线性代数考研视频教程

本部分主要讲述2019年研究生入学考试数学一的线性代数部分的选择题和填空题，如果你觉得满意并想看到解答题的详细讲解，请联系我。试题内容：两个选择题8分，一个填空题4分，两个解答题22分。选择题：试卷第5题，主要是考了二次型的规范型的计算方法，其中利用到了矩阵特征值的性质，主要是特征值的乘积为矩阵行列式的值，以及多项式函数的特征值的计算方法等。题目比较简单，详细的题目及解答见下图。选择题：试卷第六题，主要是考了线性方程组系数矩阵与增广矩阵的秩，利用到了线性方程组有解的充分必要条件、两平面相交的性质等。题目比较简单，详细的题目及解答见下图。填空题：试卷第十三题，主要考了齐次线性方程组的通解，利用到了基础解系的相关知识、矩阵秩的定义、分块矩阵的乘法等。题目比较简单，详细的题目及解答见下图。详细的视频讲解07:36我是杂谈博士，闲暇之余爱看电影、爱好运动、爱好编程、爱好旅游，更热爱算法，如果也有契合你的地方，关注我吧！

全面解析考研圈最厉害的数学老师，第2位号称考研界泰斗？考研数学是让很多考生望而却步的一门科目，有很多同学在选择考研专业时会特意避开数学，选择两门背诵科目的专业，宁愿背诵累加起来多到吓人的专业课书也不愿尝试踏进数学的门。考研数学学习难度较一些专业课来说得高分的难度是高一些，若有数学名师在带路就能在学习的过程中替我们解除一部分的困难。考研本是孤独的路程，选择一位老师不仅在知识上会为你扫清很多障碍，一些你看几遍都不懂的定理被老师一讲就茅塞顿开，而且能在精神上一直鼓励你。这些老师各具特点，快来根据自己的实际情况选择一位合适的老师吧。接下来我们开始正式的名师简介，看看你喜欢哪一种风格的吧。第一位要介绍的是就十分受人敬佩的汤家凤老师，是公认的认真负责，特别务实，经常给学生开免费的直播课，身上有着极强的老一辈知识分子为学生忧虑和奉献精神，19考研学生很多用汤老师课上发火“你这个年纪你怎么睡得着觉？!”作为起床铃声。汤老师的讲课时长很长，例题很多，稳扎稳打清扫型讲课，适合基础差不追求速度的同学。汤老师的题型归类很好，讲课板书清爽，讲题步骤规范，注重知识的系统性，但对概念的讲解不是特别深入，经常因为口音问题被吐槽，但是听习惯了会感觉清爽的八达鸟。大家介绍的第二位老师是考研界泰斗人物——李永乐，他的《李永乐线性代数》堪称考研神书，考研几乎人手一本，题型经典方法精炼，有线性代数基础的同学建议直接上手线代强化视频课，做好笔记吸收拿下线代稳稳的。他的课程上安排很合理，特别干货，但缺点是课程创新性小，可能略显枯燥。第三位——张宇老师，以幽默著称，课堂气氛欢乐活泼，擅长对概念的讲解，将抽象问题变得生动具体易于理解，课堂题型总结不全面，主张追根溯源，课上会讲一些数学家的趣事，也会讲一些幽默段子。张宇老师比较适合基础好，自身题型训练很到位的同学，最后的预测卷难度相当大，容易打击同学的自信心。第四位——杨超老师，讲课风格特别投入感情，经常讲的十分激动，讲到知识点的精彩处学生也能跟着感受到学习数学的快乐。课程安排与考研紧密结合，快乐数学创始人，知识结构清晰，基础、强化、刷题、冲刺各种班安排合理，课程中引用的例题不偏不怪紧扣考研，且题型新颖，每年课堂中的题目变动很大，适合大部分考研人。第五位——张伟老师，是考研新生代老师，讲课富有激情，专业水平高，直接板书不会看课本，基础课属于循循善诱型，用例题讲课，课程干货，也是非常踏实认真负责的老师，思路和解题方法都很好，课程题量适中。好了看了这么多负责的考研老师，你决定选择哪一位呢？同学们要记得不要贪多哦，老师不是跟得越多越好，那样只会浪费很多的时间与精力，无论选择哪一个老师，只要踏实跟着走，完成每个阶段的任务量最后一定会取得优异的成绩的！

