分校任教；翻译：丁家琦；审校：朱佳莲）

现代数学是从17世纪牛顿和莱布尼茨开始的，莱布尼茨虽然是德国人，但跟法国做卧底多年，入门也是法国数学家领进去的，所以多少也可以算半个法国血统的数学家了。集合论／Set theory 此图为二个集合交集的文氏图上图：马克·罗斯科 20世纪最著名的色域绘画抽象大师 他的作品和画风被认为是抽象表现主义的典范之作；下图：马克·罗斯科的代表作《橙，红，黄》通过大幅矩形色块的色彩重叠，表达情绪与主题，作品呈现一种“有机”图形的抽象主义面貌太多人以为数学内容是考试才用的，公平的说，纯计算的部分是这样的，而且往往占比很大，但除去计算的体力劳动外，数学教育中其他部分就是训练你的大脑进入“抽象连接状态”。没有系统学过数学的人，大脑是无法顺利切换到这种状态的。而这种状态下，我们可以出现更高效的理解，归纳，分类。人类文明的晋级也是从具象---抽象的过程。上图：约翰·凯奇 美国先锋派古典音乐作曲家； 下图：约翰·凯奇代表作品 1952年作曲的《4'33"》，全曲三个乐章，却没有任何一个音符，其作品的核心观念是无声不存在，诸声皆是乐，打破人们对音乐的固有理解一个人的智力发育也是从具象---抽象；甚至连艺术领都是从具象---抽象的过程。因为我们的智力活动复杂高级了以后，抽象是必经的高级阶段。笛沙格定理的描述，笛沙格定理是欧几里得几何及射影几何的重要结果可能有些人认为，我不需要抽象化思维，因为我不看抽象派画作，我不听抽象派音乐。那也错了，因为就算是写实的油画中，对光线的分布，对色彩的调和，想要进一步理解，也需要抽象思维。毕达格拉斯发现三角形的三边可能会有不可通约性而数学训练可以让每个人在短时间内系统化的进化智力。比如在课程下面的评论中我就能看出有些同学是缺少这些训练的，有些则非常系统。鹦鹉螺的对数螺线是刻划与微积分相关之增长、变化概念的经典图像上图：奥古斯丁·路易·柯西 法国数学家；下图：柯西教科书的扉页所以学习数学对每个人都有切身利益。但好像很多人没有意识到这一点。就算是在上学的，接受高等教育的同学也放弃了大量训练机会。用单位圆定义三角函数我们当然可以放弃很多用计算器可以解决的步骤，但我们要珍惜那些用计算器解决不了的数学过程，这是训练中的精华所在。GIF三角级数波恩哈德·黎曼 德国数学家，黎曼几何学创始人，复变函数论创始人之一上图：格奥尔格·康托尔，下图：俄罗斯康托尔的纪念碑

科学技术是世界性的、时代性的，发展科学技术必须具有全球视野。当前，科技创新的重大突破和加快应用极有可能重塑全球经济结构，使产业和经济竞争的赛场发生转换。在十一大学科领域整体层面，美国最为活跃，研究前沿热度指数得分为 226.63 分，位居全球首位。中国以 151.29 分位居第二。英国和德国的研究前沿热度指数得分分别为 77.81 和 73.86，排名第三和第四名。中国，数学领域排名前三的前沿占比为50%，也就是说中国在数学领域一半的前沿排名前三。以数学领域为中间点，中国在下方五个领域超过一半的前沿排名前三。上方五个领域排名前三的前沿都低于一半。新浪VR知识星球报告库上万份报告，所有新浪VR报告都将由管理员上传（包含部分未在其他平台发布的非互联网相关报告）VIP用户福利不定时开启，前1000名还能领领优惠券性价比更高！ 新浪VR，早一天看见未来。

11 月 8 日，新华社报道称，中国科学技术大学教授陈秀雄、王兵在微分几何学领域取得重大突破，成功证明了“哈密尔顿-田”和“偏零阶估计”这两个国际数学界20多年悬而未决的核心猜想。日前，国际顶级数学期刊《微分几何学杂志》发表了这一论文——《Space of Ricci flows (II)—Part B: Weak compactness of the flows》。论文主要研究高维凯勒里奇流的收敛性。而该期刊是几何学领域的顶尖刊物，发表过多篇划时代的数学论文，如哈密尔顿关于里奇流的奠基性工作。背景知识微分几何学是数学的一个分支学科，它主要是以分析方法来研究空间（微分流形）的几何性质。应用微分学来研究三维欧几里得空间中的曲线、曲面等图形性质的数学分支，差不多与微积分学同时起源于 17 世纪。微分几何学的研究对物理学、天文学、工程学等学科的发展产生巨大推动作用，欧拉、蒙日、拉格朗日以及柯西等数学家都曾为微分几何学的发展作出过重要贡献。里奇流（Ricci flow）诞生于20世纪80年代，是一种描述空间演化的微分几何学研究工具。在微分几何中，里奇流是一种固有的几何学流动，它的主要思想是让流形随时间变形，即是让度规张量随时间变化，观察在流形的变形下，里奇曲率是如何变化的，以此来研究整体的拓扑性质。它的核心是哈密尔顿-里奇流方程，是一个拟线性抛物型方程组。王兵教授做了一个形象的比喻：比如说我们吹一个气球，气球不断膨胀，就可以用“里奇流”来研究它空间的变化，最后得到一个“尽善尽美”的理想结果。研究过程及历史地位据悉，他们的研究耗时5年，论文篇幅长达120多页。王兵说，“就像在写一篇小说，不同之处在于，靠的是逻辑推导而不是故事情节推动。”由于篇幅浩繁、审稿周期漫长，这篇论文从投稿到正式发表又花了6年。不过，这么长的发表周期在数学界并不鲜见，因为审稿人需要足够多的时间去了解新的概念和方法。这篇论文引进了众多新的思想和方法，对几何分析，尤其是里奇流的研究已经产生了深远的影响。事实上，利用这篇论文的结果，陈秀雄、王兵等给出丘成桐稳定性猜想基于里奇流的新证明，并发表在行业顶尖刊物《几何与拓扑》上。丘成桐稳定性猜想的第一个证明由陈秀雄，唐纳森和孙崧给出。他们的证明得到了学界的首肯，因而为他们赢得了声誉卓著的维布伦几何奖。此外，该论文的核心思想也被王兵和李皓昭推广到平均曲率流的研究，并成功解决了著名的延拓性猜想，成果发表于数学四大期刊之一的《数学新进展》。