数学研究性学习论文

23．（10分）在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合（如图1），其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝3cm，AC＝DF＝4cm，并进行如下研究活动．活动一：将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，连结AE，BD（如图2），当点F与点C重合时停止平移．【思考】图2中的四边形ABDE是平行四边形吗？请说明理由．【发现】当纸片DEF平移到某一位置时，小兵发现四边形ABDE为矩形（如图3）．求AF的长．活动二：在图3中，取AD的中点O，再将纸片DEF绕点O顺时针方向旋转α度（0≤α≤90），连结OB，OE（如图4）．【探究】当EF平分∠AEO时，探究OF与BD的数量关系，并说明理由．问（1）∵Rt△ACB≌Rt△DFE∴AB=DE；∠BAC=∠EDF，AB∥DE（内错角相等，两直线平行）四边形ABDE是平行四边形。问（2）当四边形ABDE为矩形时，∠BAE=90°易得Rt△EAF∽Rt△ABCRt△ABC的三边比是3:4:5EF=3，AF=3*3/4=9/4问（3）根据题意，连接BE交AD与O点，矩形对角线相等，OA=OE=OD=OB.Rt△EFO≌Rt△BCOEF平分∠AEO,∠DFE=90°，延长DF交AE于G点，此时∠FCE=∠FGE=∠COB直观观察，2OF=OG，猜测OG=BD，尝试证明△BOD≌△GEC,已知的条件很不错，OB=OD=OE，OE=GE，等腰△要证全等，腰已经相等，如果有底角或者顶角相等就能证明全等（AAS）∠AOG=∠DOC=α∠COB=α+∠BOD∠FGE=α+∠OAG(三角形外角等于不相邻的两个内角和)∠OAG=∠OEA∴∠BOD=∠OEA∴△BOD≌△GEC2OF=BD

河南省南阳市第一中学校综合实践活动管理中心 李鹏岚同学们经过发现问题、提出问题、选题结组、制定方案、申报立项后，进入研究性学习开题报告，开报告宣讲完结束研究性学习前期的理论研究告一段落，研究性学习要进入研究实践过程，开题报告报告内容的选择、确定，对同学们接下来的研究实践操作非常重要，今天我针对研究性学习开题报告内容的选定、论证，开题报告过程的宣讲准备、宣讲实施过程的具体实施过程，对同学们进行具体指导，希望同学们认真看视频直播指导，希望同学们看完视频指导指导，认真结合自己的课题小组研究实践积极行动，认真落实课题研究的每个具体环节，争取有更多的课题研究不仅仅能拿到必修的学分，更重要能应用到同学们的成长发展实践中，大家一起加油！60:25同学们开题报告宣讲实施完，进入课题组进入中期课题研究实践阶段，研究性学习每个环节希望同学们认真研究实践，在课题研究实践中培养自身发现美的眼睛，学会用科学的方法解决身边的学习、生活问题，小课题组培养同学们大爱大智慧、大情怀，同学们在研究实践中，让不一样的课题研究内容，带给我们丰富的成长经历，带给我们教育启迪，为同学们以后的成长发展创造条件。坚持就能改变，能力成就梦想！学校老师、学生、家长我们一起努力研究积极实践，大家和同学们一起奔跑，追梦在路上！大家一起加油

随着年龄的增长，不知不觉中，我从事教学工作已有30个春秋。不断深入的教学改革，强调不断树立“让学生在学习中得到快乐，在快乐中不断成长”的观点。现就此谈谈我的看法。教学中拉近师生距离数学知识枯燥无味，我经常把枯燥的数学知识变成游戏，让学生在游戏中学得新知；把学习的知识更加生活化，更加贴近学生实际。这样的活动，既能让学生轻松接受，也拉近了教师与学生的距离。例如，在教《人民币》一课时，教师可以模拟开商店进行情境教学。首先，准备好商品，让学生分成两组，一组学生当营业员，另一组学生当顾客，利用教具中的人民币模仿找零钱、换钱活动；然后交换角色，让学生真正体验学习的快乐，明白人民币的用途。变“要我学”为“我要学”传统的教学模式中，教师为教学的组织者，学生都是被动地接受知识。这就是所谓的“填鸭式”教学。学生学的知识都是书本上的知识，并且不能够灵活运用。为了改变这一教学模式，我把课本上的知识生活化，只是运用课本上的知识点，然后把知识点变为生活中的实例。此举让学生更容易接受，同时也充分体现了学习数学的目的就是解决生活中的实际问题，真正体现了学以致用。学生大都被动地接受知识，这一现实怎样才能改变？比如，学生对于应用题有畏难情绪。为了解决这一问题，每次在解应用题的时候，我都把应用题变成学生常见的问题，然后让学生想办法解决。从生活中捕捉数学数学源于生活，只有从实际出发，才能便于操作，容易理解。