考研数学一直是很多文科孩子们的“心病”，面对数学的难点和弱项，我们应该及早开始准备。如果不知道如何入手，看看小编分享2019考研如何才能快速找到复习线性代数的突破口!考研复习线性代数技巧第一、基础依然是重中之重，而且注意知识点考察的全面性对于线性代数六个章节的内容，基本全涵盖在这张试卷中，线性代数的知识点不像高数一样繁杂，整体上讲是分块的，无非围绕着行列式、矩阵、向量、线性方程组、特征值与特征向量、二次型进行展开，在学习的过程中，要注意融会贯通，行列式和矩阵的学习与后面解线性方程组有着千丝万缕的关系，在复习初期，要注意将这些知识点烂熟于心，将书上例题做好的同时，建议选一本口碑较好的考研机构的基础教程。第二、总体难度稳中有升，有区分度从今年的考研数学线性代数来看，题型虽然中规中矩，但更增强了对大家抽象思维能力的考察，如：矩阵的分块，求特征矩阵特征向量及逆问题，化二次型为标准型等，这些题型看似基础，但也具有一定的区分度，使用不同方法求解所用的时间相差很大。考生要在考试那种高度紧张的环境下，能选择一种便捷的方法进行解题并且准确运算出答案还是有一定难度的。第三、重点知识点交叉出现，考生应该注重举一反三例如：对于两个矩阵间的常见关系：等价、相似、合同，最近几年连续考到，大家不仅要掌握其定义、充要条件，还要掌握三种关系间的区别和联系。今年考查到的便是如何判别两个矩阵间的相似关系。所以大家在线性代数的复习过程中，有些理论确实比较抽象，我们可以在第一遍复习时只看明白基本概念即可，第二遍复习时可以通过后面较为具体的内容反过来将相关抽象概念理解透彻，在这里提示大家复习要注意层次，不用想着一遍就解决所有问题。

1800题完全可以用来做线代练习！考研数学线代部分的考点和考察方式都比较固定，并且数一数二数三是难以区分出孰难孰易的，事实胜于雄辩，先给大家来一张图▼这是根据数一、数二和数三在19年和20年的考研真题中整理出来的线代考点分布。红色字体标注出来的部分表示题目相同，完全可以看出不管是数一数二还是数三，线代部分考查的知识点大部分是一样的，所以复习方法基本可以通用！要想选择一本好的习题书，自然需要满足下列条件：知识总结有逻辑，章节和考点分布清晰，让学生有效练题；答案解析细致全面，能引导学生思考；排版设计合理，最好预留笔记空间。惊呼君良心推荐李永乐老师的线性代数辅导讲义，长下面这个样儿~~~可以配合他的视频课程使用，是真的绝！在高数和概率论部分大家都会犹豫到底跟哪个老师，但是到了线代妥妥地秒选李老师！线性代数学起来很散，各种概念和公式多得不得了，但考起来又很综合。李老师对出题思路和考点分布的认知很清晰，会带着你由浅入深地从基础着手慢慢搭建起知识框架，之后你就可以结合1800或者其他的习题集来巩固复习了。线代复习规划在总结线代复习每个阶段的主要任务以及需要用到的资料之前请注意：1.以下复习方法无论你是考数一数二数三还是六月才开始复习数学，都可以直接拿来用！2.具体时间需要大家根据自己的学习或工作来灵活调节，惊呼君只提供参考！3.零基础但时间相对充足的同学建议过一遍线代教材来巩固基础！接下来，具体的给大家说说如何复习线代部分吧~基础阶段 复习时间：20天—1个月（备考时间的1/6）主要任务：结合考研大纲了解线代考查的基本知识点，全面复习！推荐资料：线代教材/李永乐线代辅助讲义复习规划：①了解线代部分在考试真题中的卷面构成和常考题型。线代在数一数二数三中所占的比重的都是一样的，而且在试卷中出现的位置都是不变的，并且还会有相同题目穿插其中......还是直接上图给你们看吧↓②从考研大纲了解复习线代的考试内容。直接根据大纲把数二和数三复习时需要注意的地方给大家划出来了，记得保存哈！PS：▲为数三不考的内容，★为数二不考的内容③根据个人基础和能力规划好每天的复习量，边看教材/线代讲义边做后面对应的例题。较难的知识点可适当拉长时间（比如：方程组、特征值和特征向量、向量）。④看不懂的知识点可结合永乐大帝对应的视频课，琢磨透！巩固阶段 复习时间：2个月（复习时间的1/3）主要任务：多刷真题，不断反馈做题效果推荐资料：李永乐线代辅导讲义+汤家凤1800（线代部分）/张宇1000题（线代部分）复习规划：①做完每一章的题之后大部分错题只需标记，需要摘抄的是反复出错和知识点易混淆的题目；②总结错题原因以及这道题考查的知识点，如果是知识点没有掌握好，再回到线代讲义上，结合永乐大帝对应的视频课反复琢磨。③总结考题类型。在刷题过程中，你就会发现，行列式和矩阵很少单独考查，多数是穿插在其他章节；向量一般会考选择题和证明题；线性方程组，特征值和特征向量，二次型等常常结合在一起以大题的方式综合考查。强化阶段 复习时间：2个月（复习时间的1/3）主要任务：刷真题，了解线代在真题卷中的频繁考点和常见题型推荐资料：历年考研真题卷复习规划：①这个阶段线代是和高数、概率论一同进行的，每刷一套真题（8：30-11：30）要分析并总结错题；②着重做错题笔记：把解题思路新颖且是重难点的题目摘抄出来。