《微分几何学杂志》审稿人评论认为，这篇论文是几何分析领域的重大进展，将激发诸多相关研究。菲尔兹奖获得者西蒙·唐纳森称赞说，这是“几何领域近年来的重大突破”。人物简介王兵教授（左一）和陈秀雄教授陈秀雄教授是国际著名的几何分析专家。美国威斯康星大学终身教授，美国纽约州立大学石溪分校教授，上海科技大学数学科学研究所创始所长，特聘教授 。被聘为中国科技大学“吴文俊讲席教授”。其主要研究领域是大范围微分几何及非线性偏微分方程，是该领域国际著名的数学家。陈教授主要着力于研究Kahler几何中的极值度量，Kahler-Ricci 流和Calabi流的研究，其成果被认为是近十年以来 Kahler 几何重要进展的一个组成部分。前法国数学会主席、前欧洲数学主席、现巴黎高等研究所所长 Jean-Pierre Bourguignon撰文说陈秀雄是在 Kahler 几何领域作出主要贡献的数学家之一。王兵教授是我国微分几何领域杰出青年科学家。1998 年王兵入学中科大少年班学院，2003 年赴美，求学于威斯康星大学麦迪逊分校数学系，于 2008 年博士毕业。此后历任普林斯顿大学讲师、石溪大学西蒙斯几何与物理中心研究助理教授以及威斯康星大学麦迪逊分校助理教授、副教授（终身教职）。2018 年王兵教授回到中科大数学科学学院工作。王兵教授的研究专长是几何流，特别是凯勒里奇流、里奇流和平均曲率流等。主要研究方向包括微分几何、代数几何、偏微分方程。部分资料来源：新华社、科技日报、搜狗百科等

他是中华人民共和国的同龄人，是国际数学界最高荣誉“菲尔兹奖”首位华人得主。他不断呼吁，数学强则国家强，希望能让更多人领略到数学之美。来听中国科学院外籍院士、哈佛大学教授、清华大学数学科学中心主任丘成桐与我们分享《文化与创新》。以下为丘成桐演讲实录：大家好，我是丘成桐，今年70岁了。我花了不少时间研究数学以及和数学有关的学问，尤其是物理方面的数学。首先我想告诉大家，我们要研究的是大自然最奥秘、最基本的原理，以及它们在科学上的应用；在观察和推理大自然基本原理时，尤其要注重用数学方法量化研究。所以，做科学家不应是为了拿诺贝尔奖或菲尔兹奖，也不单是为了做教授或在科学院里面做院士，而是想要深刻地了解大自然的奥秘——这一点很重要。听起来有点奇怪，为什么这一点很重要？举个例子，二十世纪最伟大的科学家大概是爱因斯坦。他不仅创立了广义相对论最重要的方程，还对重力场和宇宙的结构有很深刻的理解。爱因斯坦起初不太相信量子力学，在20世纪30年代与朋友玻尔（Niels Bohr）的争论中，提出了“量子纠缠”说法。“量子纠缠”在今天很红，但当时的科学家普遍认为很荒谬。爱因斯坦一个基本的想法，就产生了几十年以后的量子纠缠科学。所以无论看起来多么荒谬的结论，只要理论上、观察上、推理上合理，就是正确的。我们就会对大自然有很深刻的了解，对工业界以及其他方面有很重要的贡献。我小时候在香港长大，家里很穷。我父亲是个大学教授，但当年大学教授薪水很低，再加上我一家有十口人，除父母外还有兄弟姊妹八个，所以生活很苦。我父亲不懂数学，他是个历史学家，也是个哲学家。他教了我很多学问，包括四书五经、中国诗词歌赋，还有西方哲学，尤其是古希腊哲学。我十岁开始学这些东西，对我以后一辈子的研究产生了很密切、很深刻的影响——四书五经里很多内容不见得我们今天还喜欢，但至少它给了我为人处事很重要的启发和指导；诗词歌赋让我做人、做学问的素质有所提高；哲学，尤其古希腊哲学，对我做学问形成宏观看法很有帮助。我坦白讲，很成功的中国科学家很多，但有宏观看法、能够带领全世界科学发展的实在不多。而我们需要宏观的看法。我接触过很多很有才华的中学生，他们对数学、物理、生物等学科有很大兴趣，但家长往往希望他们去念金融，因为金融赚钱，这对小孩子来讲不是好事情。我父母从未要求我念一门能赚钱的学科，而是允许我去做自己喜欢的事情——所以我选择了数学。当时，很多同学和朋友都觉得奇怪，但我父母觉得可以。我念数学不是为了以后要做什么事情，就是为了兴趣，这对我很重要。孔子说过，三年无改父之道，可谓孝矣。就是鼓励“以孝治天下”，大家都跟着父母走。我觉得这说法不对。我们不能单纯地跟着父母、老师走，而是要学他们走过的路，因为只有学懂前人走过的路，才会知道怎么向前走出新路。从古到今，包括牛顿和爱因斯坦，我们都是站在巨人的肩膀上，沿着他们走过的路走来。我们学习他们走过的路，但要晓得，要走出未来自己的路。我父亲也一直鼓励我去走前人没走过的路，不要只是把考试题答得很好。我父亲写过一本书，叫做《西洋哲学史》。他在书里引用了《文心雕龙》里几句话，我觉得很重要，影响了我一辈子——“嗟乎！身与时舛，志共道申！标心于万古之上，而送怀于千载之下！”这几句话的大意是：我的身体会慢慢不见、死掉，但我的志气跟想法会在著作中得以申诉，能跟古人有来往和交流，也会流传于千载之后——这就是中国古人讲的“不朽”。正因如此，我后来一直想做一些不朽的学问。1969年，我到加州伯克莱大学念书。当时，那里是全世界最重要学问的中心。通过研究大师们的想法，我想把几何学跟分析学（尤其是非线性方程）融合起来。为什么想融合起来？我的主要目标是研究一个新工具，能够解决几何学上一些很悬而未决的重要问题，这些问题跟物理学等其他学科也密切相关。我的导师是当时最伟大的几何学家陈省身先生，他是“纤维束理论”的创始人之一。纤维束理论后来成为了高能物理最重要的研究基础，现在还影响到了凝聚态物理。可以说，所有的物理都跟纤维束理论有关。“陈类”是陈先生创造的一个几何工具，看起来只是陈先生学问的一小部分，但它很重要，我极为景仰。陈类有一大组，我只研究它第一步（即第一陈类），想建立起微积分和代数的桥梁。我对第一类陈类情有独钟，终生不渝。