现代教育理论认为，数学源于生活，生活中充满了数学，数学教学应寓于生活实际，且运用于生活实际。所以，数学教师在教学中要有意识地引导学生通过生活中的具体问题与有关数学问题的联系，借助学生熟悉的生活实际中的具体事例，激起学生对数学的求知欲，寻找生活中的数学问题，运用所学知识分析、解决实际问题，引导他们进行研究性学习。比如，在教《长度单位》时，可以让学生自己动手量身边的物体，用身体部位作为测量工具，估计路程的远近或物体的大小、长短。还有，在教《统筹方法和等量代换》时，不妨让学生亲自体验一下它们在生活中的作用，完全可以在课堂上让学生动手做一做、换一换。如果我们能在教学中高度重视数学知识的生活化，那么一定会使数学更贴近生活。数学生活化是教育现代化对数学教学提出的新的要求，教师要充分发掘来源于现代生活实际的内容，将其转化为数学模型问题，并运用所学知识解决实际问题，培养学生学习数学知识、应用数学知识的意识和兴趣，提高学生的数学素质。只有让学生真正体会到数学学习的趣味性和实用性， 使学生发现生活中的数学，喜欢数学，让数学课堂教学适应社会生活实际，才能培养出真正适应未来社会需要的人才。

红网时刻株洲3月4日讯（通讯员 刘艳）2020年寒假是一个不平凡的特殊时期，疫情肆虐，学生们的假期生活也随之有着不一样的变化和经历。生活中人人都在参与疫情阻击，学生们更是亲身参与了一场巨型的社会实践课。疫情进展、专家访谈、防护知识等大量媒体报道，都是学生开展研究性学习的丰富资源。3月1日下午，株洲市一中通过线上搭建了展示交流的平台，开展研究性学习课题答辩和交流。按照《普通高中课程方案》要求，普通高中学生需要修习综合实践活动课程。该课程由研究性学习、社会实践和志愿服务三部分组成，其中研究性学习是综合实践活动课的重要组成部分。市一中在教师发展中心的部署和指导下，通过高一年级组的精心组织，由研究性专业任课教师、班主任以及全体学科老师组成课题指导团队，指导学生开展有关“新型冠状病毒感染的肺炎”的相关研究。课题指导团队老师通过微信、QQ、钉钉等在线媒介对学生课题进行耐心和科学指导，引导学生以研究性学习的方式，积极自主探究，通过小组合作，把防疫生活作为学习资源利用起来，在科学的研究方法指导下诞生一批有价值的研究成果，如《探索野生动物与新冠病毒的关系》《针对新型肺炎防控途径的研究》《对疫情期间高中生自主学习方式的研究》《探索新型肺炎对我国经济的影响》《中日韩疫情防控措施态度比较研究》等研究性课题。此次研究性学习课题研究，通过学生对课题进行汇报、学生之间互动探讨，指导老师进行提问和点评的多种方式，引导学生在课题研究过程中培养社会责任感和高尚的人格，提升道德情操和科学素养。在危机来临时，用自己的知识和能力去化解，成为国家和人民的中流砥柱。

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“猛志逸四海，骞思。”四川省成都市航天中学校坐落天府新区东翼、成都经开区腹地龙华新城，系四川省示范性普通高中。学校依托航天高科技资源和人才优势，汇聚了大批高素质优秀教师,办学成绩享誉省内外。学校现有专任教师346人（硕士研究生160人），其中特级教师10人，正高级教师3人，高级教师114人，省市区学科带头人和骨干教师80人。学校矢志倡导“博学笃行、尚美创新”的校风，“爱、严、细、活”的教风，“勤、恒、实、新”的学风；以立德树人为根本任务，不断深化实践“卓雅教育”的办学理念，五育并举、多元发展，狠抓科技和创新人才的培养，逐步形成了科技创新教育（简称“科创教育”）的“五化”格局，并取得了丰硕的教学成果，走出了一条可持续健康发展的科创教育路。学校先后被授予成都市文明单位标兵、全国科研兴校先进单位、全国优秀外语实验学校、全国语文教改示范学校、全国普法教育先进单位、全国优秀家长学校、四川省阳光体育示范校等一系列荣誉。“五化”格局统筹科创教育快速发展健全机制，确保科创教育“规范化”。近年来，航天中学通过师资培养、环境建设、经费落实、策略实施等机制，确保科创教育开展的规范化。学校制定了《成都航天中学科技创新活动开展实施方案》，成立由校长担任组长的科创领导小组，先后建立校园电视台、历史地理实验室、阳光生物苑基地、STEM实验室和模拟航空飞行特色实验室等，为学生提供更多专业的场地。拓展平台，开创科创教育“多样化”。学校通过开展或组织学生参加科创实践、作品成果展及科创竞赛等形式多样的活动，激发学生对科创的热情，培养学生的创新精神和动手能力，为科创人才多元发展奠定基础。丰富课程，推进科创教育“课程化”。