大家可以参考下图这种模板整理错题，标记处设计得很详细，方便后期进行知识点总结以及错误原因分析▼冲刺阶段 复习时间：1个月（复习时间的1/6）主要任务：查缺补漏，把记忆模糊的公式和概念通通记牢，同时拓宽解题思路推荐资料：10-19年的历年真题卷+线代错题笔记本+考研大纲复习规划：①比对最新的考研大纲（10月左右就会出来），是否线代的每一个知识点都已经复习完成，检查是否有遗漏的地方；②两天一套（10-19年）的真题卷，模拟考试情境，保证做题的速度和技巧。做完之后花半个小时核对全卷（线代部分），总结错误原因。把每一套卷错误的原因罗列出来，贴在课桌前警醒自己；③考试前两周就不要钻牛角尖去纠结怪题和难题了，实在不会的直接看答案然后理清楚解题思路。线性代数最常考查的就是把琐碎的知识点串连起来综合出题！大家在复习的时候一定要多总结题型，线代的题不难，但是耐不住考的内容多啊！！！

考研数学线性代数之矩阵——高顿小侯七老师在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。 矩阵中除可逆阵、伴随阵、分块阵、初等阵等重要概念外，主要也是运算，其运算分两个层次，一是运用矩阵的性质对抽象矩阵进行运算，二是具体矩阵的数值运算。矩阵的基本运算包括矩阵的加法，减法，数乘，转置，共轭和共轭转置。矩阵的加法满足下列运算律：A+B=B+A；（A+B）+C=A+（B+C）应该注意的是只有同矩阵之间才可以进行加法。 矩阵的加减法和矩阵的数乘合称矩阵的线性运算。把矩阵A的行和列互相交换所产生的矩阵称为A的转置矩阵。注意：两个矩阵的乘法仅当第一个矩阵A的列数和另一个矩阵B的行数相等时才能定义。高顿考研 数学考研 小侯七数学老师我是小侯七，是高顿考研的首席内容官，希望我的内容能对你有所帮助。

前面录过视频，对这部分进行了讲解，但当时采取的是手写板，所以不是很清晰（主要是字写的难看了：) ），所以这次重新录制了PPT版本，PPT是用Latex写的，所以动画效果不是很多，但是公式看起来会舒服一些。试题基本信息2020年数学一线性代数部分题型及分值：两个选择题：2*4=8分一个填空题：1*4=4分两个解答题：一个计算、一个证明，均为11分，共22分难度：其中一个选择题稍微难点，证明题有一点点难度，其它相对比较容易。考试内容：初等矩阵的作用、向量的线性表示、线性方程组的解、行列式计算、特征值及特征向量的计算、矩阵的相似对角化等试题解答详细的视频解说部分可以看下面的视频。10:18选择题部分：第一道是关于初等矩阵作用的，只要理解清楚对矩阵进行行、列变换是在矩阵左边还是右边相乘初等矩阵即可。第二道是直线相交问题，核心考点是对直线方程的认识及线性方程组的相关知识。我从代数和几何两个角度给出了问题的求解方法，希望会对大家有所帮助。填空题、解答题部分，如果你需要的话，请关注我并私信给我。我是杂谈博士，闲暇之余爱看电影、爱好运动、爱好编程、爱好旅游，更热爱算法，如果也有契合你的地方，关注我吧！

撰文 | 林开亮来源：好玩的数学本书作者阿克斯勒之所以要打倒行列式，可能主要是想突出线性代数的本质方面是概念而非计算。正是出于对后一个看法的支持，促使我在这里向读者推荐这本书。人民邮电出版社，2016年作者谢尔登·阿克斯勒（Sheldon Axler）和他的猫，取自其个人主页http://www.axler.net/在中国，线性代数一般等同于矩阵论，这主要是受华罗庚先生的影响，他的矩阵功底炉火纯青，因此他的学生曾肯成教授这样说：“龙生龙，凤生凤，华罗庚的学生会打洞。”所谓“打洞”，就是用相似变换或其它矩阵变换将矩阵化成标准型（其中有很多元素为0，即“洞”）。据华罗庚的另一得意弟子陆启铿院士讲，当初邀请华罗庚访问美国普林斯顿高等研究所的外尔（H. Weyl）曾这样评价：“华罗庚玩矩阵就像玩数字一样得心应手。”大概是陆启铿先生的话被人听岔了，做出这一评价的外尔教授，有时被讹传为韦伊（A. Weil）。稍微了解韦伊的人都知道，他不可能说这话。为什么呢？因为韦伊是法国布尔巴基学派的灵魂人物，他跟谢瓦莱（C. Chevalley）都致力于消除代数中的行列式、结式等计算性的概念，而华罗庚是以矩阵计算见长，绝非韦伊所欣赏的风格。