一直到今天，我还在用跟陈先生不一样的想法和各种不同的方法研究第一陈类。其实，它也影响了我五十年来的工作，涉及到了物理和很多其他学科，我有点名气也跟这个有关。当时，我们需要构造大量有意义的空间，这些空间还必须具备良好的弯曲曲率——可惜我们对空间还不大了解，找不到。我认为这也正是当时几何学没有较大进展的原因。所以当我在图书馆里找到卡拉比先生（Eugenio Calabi）的一篇文章时，我非常高兴，因为它提供了一个解决问题的方法。在我开始提出研究卡拉比猜想时，陈先生不以为然，他认为没有意义。但我还是坚持——我做这个数学问题不是因为它能使人成名，而是因为它重要。我觉得如果不解决这个问题，几何的大流就不能流通；它就像长江里面的大石头，堵住了水的流动，只有挪开才知道会发生什么。但看到我的研究进展顺利，陈先生也慢慢改变了态度。所以陈先生很伟大，对好的学问愿意兼容并蓄，能够采取改进的态度。我们常说“真理只有一个”，不是谁随便讲对或不对。其实数学就是真理，不可能有错，因为全都用逻辑方法推理。无论哪个学者讲不同意见都没有用，所有伟人的意见在真理面前都变得渺小。历史上很多划时代的贡献，完成时可能和出发时的目标和想法完全不同。很多人觉得没有完成原本定下来的目标就是一个极大的失败，这是错误而不科学的观点。他们忘记了严格证明某种事情是不可能达到的，本身就是一个很有意思的成就。所以，我们找寻真理要有崇高的志愿，也要能够经得起失败的挫折。我从读研究生开始就研究卡拉比猜想，一共花了六年功夫。头三年因为对学问的了解不够深刻，基本上是随波逐流。当时我和其他学者的想法一样，认为卡拉比猜想不可能正确，所以不停想找反例。后来当我经历了很大的痛苦和挫败后，才晓得方向走错了。我为什么要提挫败的经验呢？因为它其实会影响人的一辈子，我们要在挫败后站得起来。我当时做卡拉比猜想已经有三年，听到过很多难听的话。但我还是站了起来，因为我期望能解决这个问题。既然走错路了，那就反过来走。几十年后，我为当时的心境写了一首诗——“苟真理之可知，虽九死其犹可悔”——当时年轻，真的是这个想法。换路后要从基础做起，中间花的功夫实在不少。我那时已经在斯坦福大学做教授，就找了学生和朋友一起做这件事情。右边是我的学生孙理察，拿过很多大奖，也是国际上有名的大师。当时我二十多岁，他只比我小一岁，所以也是我一同打天下的朋友。我们一群人努力将几何分析这门学科一步步建立起来，是个很伟大又很重要的过程。卡拉比-丘（Calabi-Yau）空间自成为一门很重要的学问，已经发展四十年了。直到现在，还有很多物理、数学、数论、几何领域的重要学问围绕着这个空间。很多人来问：这个空间究竟是什么呢？从数学上讲，这个空间是不包含物质的真空环境，但它有重力场，还有内对称的空间（内对称有时也被称为超对称）。对称很好理解。左跟右是对称，上跟下是对称，旋转也是对称。那什么叫内对称呢？举个通俗的例子，假如空间里不同地方有两个天文台A和B，它们都在观察同样的天象。为了比较观察结果（如果不同结果无法比较，物理定律就不成立，所以一定要作比较），我们将A的望远境通过不同路径运到B，移动时尽量保持望远镜方向不变。结果发现，当空间曲率不为零时，不同路线得到的结果不同，因为转了个角度。你可以亲自试试，将一个东西沿圆的切线移动到另一处，很容易转。路线很多，转的角度也很多。再假设天文台A和天文台B各有十台望远镜，两边都分两组（天文台A的十台望远镜分为C、D两组，天文台B的十台望远镜分为E、F两组），然后我们依次把天文台A的望远镜移动到天文台B。这回无论走任何路线，C组望远镜总是移动到E组望远镜中的一个方向，D组望远镜总是移到F组望远镜中的一个方向。虽然也存在转动，但总有一组方向不变。具有这样性质的空间，我们说它存在内对称。希望你们能接受这个解释。内对称空间不多也不少，卡拉比-丘空间就是之一。这种空间有内在美，不像外在美能看到很明显的上下对称；同时它又是真空的，所以画出来就是常见的图画，看不出有什么对称——外在美里面的内在美是用数学才能够描述出来的。1976年，我27岁，终于完成了卡拉比猜想。开始主要是在数学上应用，但后来物理学家也认为是个很重要的工具，所以也慢慢跨出去，开始在其他领域应用。有媒体记者问我当时的心情，我用了宋词来描述：“落花人独立，微雨燕双飞”。因为这个空间实在太美妙了，我想不到我能够构造出这样的空间出来。我在中学的时候念过一首《青年向上歌》，那首歌讲：“我要真诚，莫负人家信任深。我要坚强，人间痛苦才能当！”做学问的过程也是这样。我做学问从来都是为了真理来奋斗，能成功跟当年有很密切的关系。我个人认为世界上没有天才，要经过火的精炼才能够完成一流的工作，才能够有好的事情出现。谢谢大家。演讲嘉宾丘成桐：《文化与创新》 | 摄影：VPhoto

阿贝尔是19世纪挪威最伟大的数学家，在数学上做出了巨大的贡献，其学术成果超前时代太远，令当时的数学大师都无法看懂。如此繁多而重要的研究成果，可供后世的数学家研究150多年。无奈天妒英才，阿贝尔年仅26岁便离开了人世。一生的经历极为坎坷，与同时代的数学天才伽罗瓦有着同样的不幸遭遇，令人叹息。阿贝尔出身清贫，但自幼聪明好学，很小就展现出了异于常人的数学天赋，在老师的悉心引导下，认真学完了牛顿、欧拉、高斯等著名数学家的著作。年纪轻轻的阿贝尔不但能够深刻的掌握这些数学著作高深的理论，而且能够敏锐地发现这些理论中的缺陷。不幸的是，在阿贝尔18岁的时候，他的父亲去世了，家庭中的经济状况变得更加糟糕，以至于只能依靠老师的资助，才得以进入大学学习。在阿贝尔22岁的时候，发表了一篇名为《一元五次方程没有代数一般解》的论文，解决了250年以来悬而未决的著名难题。他信心满满的将这份伟大的研究成果寄给当时著名的数学家高斯，然而高斯看都没看，就把它丢在了书堆当中，之后不知所踪。