数学学习与研究

第十章小学数学学习评价第一节小学数学学习评价的内涵及基本理念一、学习评价的内涵（一）评价的含义评价的含义为阐释、衡量人或事的作用与价值，泛指人们根据自己的需要和见解，对人或事所客观具有的价值（正面或反面、积极或消极）判断与衡量，其实质是促进人或事的改善与发展，它是人的行为自觉性、反思性的体现，也是人类的一种认识活动。（二）学习评价的含义学习评价就是指评价者依据教育教学目的，对学生所从事的学习活动（不仅仅是学习结果）进行价值判断的过程。（三）小学数学学习评价的含义小学数学学习评价是在小学数学课程实施之后对学生所实现的预期目标的程度进行测评、鉴定，并作出价值判断与衡量的过程。二、学习评价的基本理念（一）评价目标多元化（二）评价过程动态化（三）评价主体多样化第二节小学数学学习评价的基本功能一、导向功能导向功能主要是指评价本身所具有的引导评价对象朝着理想目标前进的功效与能力。二、诊断功能诊断功能主要是指评价在小学数学学习上对学生的学力状况作出价值判断。三、激励功能激励功能主要是指评价在小学数学学习上所起到的激发内驱力的作用。四、改进功能改进功能主要是指评价在小学数学学习上所起到的调节和控制作用。五、管理功能第三节小学数学学习评价的方法与手段一、数学测验（一）数学测验的题型1.根据习题构成要素分类（1)标准性题即四个要素全部为已知的题。（2)训练性题即四个要素只有一个是学生所不知道的，而其余三个要素都是学生已经知道的题。（3)探索性题即四个要素中有两个是学生所不知道的，而其余两个则为已知的题。（4)问题性题即四个要素中仅有一个是学生已知的。2.根据习题评分误差分类（1)客观题客观题又可以分为两类：一类是选择一反应式题目，主要包括：是非题、匹配题与选择题；另一类称为建构－－反应式题目，也就是填空题。客观题的共同特征是：结构严谨，事先规定了学生反应的类型。（2)主观题根据问题结构特征，主观题又可以分为封闭题与开放题。①封闭题--如：计算题、传统应用题等都是封闭题。②开放题（二）数学测验的类型1.按照测验参照标准分类（1)常模参照测验用来作为在学生中分类、编班、编组的依据。如选拔性考试（数学竞赛等）就属于常模参照测验。（2)目标参照测验如平时测验、单元测验、毕业会考等都属于目标参照测验。2.按照测验作用不同分类（1)诊断性测验如新学期、新学年开始时的摸底测验。（2)形成性测验形成性测验为形成性评价而进行。例如，平时测验、单元测验都是形成性测验。（3)总结性测验总结性测验为总结性评价而进行。如期末考试、毕业考试等都是总结性测验。3.按照测验编制来源分类（1)标准化测验（2)教师自编测验4.按照测验评分误差分类（1)客观型测验编制比较困难。（2)主观型测验（三）数学测验的优劣数学测验的优点：可以进行大范围的实施，有利于提高测验的效率；便于完整记录学生在题目作答中的反应；便于实施且容易实现评价过程的规范化和标准化，从而提高评价的信度和效度；便于对测验中答题信息的分析研究。数学测验的缺点：教师不能对学生的回答或观点作及时而深入的询问；所测量的目标仅局限于认知领域，对于情感方面的目标则难以测量；特别是那些过分注重客观题的纸笔测验，往往只涉及课程内容中有明确界定的掌握性结果，而对那些高级心智技能则重视不够。二、表现性评价1.表现性评价的含义表现性评价是通过实际任务来表现知识和技能成就的评价方式，是一种教师评价与学生自我评价相结合、评价的内容和过程融为一体的定性评价方式，它能够反映出学生发展与进步的历程，增加他们学好数学的信心。表现性评价又称基于表现的评价、真实性评价、操作性评价、另类评价等。2.表现性评价的特点表现性评价有如下主要特点：既可以是一种课堂活动，又可以是种测验形式；是对学习的直接测量；既测量学习结果又评价学习过程；可以嵌入在课堂活动中；能评价社会技能，如合作能力、分享和商讨等。3. 表现性评价的方式（1)调查实验（2)数学日记（3)档案袋（4)课堂观察（5)数学专题作业数学专题作业具有应用性、探索性、开放性等特征。三、交流式评价1. 交流式评价的含义交流式评价，主要指通过直接和学生交谈而获取关于学生学习状况的有用信息的一种方法。2.交流式评价的形式（1)课堂提问（2)访谈（3)课堂讨论（4)口头测验四、自我评价建立“学生评价卡”是一种较为有效可行的自我、评价方法。建立“学生评价卡”应注意如下几方面要求：第一，在内容与形式上能简明准确地反映学生学习某一个系统知识的学习情况。