这里有罗塔(Gian-Carlo Rota)教授在1988年提供的证词 (见其文章Fine Hall in its golden age: Remembrances of Princeton in the early fifties,收入A Century of Mathematics in America, Part III, History of Mathematics, Volume 3, P. Duren, Ed., pp.223-236, American Mathematical Society, 1989. http://www34.homepage.villanova.e/robert.jantzen/princeton_math/pmcxrota.htm)：即便是本科生的线性代数教学，也留下了阿廷（E. Artin）清晰可见的印记：他在我们面前从来绝口不提基和行列式（考虑到他是那么喜欢计算，这真是奇怪的禁令）。阿廷的盟友，谢瓦莱和韦伊，竭尽全力将行列式和结式驱逐出代数。每每想到革命尚未成功，九泉之下的两位（注：指1962年过世的阿廷和1984年过世的谢瓦莱，韦伊也在1998年过世）可能都无心睡眠。在这方面，韦伊和谢瓦莱的先驱，正是罗塔这里所提到的阿廷。荷兰数学家范德瓦尔登（van der Waerden）曾根据阿廷和诺特（E. Noether）的讲义，写成抽象代数的经典名著《近世代数》（后来更名为《代数学》，有中译本，科学出版社），此书直接刺激了布尔巴基学派的诞生。希尔伯特（Hilbert）、诺特、阿廷是近世代数的先驱，近世代数的思想一度在德国盛行。特别地，受到量子力学的刺激，冯·诺依曼（von Neumann）将这一思想应用到无限维空间的泛函分析中，导致了线性代数的几何化。这方面的第一本书，就是冯·诺依曼在普林斯顿高等研究院的助手哈尔莫斯（P.R. Halmos）根据他的讲义写成的《有限维向量空间》（Finite-Dimensional Vector Spaces）。该书1942年出版，之后多次再版，现已成为经典（期待有朝一日能够引进中译本，这是笔者心目中独一无二的线代数圣经）。眼下这本《线性代数应该这样学》（Linear Algebra Done Right 第三版），可以说，基本上是按照《有限维向量空间》的精神写的一本新书。这毫不奇怪，作者是圣弗朗西斯科州立大学数学系的教授阿克斯勒（Sheldon Axler）。他是哈尔莫斯的徒孙，中间的链接是萨拉森（Donald Sarason）。阿克斯勒写作这本书，可以追溯到他在1995年发表在《美国数学月刊》上的一篇阐述性文章《打倒行列式！》（Down with determinants!），该文次年获得了美国数学协会颁发的 Lester R. Ford 写作奖。标题取名为“打倒行列式! ”，也许在中国的读者看来，有点不可思议！因为在通行的线性代数教科书中，行列式通常放在一开头讲的，如果直接扔掉了，后面还怎么讲？事实上，这是完全可以做到的，《线性代数应该这样学》就做到了这一点。在全书中，迹和行列式是最后一章，而之前讲完了线性代数所有其它内容（尤其是作为矩阵灵魂的特征值与特征向量），根本不需用到这两个概念！阿克斯勒之所以要打倒行列式，可能主要是想突出线性代数的本质方面是概念而非计算。正是出于对后一个看法的支持，促使我在这里向读者推荐这本书。如前所说，线性代数的教学分两派：一派注重代数计算，以华罗庚先生为代表，这条线最终可溯源到美国的代数与数论学家迪克森(L. E. Dickson) ，中间的链接是杨武之教授（杨振宁的父亲，把近世代数和数论引进到中国）；一派注重几何直观，以哈尔莫斯为代表，最终追溯到诺特和阿廷，中间的链接是冯·诺依曼。虽然我本人经受的课堂训练是偏计算的(教材用北大的经典《高等代数》，它以丁石孙先生的《高等代数简明教程》为蓝本，丁先生在自传中说他借鉴了苏联斯米尔诺夫的《高等数学教程》；课堂之外，我的高等代数老师、天津大学数学系田代军教授指引我去读华罗庚、万哲先的《典型群》以及雅各布森（N. Jacobson）的抽象代数著作)，然而只是在我后来用哈尔莫斯的《有限维向量空间》重新学了一遍线性代数以后，我才敢说我对线性代数有了一点底气。我希望我说这话时，你不要认为我是在吹牛，我甚至希望这话能得到专业人士的认可，因为我在博士论文中的部分工作，就是用阿廷、冯·诺依曼、哈尔莫斯那一派的几何观念和方法，完善了华罗庚先生1947年的一项纯代数的矩阵工作。