阿贝尔寄出稿件之后，苦苦地等候回音，却如石沉大海，杳无音讯。无奈之下，阿贝尔只得将这份学术成果刊登在了他朋友创立的一份纯数学杂志的第一期。阿贝尔的才华没有得到赏识，但是他依然没有停下研究数学的脚步。在阿贝尔24岁的时候，完成了一份有关“超越函数”的研究报告，这份报告即为今天的“阿贝尔定理”，奠定了“阿贝尔积分”和“阿贝尔函数”的理论基础。阿贝尔将这些伟大的研究成果寄给科学院，论文寄到了大数学家“傅立叶”的手里，傅立叶将论文交给数学大师“勒让德”和“柯西”审阅，然而可惜的是，柯西将稿件带回家去之后，并没把这事放在心上，随手一丢，竟然弄丢找不到了。阿贝尔的一次次希望换来了一次次失望，一篇篇论文寄出之后，如泥牛入海，音信全无，这位年轻的数学天才没有引起任何人的注意。更不幸的是，他在这一段时间染上了可怕的肺结核，刚开始时，他还以为只是普通的感冒，但他还不知道，他此时的生命，己经开始进入倒计时。26岁的阿贝尔贫病交加，不得不找了一份代课教师的工作，用微薄的收入来维持生计。生活的困境并没有消减阿贝尔对数学研究的热情。他在这弥留人间的短暂时间内，艰难地完成了大量的数学研究工作，创立了著名的“阿贝尔方程”和“阿贝尔群”的理论，对“现代数学”的发展做出了不可磨灭的贡献。阿贝尔对“无穷级数”进行了深入研究，得到了一些重要的“判别准则”和“幂级求和”的定理，极大的推动了“分析的严格化”理论，阿贝尔指出，必须“严格限制”滥用“级数展开及求和”，这一思想的提出，对“第二次数学危机”的彻底解决起到了至关重要的作用。1828年冬天，阿贝尔的病情突然恶化，第二年四月，阿贝尔去世了，年仅26岁！去世之后，他的老师为他出版了文集，其伟大的数学成果才得以流传于世，为现代数学的发展注入了全新的血液。直到阿贝尔去世之后，人们才认识到了他数学研究成果的重要性，无数的荣誉接踵而来，他被任命为柏林大学的数学教授，与数学家“雅可比”共同获得了法国科学院大奖，然而这一切都已经太迟了！小伙伴们，你们对此有什么看法呢？欢迎留言讨论。

前一篇专栏“成绩差点没关系”中把教育目标分了三个层次，分别是基础知识，思维方法，实际应用，其中思维方法是我重点阐述的核心。接下来，我把数学思维方法从“数学思维方法研究的对象和内容”，“数学思维方法的产生，发展与层次性”，“数学思维方法与数学教育”三个方面作一个概述，科普，帮助大家对数学思维建立一个理性认识。数学思维方法研究的对象和内容数学思维方法研究人们从事数学活动时思维发生，发展的规律，以及这些思维规律所具有的方法论意义上的特征。由于数学思维方法的研究具有思维活动的心理学特征和思维科学的特征，因此它必将涉及和运用一些心理学，思维科学中的概念。具体的说，数学思维方法将把思维，数学思维，数学发展中的发现，发明与创新的思维过程作为自己的研究对象。一．思维与数学思维（一）思维数学思维是从属于一般思维的，要讨论研究数学思维，就必然涉及心理学与思维科学的研究成果。心理学给思维的定义是：思维是人脑借助于语言对客观事物的本质及其规律的间接与概括的反映。从思维科学研究的角度分析，思维是作为人的个体理性认识事物的表现，它通常可以分为抽象（逻辑）思维，形象思维和特异思维（包括灵感思维，特异感知思维等）。目前，有关思维科学的研究正在积极进行中。思维是一个复杂的心理过程，当客观事物作用于人脑时，人脑会对各种信息有一个分析，综合，比较，抽象，概况，系统化，具体化的过程。作为一种认识过程，思维是在感性认识基础上进行的理性认识，它属于认识过程的高级阶段。举个例子，在对三角形的认识中，感知只能认识到三角形的形状，颜色和大小，而思维则舍弃三角形的这些表象特征，概况出三角形都具有三个角，三条边和三角形内角和等于180度等共同的本质特征。1. 思维的特征（1）思维的方向性思维的方向性特征又称为目的性，探索性或问题性特征。所谓思维的方向性，是指思维在对事物的本质及其规律的寻找过程中，总是以解决问题作为方向，也就是说思维总是沿着解决问题的方向发展自己。问题在思维中起到一种激励作用，它是思维探索活动的动力，同时也是思维活动的路标和指南针。（2）思维的概括性思维的概括性特征是指思维不仅仅依赖当前的刺激和直接的感知，它还具有舍弃某些事物的表象而直接进行抽象概括的特征。即把同一类事物的共同的，本质的特征或事物间的规律性的联系，抽取出来加以概括。举个例子，人们通过对大小不同圆的圆周与其半径的推算，舍弃了圆的大小及半径的长短，抽象概括出一切圆的周长与半径之比都是一个常数。思维的概括性包含两层意思：第一，能把一类事物中的共性加以抽象概括；第二，能从部分事物的相互关系中抽象出普遍的或必然的联系，并把它推广到同类的现象中去。（3）思维的间接性。思维的间接性是指人们凭借已有的知识经验或以其他事物为媒介，间接地推 知事物过去的变化，认识事物现实的本质，预见事物未来的发展。在数学研究中，思维的间接性十分明显。因为数学本身就是一种非现实存在的理性构造，人们就是运用了间接性的思维特征，才从已有的数学成果中获得了新的理论。2.思维的分类根据不同的分类形式，思维有不同的表现形态。（1）根据思维的形态不同，可以将思维分为动作思维、形象思维和抽象思维。动作思维是指以实际的动作为支柱的思维，也称为操作思维或实践思维。它的特点是直观的、在实际操作活动中产生和进行的。3岁前的儿童思维就以动作思维为主。形象思维是指用表象进行分析、综合、抽象、概括的过程。形象思维中的基本单位是表象，幼儿在3～6岁的思维多属于形象思维。成人的思维中也有形象思维的发生，特别是艺术家、作家、导演等更多地运用形象思维。数学家有时也借助形象思维来表述某些抽象的概念，当然，成人的形象思维与儿童的形象思维有本质的差异。