第二，用填表或画图的形式反映学生每次提问、测验、考试取得的原始分数，并注明每次测验的班级平均分和学生本人在班级的相对名次。第三，学生定期检查自己学习情况的变化，是呈上升趋势，还是保持稳定状态。第四，能体现学生自己的预定目标。第四节小学数学学习评价的实施策略一、数学作业评价的实施策略（一）数学作业评价的两个问题1. 作业的布置关于作业的布置，存在如下问题。（1)作业内容的统一化（2)作业形式的单一化（3)作业布置的随意化2. 作业的批改（1)作业批改费时较多（2)作业批改流于形式（二）数学作业评价的基本策略1. 有选择地布置作业（1)有层次地编排作业（2)作业形式多样化（3)作业选择自由化2.让学生参与作业批改3.有效利用家长参与利用作业进行评价是实现多主体评价的最佳途径，也是家长能够参与评价的唯一途径。然而，在课程改革中，一些学校或教师只是从形式上去理解多元评价，往往是不论评价的内容与目的，一律采取家长参与评价的方式。事实上，家长参与评价并非指家长可以控制作业的内容，或者对作业进行评分，而是指家长要扮演一个观察者或记录员的角色，以监督学生在家中做作业的情况。家长参与评价过程中所负有的责任就是代替教师控学生做作业的过程，并帮助教师收集学生做作业的信息。二、数学考试评价的实施策略（一）数学命题1. 命题原则编拟小学数学试题一般应遵循以下原则：（1)适中性原则（2)代表性原则（3)科学性原则（4)客观性原则2.质量指标评价数学试题的质量指标主要有难度和区分度。（1)难度（2)区分度（二）试卷编制1. 试卷编制的基本原则（1)目标性原则（2)科学性原则（3)客观性原则（4)时代性原则2.试卷编制的基本要求（1)全面。（2)适度。（3)适量。（4)独立。（5)合理。（6)简明。（7)准确。（8)新颖。3.试卷编制的一般程序（1)明确考试目的（2)确定考试内容（3)设计制卷计划双向细目表，也称试卷蓝图，是一种反映试题内容和考查要求的向的表格，它实际上是一份命题计划 双向细目表由双向栏目组成，（4)编制试卷内容（5)审查修改试题（6)试答试题内容（7)调整试题内容（8)制定评分标准（三）组织考试1. 数学考试的实施层面（1)学校层面的数学考试（2)课堂层面的数学考试2.数学考试的实施策略（1)减少考试次数，缓解心理压力（2)开放考试过程，鼓励学生参与（四）试卷分析（五）结果分析选拔性考试运用标准分数较好，而水平性考试仍用原始分数较好。

第六章 数与代数的教学第一节 数与代数教学的价值、内容与目标一、数与代数教学的价值（一）能使学生体会到数学与现实生活的紧密联系（二）有助于促进学生对数学学习的兴趣，培养初步的创新意识和发现能力（三）有助于学生树立辩证唯物主义观点，学会利用科学观点认识现实世界二、数与代数的课程内容第一学段（一）数的认识1.在现实情境中理解万以内数的意义，知道万以内数的十进制组成，认、读、写万以内的数，能用数表示物体的个数或事物的顺序和位置。2.能说出各数位的名称，理解各数位上的数字表示的意义；知道用算可以表示多位数。3.理解符号《，＝，》的含义，会比较万以内数的大小。4. 在生活情境中感受大数的意义，并能进行估计。5. 能结合具体情境初步认识小数和分数，能读、写小数和分数。6. 能结合具体情境比较两个一位小数的大小，能比较两个同分母分数的大小。7.能运用数表示日常生活中的一些事物的数量，并能进行交流。（二）数的运算1.结合具体情境，体会整数四则运算的意义。2. 能熟练地口算20以内的加减法和表内乘除法，能口算百以内的加减法和一位数乘除两位数。3.能计算三位数的加减法，一位数乘三位数、两位数乘两位数的乘法，三位数除以一位数的除法。4. 认识小括号，能进行简单的整数四则混合运算（两步）。5. 会进行同分母分数（分母小于10)的加减运算以及一位小数的加减运算。6.能结合具体情境进行估算，并会解释估算的过程。7. 经历与他人交流各自算法的过程。8. 能运用数及数的运算解决生活中的简单问题，并能对结果的实际意义作出解释。（三）常见的量1.在现实情境中，认识元、角、分，并了解它们之间的关系。2.能认识钟表，了解24时计时法；结合自己的生活经验，体验时间的长短。3. 认识年、月、日，了解它们之间的关系。4.在现实情境中，感受并认识克、千克、吨，能进行简单的单位换算。5.能结合生活实际，解决与常见的量有关的简单问题。（四）探索规律第二学段（一）数的认识1. 