因此可以说，我是华罗庚先生和哈尔莫斯教授两派结合的产物。代数计算将线性代数机械化了（我有一次在打乒乓球时感觉每一次回球就像在做一次初等变换），同时也变得有点无聊。我常常有一种天真的想法，也许可以考虑用吴文俊先生倡导的数学机械化，将华罗庚学派炉火纯青的打洞技术给实现了！要想让线性代数生动起来，除了介绍一些精彩应用的例子外，一个可行的办法是强调几何的语言。几何的语言，自然是相对于代数的语言而说的。简单讲，就是用线性变换代替矩阵, 用抽象向量代替列向量。几何语言的优点是简洁明快，例如“作用（action）”这个词给人的感觉就是如此。代数语言的好处是具体清晰，两个矩阵“相乘”在我们头脑中的图象，是一系列具体运算的运作。通常的教科书往往过分强调了代数的语言，这同时也充分暴露了其诸多弊端。最大的缺点在于容易将几何淹没于代数。而且，在很多问题中坐标的选取并不重要，我们所需要的往往只是一些基本的运算规律, 例如分配律、结合律等。这时抽象的几何语言就十分适用了，例如在内积空间的理论中，我们往往采用几何语言。其实，数学家正是靠这种几何观点来指引具体的代数运算的，例如所谓Gram-Schmidt正交化，无非就是将第二个向量沿第一个向量作垂线（从三角形的一个顶点往底边引高线），一旦指出这一点，Gram-Schmidt正交化的公式就很容易理解了。更近一步，理解Cauchy-Schwarz不等式就是水到渠成的了：它所对应的，无非是这样一个熟知的几何事实：直角三角形的直角边长不超过斜边长。我要指出，我这里并非说代数计算不好，我想强调的是，要尽可能在几何直观的指引下做代数计算。我觉得借用阿廷在其名著《几何化的代数》（Geometric Algebra, 1957年出版）一书中的一句话来评论阿克斯勒的《线性代数应该这样学》再好不过了：我的经验是，一个用矩阵进行的证明，如果你抛开矩阵的话往往可以使这个证明缩短一半。有时，这一点是办不到的，你需要计算一个行列式。我将阿克斯勒的这本书郑重推荐给所有想重新从几何的观点看待线性代数的朋友，所有想从零开始学习线性代数的朋友。该书继承和发扬了哈尔莫斯《有限维向量空间》的几何化特色，以几何引代数，以概念指导计算！它会告诉你，线性代数不仅仅是矩阵论，或者更恰当地说，从几何的观点看，线性代数和矩阵论原来可以很简单！你不再需要-矩阵，不再需要分块矩阵，更不必担心复杂的行列式计算会挡住你前行的道路！而且，额外的好处是，一旦熟悉了这种几何的观念和思维，当你应用线性代数和学习泛函分析时会更加得心应手。根据我的经验，要使线性代数在你心中扎根，你需要读哈尔莫斯的Finite-Dimensional Vector Spaces。如果你还不习惯读外文教材，那么阿克斯勒的《线性代数应该这样学》中译本在目前是首选。下面我们简单介绍一下本书的内容。全书共十章，其中三章讲向量空间(1,2,6)， 一章讲多项式(4)，六章讲线性映射（其余）。第一章讲向量空间，引出线性空间的一般概念。向量空间是线性代数演出的舞台。(记得我博士毕业找工作时面试高校教师时抽到的一刻钟试讲题目，就是向量空间。）第二章讲有限维向量空间，维数是向量空间的基本不变量，借助基与坐标映射可以给出抽象向量空间到列空间的同构。限制于有限维的好处是，所有的运算都是有限的代数运算（不会涉及无穷）。现在舞台搭好，主角要出场了，第三章给出线性映射的基本概念。线性映射是向量空间之间的自然映射，在基底下体现为矩阵。给定一个线性映射，就诱导出两个重要的子空间，核空间与像空间。线性映射的基本定理 (3.22节）给出了这两个子空间的维数关系。(这样一个定量关系，其实可以用线性方程组的基本定理来描述。) 这个基本定理只是对线性映射给出了最粗略的描述，为了更精细地观察线性映射，我们需要将它分解为简单的线性映射。为此，一个有效的工具是多项式，这是第四章的主题。这个概念其实不属于线性代数，但它的理论可特征子空间的直和。(特征值与特征向量是观察线性变换的最佳视角，不过并非所有的线性变换都可以完全通过特征向量刻画）。第六章讨论内积空间。内积空间中因为赋予了可以度量长度、角度等几何观念的内积，从而拓展了中学阶段所熟悉的平面向量和空间向量的几何知识，例如勾股定理、正交投影等。但这不只是简单地重新唤醒我们的记忆，让我们将向量几何从二维三维推广到高维；现在有了前面关于向量空间与线性映射的概念，自然我们就要问，内积空间的不变量如何刻画？