抽象思维是运用概念、判断和推理的形式来反映事物本质的思维。这种思维是以概念为支柱进行的思维，人们把它看作是人类思维的核心形态，又称为理性思维。抽象思维的形式又有形式逻辑与辩证逻辑之分，两者既有区别又有联系。形式逻辑的概念具有抽象性和确定性，辩证逻辑的概念具有具体性和灵活性。数学作为一种形式逻辑思维的表述过程和构造形式，它在发生发展的过程中也具有辩证逻辑的形式。如微积分中极限概念的产生、发展和最后定义，就明显地表现出辩证逻辑思维的形式。（2）根据思维过程的指向不同，可以将思维分为集中思维和发散思维。集中思维又称求同思维，聚合思维或纵向思维。集中思维是指把问题的各种信息集中到一起求出一个共同的，单一的，确定的答案。如果某个问题只有一个正确答案，思维的过程就是要找出这个正确的答案。发散思维又称求异思维，分散思维或横向思维。发散思维是指思考问题时，从一个目标出发，沿着各种不同途径去思考，寻找各种可能的正确答案。这种思维无一定的方向和范围，不墨守成规，具有更大的主动性和创造性。科学家的发明创造，艺术家的艺术作品，理论家的新观点和新创见，多得益于发散思维的成果。（3）根据思维的智力品质不同，可以将思维分为习惯性思维和创造性思维。习惯性思维是指用惯常的方式，固定的模式解决问题的思维。这种思维较为普遍，人么总愿意用旧有的，习惯的方式去解决问题，可以不费太大的努力就得出答案。这种思维缺乏主动性，有时会产生错误的认识。创造性思维是指有主动性和创新性的思维，它没有固定的模式和方法，也不遵循已有的思路。创造性思维利用已有的信息独立思考，根据问题和情境创造性的探索答案。创造性思维往往是逻辑思维和非逻辑性思维的有机结合。（二）数学思维的概念与特征数学思维是人类思维的一种形式，具有思维的一般规律与特征。1. 数学思维的概念一般的说，数学思维就是数学活动中的思维。更确切的说，数学思维是人脑在和数学对象交互作用的过程中，运用特殊的数学符号语言以抽象和概括为特点，对客观事物按照数学自身的形式或规律做出的间接概括的反映。数学思维是由数学对象，并且主要是由数学问题推动发展的。可以认为，数学问题是推动数学发展的动力和方向，当然解决问题也正是数学思维要达到的目的。从本质上说，数学思维的过程就是不断提出问题和解决问题的过程，数学思维的能力也就是提出数学问题，解决数学问题的能力。数学问题解决的差异代表了不同的数学思维表现形式，解决不同的数学问题就形成了不同的数学思维规律。可以认为，数学问题对数学思维的启动，导向，展开都起着决定性的作用。注重数学问题在教学中的作用，有着十分重要的意义。从数学问题解决的角度分析，数学思维总是指向问题的分析，问题的变换和问题的最后解决。在这一点上可以认为数学思维与数学问题解决是密不可分的。我们还可以把数学思维简单的分为具体实践问题的数学化思维和具体数学问题的解题思维。前者是应用数学中数学家们要进行的数学思维，后者则是数学教育尤其是初等数学教育中常见的数学思维。下面举一个高中数学中具体数学问题解决的数学思维的一个例子，它表明了数学思维在数学问题解决中的变换。例 已知 a,b,m ∈R+,且a>b,求证：（a+m）/(b+m) < a/b解题思路（1）：由于待证式中的字母均为正数，容易看出，它等价于更简单的下述问题变换为： 已知a,b,m ∈R+,且a>b,求证：（a+m）b < (b+m)a解题思路（2）：待证式还等价于（a+m）/(b+m) - a/b < 0,因此它就变换为更加开放的下述问题变换为：已知a>b>0,且m>0,比较 （a+m）/(b+m)于 a/b的大小解题思路（3）由待证式（a+m）/(b+m) < a/b 的两边取倒数，则有(b+m)/(a+m)>b/a。故原问题又等价于下述问题变换为：已知a>b>0,且m>0, 求证(b+m)/(a+m)>b/a解题思路(4)若把待证式稍加变换为 （a+m）/(b+m) < (a+0)/(b+0), 则可更一般化的进一步变换成（a+x2）/(b+x2) < (a+x1)/(b+x1),其中a>b>0,x2>x1>=0，则原问题的较强命题就是下述问题变换为：已知a>b>0,，证明函数f(x)=(a+x)/(b+x)在[0,+∞）内是严格单调的减函数。它的证明较简单，只需在x2>x1》=0的情况下，验算f(x2)-f(x1)=（a+x2）/(b+x2)-（a+x1）/(b+x1)= -（a-b）(x2-x1)/(b+x2)(b+x1)<0即可。2. 数学思维的特征数学思维的特征重要表现在它的高度抽象性，形式化的严谨性和表现方式的多样性。数学思维的高度抽象性，是指在数学思维的过程中把思维对象的某些现实的属性舍弃，把思维的对象抽象化为一定的数量关系，空间形式或逻辑关系，然后再把这些特定的数学关系表示成为一般的符号形式。数学思维的抽象性，还指它不仅仅停留再一次抽象的基础上，通常的数学符号形式可能经过多次的抽象。有时由于数学问题本身就已经抽象化了，因此这种思维过程更属于高度抽象化的形式。于人类的所有思维形式相比，这种完全认为创造的符号化的数学语言，是数学思维高度抽象化的基础。数学思维形式化的严谨性，是指数学思维发生，发展和表述的过程，是一种形式化的严密过程。这种过程的逻辑性，严密性，准确性不容许又一丝差错，不允许有对与错之间的状态。正是数学思维的这种形式化的严谨性，使数学成为人类所有科学形式的最终表达手段。数学思维表现的多样性，是指在数学思维的过程中，尤其在解决具体数学问题时数学思维并不是严格的逻辑演绎，并不都是三段论式的证明形式，这些只是数学思维最后的表现形式。隐藏在这些抽象，严谨形式之下的是在数学思维中出现的猜测，试错，想象，着觉，审美等思维形式。这种数学思维的多样性特征，不仅表现在数学家处理，解决数学问题的思维特征上，而且表现在普通人的数学思维活动中。