为让更多学生感受“科技教育”的魅力、体验科创的乐趣，实现科创教育成效最大化，学校在以“课程化”思想推进科创教育开展的过程中，形成了劳动技术课程、通用技术课程、校本课程、STEM课程和课外“科创”辅导的全方位课程体系。课程化标准的实施，为学校科创教育的可持续发展提供了源源不断的动力、活力和劲力。苦练内功，增强科创教育“专业化”。为培养专业科创人才，学校多管齐下，通过引进、培养专业教师、建设特色专业实验室等举措，强化教师专业施教、学生专业学习的意识。开设在国际国内颇具专业影响力的“数学建模”、全国青少年信息学奥林匹克科创竞赛辅导，积极与专业团队交流、互通，保持了学校科创教育的切实，为新高考、自主招生和学生终生发展奠基。开阔视野，促进科创教育“国际化”。兼容并蓄、博采众长，学校积极着力培养具有国际视野、国际交往能力和国际竞争能力的科创人才。为此，学校选派学生到海外游学、组织学生参加具有国际影响力的赛事。多维历练，让学生树立了更高远的发展目标，找到了更清晰的发展路径。近三年，被世界排名前五十位大学录取的航中学子10名左右。成果丰硕坚定科创人才培养实践近年来，学校科创教育成果丰硕。学生获国际奖励7项、国家级奖励10余项、省级奖励60余项、市级奖励50余项。学校先后获成都市第十三届和十四届电脑制作活动“优秀组织奖”、第十三届全国地理科普知识大赛地理科普教育“先进单位”、第六届全国青年科普创新实验暨作品大赛成都赛区“优秀组织奖”、“运动成都”2019中小学模型传统项目学校锦标赛“一等奖”和“优秀组织奖”、第三届“尚学龙泉–社区雏鹰创新教育”“优秀组织奖”、龙泉驿区2017年度科创活动“先进单位”和2019年度科创活动“突出贡献单位”等荣誉。在创作发明方面，学校师生共同创作发明的“免抽气式马德堡半球实验演示仪”“组合式液体内部压强与密度演示仪”“透镜成像光源及其装置”“镜头防污保护镜”获得国际和国家级发明专利。在科创教育科研方面，学校组织参加的《中小学生创造力培养案例研究》课题之子课题的研究获国家级二等奖；2019年，学校梁燕老师撰写的论文《数学建模竞赛的教学研究与实践－以美国中学生数学建模竞赛为例》在成都市青少年科技辅导员论文征集活动中获一等奖；万琪同学撰写的小论文《“永不打湿”的火柴》、钟黄亮同学撰写的小论文《探究热岛效应现象》、王方钊同学撰写的小论文《纯净水的利与弊》、胡译丹同学撰写的小论文《除柿子涩味的方法》在区科技论文比赛中获二、三等奖。同时，在科技创新竞赛方面，学校组织学生参加了四川省第六届、第七届、第八届中小学网络系列活动，第六届、第九届全国青少年科普创新实验暨作品大赛总决赛，2017年、2018年四川省和成都市机器人现场竞赛，2017年世界教育机器人大赛西南地区公开赛，2019年成都市青少年科技教育系列活动UI视觉编程竞赛，第21、22届HiMCM美国高中数学建模竞赛，2019丘成桐中学科学奖（数学）大赛， 全国青少年信息学奥林匹克竞赛四川省复赛，第六届国际数学建模挑战赛（IMMC 2020）决赛等赛事并取得优异成绩。此外，在中国智慧工程研究会和清华大学继续教育学院主办的青少年研究性学习成果认证中，航中学子的三篇原创研究性论文获得研究性学习成果认证。2019年，胡瑛琦同学被录取为中国人民解放军航母舰载机飞行员（2019年在四川省仅录取11人，其中，成都市录取4人），2020年张定军同学通过舰载机飞行员选拔（成都市仅1人），进一步彰显了学校“卓雅”育人品质。同时，学校还是中国电子学会授予的“全国青少年电子信息科普创新教育基地校”，中国教育科学研究院STEM研究中心授予的“中国STEM教育2029创新行动计划种子学校”，龙泉驿区确定的“STEM教育试点校”，成都市青少年科技教育协会的“团体会员单位”。成都航天中学相关负责人表示，秉承“卓尔不群，雅通天下”的校训，“航中人”将，孜孜以求，在科创教育方面不断完善教师体系、课程体系和管理体系，促进五化格局统筹科创教育快速发展，为科技创新人才的培养做出不懈努力，争取更丰硕的成果、更壮丽的辉煌。（钟传亮）

高中数学是很难的，同时也非常重要的。数学知识点只是一个载体，真正学习的是在载体之上的数学思维。很多老师上课的时候，都是讲解习题却没有延伸，此时只是见山是山，见水是水，学生没有提升，也没有得到升华，只是就题论题；同样的很多同学学习数学也只是一味的做题，认为做题就可以考高分，其实不然，我们做题是为了学习知识，学习数学方法，培养数学思维。在学习的时候，应该是多做题，同时多总结，也要多提升，多思考，只有这样才能学懂，同时做到举一反三。学习激情张景中院士指出，推广，对数学学习、数学竞赛及数学研究都十分重要。如何做到推广呢？推广有什么作用？推广可以加强对学生观察、分析、比较、综合、概括、归纳类比和发现能力的培养，有助于研究性学习。推广可以产生新问题和新方法，可以加深自己对问题的认识和理解。对于学生来说，可以产生二级结论，以后直接运用，减少运算时间。其实推广就是把问题考虑得更加全面，提出新问题来，思考原来已经解决了的问题是否还有新解法和引申。数学学习这个思想其实是已经到了相对比较高的思想层次了，人根据自己的情况适当运用，其实更加重要的是要掌握基本题型和基本方法。