这就自然引出正交变换的概念，最终我们发现，原来正交变换（以及平移变换——注意它一般不是线性变换）就是我们中学所学习的全等（也称为欧几里得运动）概念的实质。（在中学时，我从未了解到，平面上两个图形全等的真正含义是，存在平面上的一个全等变换可以将其中一个图形一一映射成另一个图形。）第7章的主题是谱定理，主要的结果是内积空间上的对称变换可正交分解为一些伸缩变换的直和。这是线性代数最核心的结果。据我分析，每年高等数学考研线性代数两道大题，分别考察线性方程组的基本定理与实对称矩阵的谱定理。遗憾的是，我接触到的一些迎考学生甚至在线性代数课程中都没有学过谱定理！在我看来，对大部分学生，线性代数至少要学到这里，还应知道正交变换的谱定理——因为只有知道了旋转与反射的几何图景，你才会与全等变换的直观印象联系起来，代数与几何才合二为一。就我个人来说，我真的是学完第2遍线性代数才明白我们通常说的三维空间的旋转是什么含义！致敬科比（单指转球可以看成三维空间的一系列旋转）第8章讲复向量空间上的线性变换的标准型，第9章讲实向量空间上线性变换的标准型，它们都是线性代数中的经典结果，要用到诸如广义特征向量之类的概念。不过对一般读者来说，也许你知道有这么一回事就可以了，毕竟通常呈现在你眼前的线性变换（或矩阵）都是比较简单而特殊的，用不到如此一般的系统理论。第10章是迹与行列式，这是线性变换的两个基本不变量。行列式比迹要复杂，所以放在后面。我的朋友吴帆在线性代数教学方面颇有心得，他曾说过，任何一本线性代数教材，如果一开头就讲行列式，学生基本上就学不会线性代数了。我想，这正是国内许多人学不会线性代数的原因吧。因此，我们特别提醒那些想学会线性代数的读者，如果你不想一开头就被行列式弄头大，不妨选择我们推荐的这本书。对了，各章开头插入的精美彩图也会令你眼前一亮，心向往之！我们仅取第一章和最后一章的两幅插图为证！第一章插图：笛卡儿（右一）在向瑞典女王克里斯蒂娜讲解自己的工作第十章插图：英国数学家和计算机科学先驱艾达·洛夫莱斯本书的前两版曾在美国近300所院校作为教材使用，作者因此收到了成千上万条反馈意见，可以想见，第三版将何等卓越。奇文共欣赏，疑义相与析。预祝你们阅读愉快，有疑问不妨直接与作者联系，据我的经历，阿克斯勒非常欢迎读者给他提意见与建议。注：正规矩阵（normal matrix）是一类重要的矩阵。此处的笑点在于，normal 在英文中是“正常”的意思。所以，如果要真正体现出幽默来，可能要将“正规矩阵”翻译为“正常矩阵”。请允许我多说一句，可以说，正规矩阵的谱定理（各个版本）是线性代数中最重要的一个定理。温馨提示1：虽然这本书中穿插着一些幽默的图片与言论（如上图,取自原书7.B节习题15，题目是求图片中第一个矩阵被挡住的右下角元素。），但它更适合比较严肃的读者，特别是数学系的学生。读完这本书，再接触抽象代数（如小阿廷（M. Artin）的著作），应该会比较容易。对于非数学专业的学生，我想可能你们会更适应MIT数学系教授Gilbert Strang的线性代数教材和公开课视频。我想这两本书的差别可以概括为：本书重线性映射的理论，从不变量的角度以几何的观点考察线性代数；Strang的书重矩阵的应用，强调具体计算以诠释线性代数的种种应用。简单说，如果你更喜欢线性映射之类的几何语言，那么用本书；如果你更习惯矩阵之类的代数语言，用Strang的书。当然，并无绝对，本质上线性代数是代数与几何的统一，两种观点都是需要的。Strang的个人主页为http://www-math.mit.e/~gs/温馨提示2：《线性代数应该这样学》原书在2016年出版了一个删节版，可以在作者的个人主页免费下载，http://linear.axler.net/LinearAbridged.pdf温馨提示3：作者制作了本书的音频（带幻灯片），有兴趣的读者可以浏览：https://www.bilibili.com/video/av63561127/致谢：感谢美国南密西西比大学丁玖教授和付晓青博士对初稿提出了有价值的建议！原文出自《数学文化》，推送时略作修订。作者简介：林开亮，首都师范大学基础数学专业博士，现任教于西北农林科技大学理学院。本文经授权转载自微信公众号“好玩的数学”。特 别 提 示1. 进入『返朴』微信公众号底部菜单“精品专栏“，可查阅不同主题系列科普文章。2. 『返朴』提供按月检索文章功能。关注公众号，回复四位数组成的年份+月份，如“1903”，可获取2019年3月的文章索引，以此类推。