现在数学教育理论的研究表明，数学思维的非逻辑演绎的多样化思维在中小学的数学活动中也是十分重要的，数学作为一种自由创新的学科，它的猜测，试错，想象，着觉，审美等思维形式有时比逻辑演绎和公理化数学思维更重要。二．数学思维方法数学思维方法是由数学的符号，概念，语言，按照数学特定的规律，法则，运用数学思维在数学领域中形成的一种方法。数学思维方法具有一般科学的方法论的特征，当然作为特定的数学形式，它又有着自身的特殊形式。按照数学思维方法运用的领域，表现形式不同，可以将数学思维方法做如下几种形式的分类。（一）按照数学思维方法适用的范围不同，可以把它分为宏观思维方法和微观思维方法宏观数学思维方法，也称基本或重大的数学思维方法，是指对整个数学领域都产生重大影响的数学思维方法，如公理化思维方法，变量分析的思维方法等。这些思维方法曾极大地推动了整个数学的发展。当然这些思维方法又和哲学思想及科学思想的一般方法相联系。微观数学思维方法，是指对某个数学分支发挥作用或由某些数学家群体使用的数学思维方法，如代数的一些思维方法，几何学的一些思维方法等。微观数学思维方法中还包括数学问题解决或数学问题发现的一些具体的思维方法。（二）按照数学思维的逻辑形式不同，可以把它分为逻辑思维方法和非逻辑思维方法数学思维的逻辑思维方法，主要是指按照形式逻辑的方式展开数学思维的方法。数学的定理证明及理论构造都是严格按照形式逻辑的思维方式展开和构成的，可以说数学的结果都是按照形式逻辑来表现的。数学思维的非逻辑思维方法，是指在数学思维中运用的猜想，直觉，灵感，形象等思维方式。这些思维形式经常地，大量地出现在解决数学问题之中，在现代的数学教育理论中，人们越来越认识到非逻辑思维在数学学习和数学教育中的地位。（三）按照数学思维解决问题的方式不同，可以把它分为程式化思维方法和发现性思维方法数学的程式化思维方法，是指按照数学习惯的，原有的方式来解决问题。在数学学习和解决问题中这种方式表现为规范的逻辑演绎方式。数学的发现性思维方法，也可以称之为创新性思维方法。这种思维方式的特点是它不遵循程式化的逻辑演绎的数学思维方式，而选择带有个人特性，主观色彩，独立特性的思维方式。现代数学教育理论十分注重这种与传统数学思维相区别的发现式思维方式。（四）按照数学教育的阶段或数学分支领域的不同，可以将其分为不同的带有专业特征的思维方法如按数学分支的差异，我们可以分为几何思维方法，代数思维方法，微积分的思维方法，概率统计的思维方法等。尽管现代数学的发展使某些数学分支之间的界线有些模糊，但对于初等数学或一般高等数学阶段的学习而言，不同数学分支的数学思维方法都由起自身的明显特征。对初等数学的学习而言，集合对应的思维方法，公理化结构的思维方法，空间形式的思维方法，变量与函数的思维方法等都是具有初等数学特征的一些思维方法。对于小学数学教育而言，数学教师应当更加自觉的掌握和运用具有小学数学特征的思维方式，以便使自己的数学教学更符合小学的思维阶段性特征。（五）在学习某个数学分支的数学思维中，我们还可以把数学思维分成不同的思维方法这主要包括：建立数学概念的思维方法；解决数学问题的思维方法；论证表述数学命题的思维方法；构建数学理论体系的思维方法/在数学的发展历史中，笛卡尔创立解析几何的过程可以为我们学习，考察数学思维方法提供一个很好的例证。笛卡尔是人类文化史中的一位伟大学者，被公认为是接触的近代哲学家，是第一流的物理学家，是近代生物的奠基人，同时他还是解析几何的创立者之一（另一位是费马）。笛卡尔创立解析几何的思维方法，可以看作是数学中重大的思维方法。笛卡尔在创立解析几何时是这样思考的：任何问题→数学问题→代数问题→方程求解。这里的思维方式实际上代表了笛卡尔的哲学思想，尽管这种方法没有最终实现，但正是这种重大的与当时传统方法不同的思维方式，使笛卡尔创立了一种几何与代数相结合的道路。作为一种具体的思维方法，笛卡尔把代数与几何相结合，尤其在当时的历史背景中突出了代数的重要地位。它使当时的人们能够认识到，在几何形式上互不相关的问题，可以用代数的方法归为一类。线性代数中的二次型就是利用代数的方法讨论二次曲线，二次曲面的分类。同时，作为一种微观的数学思维方法，笛卡尔开创的代数与几何相结合的思维方式，已经成为我们今天解析几何教学中必须遵循的一种思维方法。例如，在解析几何中讨论空间坐标系，曲面上点的性质与坐标系中方程的关系时，都要明确指出：曲面上点的性质可用点的坐标x,y,z之间的关系式F(x,y,z)=0表示；同时每一个方程F(x,y,z)=0都表示空间的一个曲面。方程与曲面的一一对应的思维方式已经成为解析几何学习，研究和教学的一个基本的思维方式。

来源：金融界网站此前，《管理世界》的文章《经济学研究中“数学滥用”现象及反思》曾引发激烈的讨论，事实上广大经济学研究者早已对经济学中研究的数学方法使用尤其是越俎代庖成为研究的核心和亮点的现象有了诸多不满，对数学滥用类似的问题讨论，也不是时到今日才开始的反思。现代经济学从某种程度上来说就是在一套又一套数学模型提出、被质疑、修改和继续被质疑的进程中发展起来的。从整体角度来说，其实我们根本无法说清，数学究竟是成就了今日的经济学，还是摧毁了今日的经济学。经济学的数学化进程大致开始于19世纪中期之后，人们开始借鉴物理学中数学模型的使用方法，将其用来分析现实中比较复杂的经济现象，比较有代表性的就是微积分的引入及其边际研究方法轰轰烈烈地展开。此后大量数学领域的知识被逐渐引入了经济学科之中，包括线性代数、泛函分析、随机过程理论等等，尽管并没有人说经济学问题一定要使用数学方法来进行表达，但是20世纪40年代之后数学模型还是成为了这一学科里公认的表达规范。