用时不在多，用心则灵；做题不在多，有法则灵。题目数量：22—28个不等题目考查（具体看地方题型）：填空题、选择题、 解答题证明题、 探究题、操作题如何进行中考备考？：做一题→会一法→通一类中考命题趋势分析1. 从命题基本思想看变化命题的基本思想应该是：实现最大区分度的考试；考查学生应知必会的知识；以能力立意设计命题；考查学生的实践与创新能力；考查学生应用知识的能力以及解决问题的能力等． 试题的命制要遵循《新课标》的理念，体现确立《新课标》的初衷：即改变课程过于注重知识传授的倾向；改变课程结构过于强调学科本位、科目过多和缺乏整合的现状；改变课程内容“难繁偏旧”和过于注重书本知识的现状；改变课程实施过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现状．2. 从命题呈现形式看变化学习性命题；实践性命题；探索性命题；操作性命题.【点评】本题从知识方面考查了学生对数轴、平面直角坐标系、二元一次方程的解、一元一次不等式组的解集、用函数观点看二元一次方程组、用函数观点看一元一次不等式组等知识的掌握程度；从能力水平方面考查学生研究性学习与探究能力，考查学生阅读能力和分析、解决问题的能力，即自学能力；考查学生应用数学模型解决问题的能力。（2）实践性命题在新课标的理念中，关注学生的实践能力的培养与提升是一个较为核心的理念．正因为如此，实践性命题应运而生．（2）实践性命题分类先作图后应用；先作图后判断；先作图后探究等.【点评】本题从知识方面考查了学生对点的坐标、对称点的坐标特点、坐标系中两点间的距离计算、勾股定理的逆定理、二次函数的图象和性质、平行四边形的判定、矩形的判定、图形变换等知识的掌握程度；从能力水平方面考查学生动手操作能力和探究能力，考查学生分析问题、解决问题的能力以及图形变换的思想。（3）探究性命题在新课标中突出了对探究能力的要求，从探究的意义上讲，它含有过程性与对问题终结性的要求．各地的中考试题中这样的问题很多，大致分为：对实际问题的探究、问题结论的探究、解决方法的探究、对问题成立条件的探究等．【例题】已知抛物线与y轴交于点A（0，3），与x轴分别交于B（1，0）、C（5，0）两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点D为线段OA的一个三等分点, 求直线DC的解析式；（3）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A，求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长．【点评】本题从知识方面考查了学生对点的坐标表示、等分点的定义、对称点坐标的确定、用待定系数法确定直线解析式和抛物线解析式、二元一次方程组的解法、线段性质和轴对称图形的性质等知识的掌握程度；从能力水平方面考查学生分析问题、解决问题和应用知识的能力，考查学生构建数学模型（小马喝水或吃草）解决问题的能力。（4）操作性命题这一类命题是《新课标》实施以来出现的新题型，它体现了“做数学”的理念.问题呈现形式——用什么工具做；怎样做；结果情况分析等．【例题】如图，△ABC 的三条中线分别为AD、BE、CF．（1）在图中利用图形变换画出并指明以AD、BE、CF的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；（2）若 △ABC 的面积为1，则以AD、BE、CF的长度为三边长的三角形的面积等于多少。分析：这是一道典型的通过作图方可求解的操作性问题。要求我们在图中利用图形变换画出以△ABC 的三条中线AD、BE、CF的长度为三边长的三角形.图形变换包括平移、旋转和轴对称，根据图形特点和要求，可以选用平移变换求解。过点C作CG//AD,使CG=AD.连接FG，只要证明FG=BE即可。【点评】本题从知识方面考查了学生对三角形中线、三角形中位线的性质、平行四边形判定与性质、全等三角形判定与性质、三角形面积、面积公理等知识的掌握程度；从能力水平方面考查学生分析问题、解决问题的能力以及图形变换的思想；考查学生应用图形的割补及面积公理求多边形的面积的能力。【本讲小节】同学们应掌握：基本知识、基本方法的同时，关注中考试题的特点和变化。需掌握的数学思想：方程思想、转化思想、数形结合思想、分类讨论思想等。需掌握的数学方法有：消元法、配方法、换元法、降次法、观察法、特值法、面积法、待定系数法等。需强化的数学能力有：基本运算能力、推理能力、抽象思维能力、空间想象能力、概括能力和建立数学模型的能力等。