在具体情境中，认识万以上的数，了解十进制计数法，会用万、亿为单位表示大数。2.结合现实情境感受大数的意义，并能进行估计。3.会运用数描述事物的某些特征，进一步体会数在日常生活中作用。4. 知道2,3,5的倍数的特征，了解公倍数和最小公倍数；在1-100的自然数中，能找出10以内自然数的所有倍数，能找出10以内两个自然数的公倍数和最小公倍数。5.了解公因数和最大公因数；在1-100的自然数中，能找出一个自然数的所有因数，能找出两个自然数的公因数和最大公因数。6.了解自然数、整数、奇数、偶数、质（素）数和合数等概念的意义。7.结合具体情境，理解小数和分数的意义，理解百分数的意义；会进行小数、分数和百分数的互化（不包括将循环小数化为分数）。8. 能比较小数的大小和分数的大小。9. 在熟悉的生活情境中，了解负数的意义，会用负数表示日常生活中的一些量。（二）数的运算1. 能计算三位数乘两位数的乘法，三位数除以两位数的除法。2.认识中括号，能进行简单的整数四则混合运算（以两步为主，不超过三步）。3.探索并了解运算律（加法的交换律和结合律、乘法的交换律和结合律、乘法对加法的分配律），会应用运算律进行一些简便运算。4. 在具体运算和解决简单实际问题的过程中，体会加与减、乘与除的互逆关系。5.能分别进行简单的小数、分数（不含带分数）加、减、乘、除运算及混合运算（以两步为主，不超过三步）。6.能解决小数、分数和百分数的简单实际问题。7. 在具体情境中，了解常见的数量关系：总价＝单价x数量、路程＝速度X时间，并能解决简单的实际问题。8.经历与他人交流各自算法的过程，并能表达自己的想法。9. 在解决问题的过程中，能选择合适的方法进行估算。10.能借助计算器进行运算，解决简单的实际问题，探索简单的规律。（三）式与方程1. 在具体情境中能用字母表示数。2. 结合简单的实际情境，了解等量关系，并能用字母表示。3.能用方程表示简单情境中的等量关系（如3x+2=5,2x-x=3),解方程的作用。4. 了解等式的性质，能用等式的性质解简单的方程。（四）正比例、反比例1. 在实际情境中理解比及按比例分配的含义，并能解决简单的问题。2.通过具体情境，认识成正比例的量和成反比例的量。3. 会根据给出的有正比例关系的数据在方格纸上画图，并会根据其中一个量的值估计另一个量的值。4. 能找出生活中成正比例和成反比例关系量的实例，并进行交流。（五）探索规律三、数与代数的课程目标《课标（2011年版）》在概述总目标之后，就每一学段的教学分别从知识技能、数学思考、问题解决与情感态度等四个方面对总目标进行了具体阐述。（一）数的认识“数的认识”内容变化主要表现在三个方面：一是突出数概念在小学数学中的核心地位。二是明确理解数的意义是数概念教学的重点三是突出数感的培养。（二）数的运算《课标（2011年版）》把传统教学重视的与新课程的做法有机结合起来，提高了运算能力的要求。在口算方面，把原来第二学段“能口算百以内一位数乘、除两位数”放到第一学段，并连同百以内的加减法改为“能口算简单的百以内的加减法和位数乘除两位数”。在笔算方面，第一学段增加了“认识小括号，能进行简的的整数四则混合运算（两步）”。关于估算，新课程非常重视，要求教师自始至终重视估算的教学。《课标（2011年版）》关于估算的要求更加明确具体。另外，关于算法与探索规律等内容，变化也比较明显。（三）式与方程《课标（2011年版）》主要变化有：一是增加了“结合简单的实际情境，了解等量关系，并能用字母表示”。二是将原来的“（会用方程表示简单情境中的等量关系”改述为“能用方程表示简单情境中的等量关系（如3x+2=5,2x-x＝3),了解方程的作用”。三是将“理解等式的姓质”改述为“了解等式的性质”。利用等式的性质解方程，其目的是加强中小学数学教学的衔接。因为过分强调方法统一，学生个性受到一定压制，很难体验“解决问题方法多样化”。从“理解”调整为“了解”，降低对“等式性质”的学习要求。（四）珠算与计算器的使用《课标（2011年版）》则提出“能借助计算器进行运算，解决简单的实际问题，探索简单的规律”。（五）应用题改革的总体趋势是：内容由繁难庞杂趋向于简洁明了，解法由算术解到算术解与方程解相结合，能力培养上由单纯重视解题技能发展为同时重视解题思路。新课程始终强调计算教学与问题解决教学白融合。值得提出的是，《课标（2011年版）》在重视分析与解决问题能力的同时，突出了发现与提出问题能力的培养；在掌握分析与解决问题的基本方法的同时，了解解决问题方法的多样性。