一方面对于经济学者来说，数学基础成为了必备的研究技能，比如萨金特时至今日依然每个学期都要去旁听数学课，另一方面许多数学学科今日的兴起，比如统计学，实际上也与经济学研究的蓬勃发展相辅相成。然而数学与经济学的结合其实是一种天作之合，因为数学表达本身的逻辑性和简洁性，可以帮助我们更好地对经济关系进行阐述和分析，通过严谨化的表达得出一般化或者公理化的结论，也有助于不同地域、领域的学者进行交流，并为经济学理论可靠性的实证检验，提供了科学的分析基础。从这个角度来说，经济学的数学化是这个学科科学化水平提升的标志之一，本身是无可厚非的。不过本领域对数学化的质疑其实从未断绝（当然，只是一直被压制）。很多学者认为，理论经济学公理并不反映真实世界的运行逻辑，只是一种数学的机械主义游戏，而这也是经济学领域外人士对经济学理论研究最大的质疑所在。比如经济学传统里往往使用经济人理性、信息完全对称等假设，来获得许多漂亮的结论，在很多人看来，这与现实谬之千里，结论自然很不可靠。但弗里德曼等人对此却持有不同看法，在他看来理论假设的不真实不一定影响经济理论模型的可靠性，如果这个理论依然可以对现实进行分析和预测，那么它的假设真实与否就没什么讨论的必要。不过后来人们给弗里德曼的这个观点扣上了一顶工具主义的大帽子，因为这很容易被解读为投机取巧，学者们也会本能地规避那些无法使用简洁的理论进行描述而事实上又恨重要的问题，最终把经济学分析引入研究者自己头脑风暴的死胡同，变成所谓的“黑板经济学”（也就是只在黑板上成立的经济学）。因此很多人调侃经济学者无法预测08年金融危机时，整个经济界几乎是一片哑然，而克鲁格曼之所以能拿到诺奖，也是因为他的模型可以用来解释97金融风暴。人们对经济学的解释性始终充满期待，但也始终对这样的解释性充满疑虑，这恐怕是经济学发展永远的矛盾所在。经济学者在使用经济模型时，面临的问题在于，我们究竟允许我们的经济学理论有多大程度上的不真实，时至今日这个问题依然没有被解决，也在某种程度上成为经济学中数学滥用的发端。萨缪尔森认为经济学之所以可以和数学合璧（从经济学发展史角度来说，经济学数学化的奠基人就是萨缪尔森本人），是因为经济学本身的特征就是数量化的。因为经济变量本身存在着严肃的逻辑关系，找寻其中的因果性并用经济学的语言表达出来，其实是经济学研究最核心的目标所在。但是同样地，在经济中有很多因素是呈现非数量特征的，用经济学语言来说就是“对信息集的偏离”，这些因素在模型中无法解释，很多研究者也偷懒将其作为一个常数处理。这就使得经济学中的分析很容易流于机械化的表面，学者们甚至会有动机用数学上的相关性取代严谨的因果性，来进行讨论，这无疑摧毁了经济学分析的根基。而后来行为经济/金融学的兴起，也同经济学传统研究存在这样的问题有关。更为糟糕的是，我们尽管长时间地对经济学中的数学滥用进行质疑，但实际上我们很难说清楚到底什么是数学滥用。最近这次争议的发端就是罗默的那篇《经济增长理论中的数学滥用》一文，值得一提的是，这位经济学诺奖界的村上春树对数学滥用进行批判的例子，是他老师卢卡斯的两篇文章。在他看来，数学滥用现象主要包括脱离理论基础的非正式用语与符号、不符合现实与直觉的假定以及错误的数理模型推演几种形式。这些说法看上去都没什么问题，但是问题在于，我们恐怕永远无法界定，数学使用和滥用之间的分界线。人们之所以要在经济学领域中引入数学，无非是因为数学能让我们的表达更简洁、精确，或者从某种程度上显得更加优美。但是经济学界一直有声音认为，我们可以用文字说清楚的事情，并不一定非要用数学进行分析。可是，我们究竟如何判断什么样的问题只用文字来说，而什么样的问题就必须引入数学工具呢？并没有一个可行或者可借鉴的分析标准存在，我们也很难知道究竟是数学表达还是文字表达，更符合经济学的本意，因为从符号学角度来说两者都只不过是信息的承载者和阐述的工具而已。文初提到的《经济学研究中“数学滥用”现象及反思》这篇文章，认为数学滥用的主要形式包括论模型假设不符合现实或根据结论修改假设、数学模型过度运用、实证研究与经济理论相脱节、实证过程不规范四个方面。但问题在于四点中的第四点说明研究者用错了数学，而前三点正是我们在前文中所讨论的究竟我们能容忍经济学假设与现实存在多大差异和我们有什么标准来判断经济学研究的数学应用是否适度上。所以这样的讨论其实是将100多年以来经济学者对数学方法的一次炒冷饭式的总结，时至今日我们仍然不知道数学究竟应该多大程度地进入经济学，就像我们也不知道经济学应该多大程度地入侵其他社会学科一样。我们提出了问题，但始终没有办法解决问题，这一点倒是蛮符合大多数经济学研究的特点的。所以大家轰轰烈烈地批判一下就好了，在可见的未来，你们想搞经济学研究，发经济学论文，还是要搞各种奇奇怪怪的模型去忽悠审稿人的。附：《一个经济学学生的疑惑：经济学是不是已经沦为以经济题材为背景的数学应用学？》我来自上海财经大学，是一名大三的经济学学生，三年的学习中，始终有一个问题困扰着我，至今仍未得到解决。那就是——经济学到底怎么了？回看到目前为止大学前两年4个学期的课程，每个学期学分最高的课程分别是：数学分析1（6分）、数学分析2（6分）、概率论与数理统计（6分）、计量经济学（3分），清一色的数学，除此之外的数学课程还包括：数学分析3、线性代数，由数学与经济学相结合的课程则有：中级微观经济学、中级宏观经济学、博弈论、国际经济学。那抛开数学，真正能让我作为一个经济学学生应该掌握的经济学知识的课程呢？只有一门：政治经济学。除了学校的课程安排，据我所知，无论是学校招收研究生还是与经济金融相关的公司招聘的时候，即使毫无经济学学习的背景，数学系学生的抢手程度甚至远大于经济学专业的学生。我想知道，经济学到底怎么了？