以退为进的特殊化思想是一种重要的数学思想，也是一种辩证的认知规律.历史上一些重大的科学发现时常是由特殊引发的. 著名数学家华罗庚指出：“善于‘退’，足够地‘退’，‘退’到最原始而不失重要的地方，是学好数学的一个诀窍。”又说：“先足够地退到我们最容易看清楚的地方，认透了，钻深了，然后再上去。”这就是以退为进的思想.波利亚说：特殊化是以考虑一组给定的对象集合过渡到考虑该集合的一个较小的子集，或仅一个对象.希尔伯特说：在讨论数学问题时，我相信特殊化比一般化起着更为重要的作用.我们寻找一个答案而未能成功的原因，就在于这样的事实，即有一些比手头的问题更简单、更容易的问题没有完全解决，这一切都有赖于找出这些比较容易的问题，并且用尽可能完善的方法和能够推广的概念来解决它们. “特殊化思想”是中学数学里很重要的一种思想方法，在各级各类试题里有许多能够利用特殊化思想解决的问题.那么什么是特殊化思想？它是指在解题时采用特殊的判断、特殊的数值、特殊的几何图形等来解题的策略，并且在客观题中所求得的结果就是问题的结果;或者先解决数学问题的特殊情形或从解决特殊情形的方法或结果应用或推广到一般问题之中，从而获得一般性问题的解决的思想.显而易见，相对于“一般”而言，“特殊”往往显得简单、直观和具体，且容易解决.以退为进的特殊化思想解题的一些思路： 在解答数学问题时，特殊化方法常常表现为将一般问题特殊化处理或从特殊出发探索解题方向，以获得问题的解决，它是一种以“退”为“进”的解题策略.用问题最特殊情形的解来得到一般问题的解，因此在选择题和填空题等客观问题中一定要特别注意特殊化思想的应用.一些定点、定值类问题常可用特殊化解题.总之，就是从问题的简单化、特殊化入手解答.尤其是当我们解题束手无策时一定不能忘了特殊化思想这个“大救星”. 从形式上看，将一般性问题特殊化是不困难的，但某个一般性问题经过不同的特殊化处理会得到多个不同的特殊化命题.因此，特殊化思想的关键是能否找到一个最隹的特殊化问题，因为，较为理想的特殊问题是极易解决的.解题中以退为进策略主要体现以下三个方面：（1）从复杂退到简单；(2)从一般退到特殊；(3)从抽象退到具体例1．【问题提出】|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|+…+|a﹣2019|最小值是多少？【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．|a|的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离．那么|a﹣1|可以看做a这个数在数轴上对应的点到1的距离；|a﹣1|+|a﹣2|就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和．下面我们结合数轴研究|a﹣1|+|a﹣2|的最小值．我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示：（1）如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．（2）如图②，a在1和2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1．（3）如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．【问题解决】（1）|a﹣2|+|a﹣5|的几何意义是_______．请你结合数轴探究：|a﹣2|+|a﹣5|的最小值是_______．（2）|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|的几何意义是_______．请你结合数轴探究：|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|的最小值是_____，并在图④的数轴上描出得到最小值时a所在的位置，由此可以得出a为______．（3）求出|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|+|a﹣4|+|a﹣5|的最小值．