众所周知，只有关注大纲原文，知晓大纲变化，才能更加高效复习哦线性代数一、行列式考试内容行列式的概念和基本性质行列式按行(列)展开定理考试要求1.了解行列式的概念，掌握行列式的性质.2.会应用行列式的性质和行列式按行(列)展开定理计算行列式.二、矩阵考试内容矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵的等价分块矩阵及其运算考试要求1.理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵以及它们的性质.2.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质.3.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵.4.理解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法.5.了解分块矩阵及其运算.三、向量考试内容向量的概念向量的线性组合与线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量空间及其相关概念维向量空间的基变换和坐标变换过渡矩阵向量的内积线性无关向量组的正交规范化方法规范正交基正交矩阵及其性质考试要求1.理解n维向量、向量的线性组合与线性表示的概念.2.理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法.3.理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩.4.理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行(列)向量组的秩之间的关系.5.了解n维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念.6.了解基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵.7.了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特(Schmidt)方法.8.了解规范正交基、正交矩阵的概念以及它们的性质.四、线性方程组考试内容线性方程组的克拉默(Cramer)法则齐次线性方程组有非零解的充分必要条件非齐次线性方程组有解的充分必要条件线性方程组解的性质和解的结构齐次线性方程组的基础解系和通解解空间非齐次线性方程组的通解考试要求l.会用克拉默法则.2.理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件.3.理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法.4.理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念.5.掌握用初等行变换求解线性方程组的方法.五、矩阵的特征值和特征向量考试内容矩阵的特征值和特征向量的概念、性质相似变换、相似矩阵的概念及性质矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵考试要求1.理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量.2.理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法.3.掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质.六、二次型考试内容二次型及其矩阵表示合同变换与合同矩阵二次型的秩惯性定理二次型的标准形和规范形用正交变换和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵的正定性考试要求1.掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的概念，了解合同变换与合同矩阵的概念，了解二次型的标准形、规范形的概念以及惯性定理.2.掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，会用配方法化二次型为标准形.3.理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法.概率论与数理统计一、随机事件和概率考试内容随机事件与样本空间事件的关系与运算完备事件组概率的概念概率的基本性质古典型概率几何型概率条件概率概率的基本公式事件的独立性独立重复试验考试要求1.了解样本空间(基本事件空间)的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算.2.理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯(Bayes)公式.3.理解事件独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法.四、随机变量的数字特征考试内容随机变量的数学期望(均值)、方差、标准差及其性质随机变量函数的数学期望矩、协方差、相关系数及其性质考试要求1.理解随机变量数字特征(数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数)的概念，会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征.2.会求随机变量函数的数学期望.五、大数定律和中心极限定理考试内容切比雪夫(Chebyshev)不等式切比雪夫大数定律伯努利(Bernoulli)大数定律辛钦(Khinchine)大数定律棣莫弗-拉普拉斯(DeMoivre-Laplace)定理列维-林德伯格(Levy-Lindberg)定理考试要求1.了解切比雪夫不等式.2.了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律(独立同分布随机变量序列的大数定律).3.了解棣莫弗-拉普拉斯定理(二项分布以正态分布为极限分布)和列维-林德伯格定理(独立同分布随机变量序列的中心极限定理).七、参数估计考试内容点估计的概念估计量与估计值矩估计法最大似然估计法估计量的评选标准区间估计的概念单个正态总体的均值和方差的区间估计两个正态总体的均值差和方差比的区间估计考试要求1.理解参数的点估计、估计量与估计值的概念.2.掌握矩估计法(一阶矩、二阶矩)和最大似然估计法.3.了解估计量的无偏性、有效性(最小方差性)和一致性(相合性)的概念，并会验证估计量的无偏性.4、理解区间估计的概念，会求单个正态总体的均值和方差的置信区间，会求两个正态总体的均值差和方差比的置信区间.八、假设检验考试内容显著性检验假设检验的两类错误单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验考试要求1.理解显著性检验的基本思想，掌握假设检验的基本步骤，了解假设检验可能产生的两类错误.2.掌握单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验.

鉴于部分平台无法显示一些特殊的线性代数符号，笔者就把整理好的线性代数资料以图片形式呈现出来。这里还有笔者总结的学习线性代数的心得体会，读者朋友可以借鉴看看。首先把课本重新看一遍。读透每一个知识点，主要就是一些概念，一些解题思路，多想多思考，自然熟能生巧。其次就是要做题。任何一门数学学科，不做题是肯定不行的。做题的时候，总是会有一些人步入误区，他们喜欢搞题海战术。其实笔者认为这是不明智的。我们应该根据自己对课程掌握的程度，划分不同的做题阶段。第一阶段要多做一些基础题。这个阶段主要是让自己熟悉课本上关于一些知识点的概念。第二阶段就是要开始着手查漏补缺。这个阶段主要就是从头到尾熟记，看看自己还有什么没学到位的地方。我们可以找一些配套的参考书进行第二阶段的复习。如果遇到不会的或是不确定的知识点时，再查阅课本或者资料书。第三阶段就是冲刺阶段了。这一时期最好多做一些历年考研的数一试卷的线代部分。这些题比较具有综合性的，能真正的提高我们对于线性代数的掌握情况。