我承认我数学不好，不喜欢数学，所以在被数学虐了千百遍之后我的脑子里产生了既可笑又可怕的想法：诺贝尔因为大家都知道的原因唯独没有设立数学家，而数学家并不甘心，从而攻下了诺贝尔经济学奖。说句可能有些偏激的话，如今我在学习的并不是我高考报名时所想象的那样，把数学作为一种工具的经济学，现在的经济学根本就是以经济学为背景题材的数学应用题所集成的学科。之所以这样说是因为尽管我对高等数学比较头疼，可是我基本的逻辑还是有的。而不管在教科书中还是在实际应用中，一些把经济学问题抽象为数学推导的过程在我看来毫无逻辑。如若果真如此，那即使数学演绎的过程再繁琐，所用到的模型再复杂又有何用处呢？数学在经济学领域中的滥用已经太过了，如果说数学的应用让经济学研究前进了50年，那也许数学的滥用一定会让经济学研究停滞100年。我觉得也许错的并不是我，而是经济学。之前提到过，在教科书中的叙述以及在实际中的应用中，数学的演算确实越来越复杂，但内含的逻辑却毫无章法可循，对此我想各举一个例子：教科书：经济学领域中的模型不论复杂还是简单都绕不过经济学最基本的两个前提假设：理性人假设和完全信息假设，这想必大家都知道。在这两个前提假设的基础之上，西方经济学界建立了各种各样的模型、进行推导、得出结论。我想说，这本身就是一个问题。我还记得学习高中物理时，因为数学能力有限，所以题目中经常会给出类似“假设摩擦力为零，假设斜面光滑”之类的假设，尽管实际上并不存在假设说的所谓光滑斜面，但这样一来却可以让我们在数学能力有限的情况下锻炼我们的物理思维能力。而等我们学习了相关的高等数学之后，我们便可以拿掉这样的假设，通过同样的思想，进行完整的运算。但经济学呢？似乎经济学家们已经完全忘记了“理性人和完全信息”是作为假设的存在，反而将其奉为真理，在这基础之上乐此不疲地开发模型、得出结论、发现与实际不符······这是在开完笑吗？如果说我定一个前提假设说“人类全部死光了”之后得出结论“经济就不存在了”从逻辑上来说并没有什么问题可是这样的结论有用吗？我想说的是假设是一种简化问题的过程，通过假设我们可以首先在一定假设限制下得出一个较为简单的结论，之后通过一定手段将假设还原，回归到实际的结果中来。想想我之前提到的物理学，不就是从实际中发现问题，进行光滑斜面的假设，再通过摩擦系数，真真切切的将假设还原到现实之中，得到真正的结果。那经济学呢？有谁将在假设条件下开发的模型成功地还原到现实中来了？没有，因为没有这两条如此强的假设，他们的模型根本站不住脚。经济学的发展难道不是为了解决实际的经济问题而是任由这些所谓的“经济学家”任性地开发模型争夺诺贝尔奖？希望不是这样吧。之前所说的总结起来就是“经济学假设的未还原”问题，这并不是一个逻辑上的问题，只是一个基于利益、名声等因素考虑过后，作为一个实实在在需要生存的人所不得不做出的选择。很多人都知道这样得出的结论不靠谱，但问题是现在的学术界就认这个东西，而且理性人假设也是前人所做的奠基，即使以后被推翻也无关己事。真正设计到逻辑问题的是“理性人假设”，关于这个假设本身的荒谬我想以后再谈，现在就算我承认这个假设，我想从逻辑层面展现一下有关理论的逻辑是多么混乱。理性人假设说的是人类会追求自身利益最大化，这句话本身就是错的，或者说是矛盾的。因为实际上根本没法做到自身利益最大化。举个例子，对小孩子来说，玩能得到最大的利益，而小时候玩的太疯了会影响学习，学习不好意味着长大之后在求职结婚甚至在吃饭问题上都面临诸多困难，所以小孩要好好读书，做到将来自身利益最大化，但一旦好好读书，小时候的利益又有了损失。类似这样的情况，我倒想知道，怎么做到自身利益最大化。很明显自身利益最大化的致命逻辑缺陷就在于对于时间，它没有区分。再比如对于一家只生产一种商品的企业，经济学原理告诉我们一种商品的价格升高销量就会下降，但是对企业来说，一件商品的利润与销量的乘积一定会有一个最大值，而企业做的最优决策就是确定乘积最大时的利润。这样是不是做到了自身利益最大化？不见得吧，利润与销量乘积的最大值是在现有的情况下定义的，但如果说我的企业在短时间内给出明显低于市场的定价，将竞争对手都挤死，之后作为一个垄断生产商，那时的利润到底和原先相比究竟是高是低很难说清楚吧。这样一说应该很明显了，自身利益最大化根本就是一个悖论，因为它根本没有对时间做出一个有效的区分，更甚者，利益的实现所涉及到的是未来的时间，而实际上谁也不知道未来会发生什么，就比如也许小孩子玩疯了长大一无所成但也许偏偏就因为玩启发了他的创造力呢？根本就不需要什么实证或者推导，从逻辑上来说理性人假设本身就是个悖论，根本不能作为一个前提假设不是吗？另外一个例子是在经济的实际应用方面，是有关学校食堂优化的问题，我想明天再来和大家分享。我的见识不多，基础也不扎实，我的很多想法都可能是错的。所以写这篇文章是希望能在数学的统治下找到和我不谋而合或是想背而行的想法，尽管我也找到很多经济学家提出类似想法的论文和书刊，给我很大的启发但我觉得很难说得上系统更提不上是一种理论。所以我希望能听到更多人的声音，无论是赞同还是反对，我只希望能不带立场地找寻经济学的真理，希望大家能够支持！也许这篇文章发在行为经济学板块能得到更多认同，但我明白发在这里能听到更多理性的反对的声音，这样能让我更多地思考，所以我希望大家能把真实的想法一起分享。附：（一些我觉得有些想法的书，也希望大家能推荐好书）保罗·罗默《经济增长理论中的数学滥用》托马斯·索维尔《被掩盖的经济真相》方宇军《经济学的新思维 : 兼及西方经济学的评判》丹·艾瑞里《怪诞行为学》赵凡禹《经济学会撒谎》迈克尔·舍默《当经济学遇上生物学和心理学》德曼《失灵 : 为什么看起来可靠的模型最终都会失效》萨维奇《平均值缺陷》布拉斯兰、迪诺《数字唬人 : 用常识看穿无所不在的数字陷阱》琼斯《谁说图表不会说谎》达莱尔·哈夫《统计数字会撒谎》