（4）求出|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|+…+|a﹣2019|的最小值．【拓展应用】请在图⑤的数轴上表示出a，使它到2，5的距离之和小于4，并直接写出a的范围．【分析】此题主要考查了绝对值的性质，解这类问题的基本步骤是：求零点、分区间、定性质、去符号、即令各绝对值代数式为0，得若干个绝对值为零的点，这些点把数轴分成几个区间，再在各区间内化简求值即可．【解答】（1）|a﹣2|+|a﹣5|的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到2和5两个点的距离之和；当a在5和2之间时（包括在5，2上），可以看出a到5和2的距离之和等于3，此时|a﹣2|+|a﹣5|取得最小值是3；故答案为：a这个数在数轴上对应的点到2和5两个点的距离之和；3．（2）|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到1、2和3三个点的距离之和．当a取中间数时，绝对值最小，|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|的最小值是1+0+1＝2；如图所示：故答案为：a这个数在数轴上对应的点到1、2和3三个点的距离之和；2；2．（3）当a取中间数3时，绝对值最小，|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|+|a﹣4|+|a﹣5|的最小值是：2+1+0+1+2＝6．（4）当a取中间数1010时，绝对值最小，|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|…+|a﹣2019|的最小值为：1009+1008+1007+…+1+0+1+2+3+…+1009＝1009×（1009+1）＝1019090．例2．在数学学习过程中，通常是利用已有的知识与经验，通过对研究对象进行观察、实验、推理、抽象概括，发现数学规律，揭示研究对象的本质特征．比如“同底数幂的乘法法则”的学习过程是利用有理数的乘方概念和乘法结合律，由“特殊”到“一般”进行抽象概括的：例3.我国著名数学家华罗庚曾经说过，“数形结合百般好，隔裂分家万事非．”数形结合的思想方法在数学中应用极为广泛．观察下列按照一定规律堆砌的钢管的横截面图：用含n的式子表示第n个图的钢管总数．【分析思路】图形规律中暗含数字规律，我们可以采用分步的方法，从图形排列中找规律；把图形看成几个部分的组合，并保持结构，找到每一部分对应的数字规律，进而找到整个图形对应的数字规律．如：要解决上面问题，我们不妨先从特例入手：（统一用S表示钢管总数）【解决问题】（1）如图，如果把每个图形按照它的行来分割观察，你发现了这些钢管的堆砌规律了吗？像n＝1、n＝2的情形那样，在所给横线上，请用数学算式表达你发现的规律．S＝1+2，S＝2+3+4，_______________________　 　（2）其实，对同一个图形，我们的分析眼光可以是不同的．请你像（1）那样保持结构的、对每一个所给图形添加分割线，提供与（1）不同的分割方式；并在所给横线上，请用数学算式表达你发现的规律：_____________________________________________（3）用含n的式子列式，并计算第n个图的钢管总数．【分析】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是仔细观察图形并找到规律．【解答】（1）由题意知n＝3时，S＝3+4+5+6；当n＝4时，S＝4+5+6+7+8；故答案为：S＝3+4+5+6，S＝4+5+6+7+8；（2）如图所示：当n＝1时S＝1+2；当n＝2时S＝1+2+3+3；当n＝3时S＝1+2+3+4+4+4；当n＝4时S＝1+2+3+4+5+5+5+5；故答案为：S＝1+2，S＝1+2+3+3；S＝1+2+3+4+4+4；S＝1+2+3+4+5+5+5+5；（3）S＝n+（n+1）+（n+2）+…+2n＝（n+n+n+…+n）+（1+2+3+4+……+n）＝n（n+1）+1/2n（n+1）＝3/2n（n+1）．例4．小红根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小红的探究过程，请补充完整：【分析】本题考查规律型：数字的变化类，二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，根据已知等式总结一般规律并应用规律解题．（4）①②根据（2）中的规律即可求解．例5．问题提出：有n个环环相扣的圆环形成一串线型链条，当只断开其中的k（k＜n）个环，要求第一次取走一个环，以后每次都只能比前一次多得一个环，则最多能得到的环数n是多少呢？问题探究：为了找出n与k之间的关系，我们运用一般问题特殊化的方法，从特殊到一般，归纳出解决问题的方法．探究一：k＝1，即断开链条其中的1个环，最多能得到几个环呢？当n＝1，2，3时，断开任何一个环，都能满足要求，分次取走；当n＝4时，断开第二个环，如图①，第一次取走1环；第二次退回1环换取2环，得2个环；第三次再取回1环，得3个环；第四次再取另1环，得4个环，按要求分4次取走．当n＝5，6，7时，如图②，图③，图④方式断开，可以用类似上面的方法，按要求分5，6，7次取走．当n＝8时，如图⑤，无论断开哪个环，都不可能按要求分次取走．所以，当断开1个环时，从得到更多环数的角度考虑，把链条分成3部分，分别是1环、2环和4环，最多能得到7个环．即当k＝1时，最多能得到的环数n＝1+2+4＝1+2×3＝1+2×（22﹣1）＝7．探究二：k＝2，即断开链条其中的2个环，最多能得到几个环呢？从得到更多环数的角度考虑，按图⑥方式断开，把链条分成5部分，按照类似探究一的方法，按要求分1，2，…23次取走．所以，当断开2个环时，把链条分成5部分，分别是1环、1环、3环、6环、12环，最多能得到23个环．即当k＝2时，最多能得到的环数n＝1+1+3+6+12＝2+3×7＝2+3×（23﹣1）＝23．探究三：k＝3，即断开链条其中的3个环，最多能得到几个环呢？从得到更多环数的角度考虑，按图⑦方式断开，把链条分成7部分，按照类似前面探究的方法，按要求分1，2，…63次取走．所以，当断开3个环时，从得到更多环数的角度考虑，把链条分成7部分，分别是1环、1环、1环、4环、8环、16环、32环，最多能得到63个环．即当k＝3时，最多能得到的环数n＝1+1+1+4+8+16+32＝3+4×15＝3+4×（24﹣1）＝63．探究四：k＝4，即断开链条其中的4个环，最多能得到几个环呢？按照类似前面探究的方法，当断开4个环时，从得到更多环数的角度考虑，把链条分成______部分，分别为_______，最多能得到的环数n＝______．请画出如图⑥的示意图．模型建立：有n个环环相扣的圆环形成一串线型链条，断开其中的k（k＜n）个环，从得到更多环数的角度考虑，把链条分成　2k+1　部分，分别是：、k+1、　 　、……、_______，最多能得到的环数n＝_______．实际应用：一天一位财主对雇工说：“你给我做两年的工，我每天付给你一个银环．不过，我用一串环环相扣的线型银链付你工钱，但你最多只能断开银链中的6个环．如果你无法做到每天取走一个环，那么你就得不到这两年的工钱，如果银链还有剩余，全部归你！你愿意吗？”聪明的你是否可以运用本题的方法通过计算帮助雇工解决这个难题，雇工最多能得到总环数为多少环的银链？ 【分析】本题考查了规律型﹣图形的变化类、图形的变化规律以及代数式求值问题；根据探究得出的规律进行解答是解题关键．根据探究一、探究二、探究三找出规律，再根据规律进行解答，即可得出结果．【解答】探究四：按照类似前面探究的方法，当断开4个环时，从得到更多环数的角度考虑，把链条分成9部分，分别为1环、1环、1环、1环、5环、10环、20环、40环、80环，最多能得到的环数n＝1+1+1+1+5+10+20+40+80＝4+5×31＝4+5×（25﹣1）＝159；故答案为：9，1环、1环、1环、1环、5环、10环、20环、40环、80环，159；示意图如下：模型建立：有n个环环相扣的圆环形成一串线型链条，断开其中的k（k＜n）个环，从得到更多环数的角度考虑，把链条分成2k+1部分；故答案为：2k+1；分别是：1、1、1……1、k+1、2（K+1）、……、2k（k+1）；故答案为：2（K+1），2k（k+1）；例6．某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时，发现了两个重要结论．一是发现抛物线y＝ax2+2x+3（a≠0），当实数a变化时，它的顶点都在某条直线上；二是发现当实数a变化时，若把抛物线y＝ax2+2x+3的顶点的横坐标减少1/a，纵坐标增加1/a ，得到A点的坐标；若把顶点的横坐标增加1/a ，纵坐标增加1/a ，得到B点的坐标，则A、B两点一定仍在抛物线y＝ax2+2x+3上．（1）请你协助探求出当实数a变化时，抛物线y＝ax2+2x+3的顶点所在直线的解析式；（2）问题（1）中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点，你能找出它来吗？并说明理由；（3）在他们第二个发现的启发下，运用“一般﹣一特殊﹣一般”的思想，你还能发现什么？你能用数学语言将你的猜想表述出来吗？你的猜想能成立吗？若能成立请说明理由．【分析】（1）首先将抛物线y＝ax2+2x+3转化成顶点式，写出用a表示的顶点坐标，消去a写出y关于x的表达式；（2）观察（1）中的顶点坐标，-1/a≠0，即横坐标≠0，则纵坐标≠3；（3）首先写出抛物线的一般形式，再转化成顶点式，将顶点的横坐标增加1/a ，代入一般式，验证纵坐标也增加1/a ．例7．由特殊到一般、类比、转化是数学学习和研究中经常用到的思想方法．下面是对一道几何题进行变式探究的思路，请你运用上述思想方法完成探究任务．问题情境：在四边形ABCD中，AC是对角线，E为边BC上一点，连接AE．以E为旋转中心，将线段AE顺时针旋转，旋转角与∠B相等，得到线段EF，连接CF．（1）特例分析：如图1，若四边形ABCD是正方形，求证：AC⊥CF；（2）拓展分析一：如图2，若四边形ABCD是菱形，探究下列问题：①当∠B＝50°时，求∠ACF的度数；②针对图2的条件，写出一般的结论（不必证明）；（3）拓展探究二：如图3，若四边形ABCD是矩形，且BC＝kAB（k＞1）．若前提条件不变，“特例分析”中得到的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，修改题中的条件使结论成立（不必证明）．【分析】本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．【解答】（1）证明：如图1中，作EH∥AC交AB于H．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠BAC＝∠BCA＝45°，∵EH∥AC，∴∠BHE＝∠BAC＝45°，∠BEH＝∠BCA＝45°，∴∠BHE＝∠BEH＝45°，∠AHE＝135°，∴BH＝BE，∴AH＝CE，∵∠AEC＝∠B+∠BAE＝∠AEF+∠CEF，∵∠AEF＝∠B＝90°，∴∠HAE＝∠CEF，在△HAE和△CEF中，AE=EF, ∠HAE＝∠CEF，AH=CE，∴△HAE≌△CEF，∴∠AHE＝∠ECF＝135°，∵∠BCA＝45°，∴∠ACF＝90°，∴AC⊥CF．（2）解：①如图2中，作EH∥AC交AB于H．∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∠BAC＝∠BCA，∵EH∥AC，∴∠BHE＝∠BAC，∠BEH＝∠BCA，∴∠BHE＝∠BEH，∴BH＝BE，∴AH＝CE，∵∠AEC＝∠B+∠BAE＝∠AEF+∠CEF，∵∠AEF＝∠B，∴∠HAE＝∠CEF，在△HAE和△CEF中，AE=EF, ∠HAE＝∠CEF，AH=CE，∴△HAE≌△CEF，∴∠AHE＝∠ECF，∵∠B＝50°，∴∠BHE＝∠ACB＝65°，∴∠AHE＝∠ECF＝115°∴∠ACF＝115°﹣65°＝50°．②结论：∠ACF＝∠B．（证明方法类似①）（3）解：结论：当EF＝kAE时，CF⊥AE．理由如下：如图3中，作EH∥AC交AB于H，AC与EF交于点O．∵EH∥AC，∴AH/AB=EC/CB，∴AH/EC=AB/BC=1/K，∵EF＝kAE，∴AH/EC=AE/EF=1/K，∵∠AEC＝∠B+∠BAE＝∠AEF+∠CEF，∵∠AEF＝∠B＝90°，∴∠HAE＝∠CEF，∴△HAE∽△CEF，∴∠HEA＝∠F，∵∠HEA＝∠CAE，∴∠CAE＝∠F，∵∠AOE＝∠FOC，∠EAO+∠AOE＝90°，∴∠FOC+∠F＝90°，∴∠OCF＝90°，∴AC⊥CF．只要我们用心研究，可以发现数学无穷无尽的美！以退为进本身就是一种美妙的策略！辛劳的同学们：退是一种策略，进是一种目标，为了达到目标，我们要讲究策略；退是一种追求，进是一种理想，为了实现理想，我们要不断追求；退是一种境界，进是一种价值，为了创造价值，我们要提高境界；退是一种智慧，进是一种成功，为了走向成功，我们要积累智慧；以退为进，不仅可以享受数学，还可以感悟人生！请允许我借用罗增儒教授写给对解题说过一段话：解题能力是数学教师的一个专业制高点，研究解题是专业攀登的一座发展里程碑。成为解题专家不仅要自己知道怎样解题，而且能指导学生也学会解题。谁都无法教会我们解所有的数学题，重要的是，通过有限道题的学习去领悟那种能解无限道题的数学素养。数学上负数比零更小，解题中没有想法比想错了更糟；数学上实数和虚数都是真实的数，奋斗中成功与失败都是生命的歌。