第二节 数与量的概念教学一、自然数概念的教学自然数概念的教学内容一般包括：20以内、100以内、万以内以及方以上数的认识（或者称“大数的认识”）四个阶段，另外还包括因数与倍数等内容。自然数概念的教学包括以下几点：（一）引导学生在生动具体的情境中认数（二）教学（三）突出自然数抽象意义的理解1. 联系实际体会自然数的意义，使学生在应用中深化对数概念的认识。2. 应重视数的读写教学。正确读写自然数与理解自然数意义是相互促进的。3. 了解十进制计数法。十进制计数法的主要内容有二：一是计数单位问的关系－每相邻两个计数单位间的进率是10;二是计数法的位值原而哪个数位上的数字是几，就表示有几个这样的单位。了解十进制计救法有助于加深对目然数的意义的理解。教学中要注意联系各种现实情境引导学生逐步体会十进制计数法的本质。（三）循序渐进培养学生的数感关于数感的构成要素，有研究者认为包括“数的意义、数的表示、数的关系、数的运算、数的估算、数的问题解决”等六个方面。（四）在因数与倍数等概念教学中进一步理解自然数二、分数、小数、百分数、负数概念的教学（一）分数的认识现行教材中分数概念通常从三个层面帮助学生理解：一是“比率”，即指部分与整体的关系或部分与部分的关系。二是“度量”，指的是可以将分数理解为分数单位的累计。三是“商”，即把分数视为两个整数相除的结果（即商定义）。实际教学一般分成两个阶段。第一阶段，教学“分数的初步认识”，一般安排在第一学段。主要是结合现实情境认识具体分数，突出分数的实质是“平均分”，帮助学生初步建立分数是部分与整体的关系。第二阶段，教学“分数的意义与基本性质”，多维度理解分数概念的内涵，一般安排在第二学段。（二）小数的认识1. 小数意义的教学2.小数性质的教学（三）百分数的认识（四）负数的认识1. 密切联系熟悉的生活情境，初步认识负数意义2.注重通过实际应用加深对负数意义的理解三、常见的量的教学（一）结合现实情境，认识货币单位（二）联系具体情境，感受重量单位克、千克、吨是国际通用的重量单位，也是我国法定的计量单位。（三）通过观察操作，体验时间单位2.认识大月和小月。3.记住大月和小月。4.计算全年的天数。第三节 数的运算的教学一是引导学生在具体情境中理解运算的意义与价值。二是要重视基本运算技能的训练。三是要重视直观算理与抽象算法教学的有效联结。四是要注意算法多样化与算法最优化教学的和谐统一。五是注意口算、笔算与估算的有机结合。数的运算主要包括整数四则运算（小数四则运算和分数四则运算，分别讨论如下。一、整数四则运算的教学（一）整数加减法教学2.100 以内加减法的教学（1)把解决实际问题与计算结合起来（2)引导学生经历算法的探索过程，理解算理，掌握算法3. 万以内加减法教学（二）整数乘除法的教学1. 乘除法意义的教学2.表内乘除法的教学3.乘、除数是一、两位数的乘除法的教学二、小数四则运算的教学（一）小数加减法教学1. 结合小数的初步认识，学习一位小数的加减法。2. 系统教学小数加减法。因为学生在整数加减法的学习中已经知道了只有计数单位相同的数才能直接相加减。（二）小数乘除法教学计算小数乘法是先不看小数点，按照整数乘法来计算，然后在得到的积中点上小数点。三、分数四则运算的教学（一）分数加减法的教学1. 同分母分数加减法2.异分母分数加减法异分母分数加减法法则是先通分，再按同分母分数加减法法则计算。（二）分数乘除法的教学1. 分数乘法2. 分数除法分数除法是学生在学习整数除法和分数乘法的基础上教学的。教学时可分成分数除法的意义与分数除法的计算法则两个层次进行。第四节 式与方程以及实际问题的教学一、用字母表示数与易方程的教学（一）用字母表示数教学时要注意以下几点：1. 引导学生体会用字母表示数的优越性根据小学生的思维特点与年龄特征，教学时，要选择一些针对性强的实际问题，引导学生经历由具体的、确定的数到用字母表示数的逐步抽象过程，体会用字母表示数的简洁与便利。教学用含有字母的式子表示计算公式（主要是几何求积公式），可引导学生自己写出相应的公式。由正方形面积计算公式引出a2时，要讲清其意义、读法与写法，注意将a2与2a对比，以防混淆。a2表示a乘以a的积，aX2表示两个a相加的和或者a的2倍。3.指导学生学会求含有字母的式子的值，进行同单式的化简（二）简易方程1. 引导学生认识方程的意义，学会用方程表示简单情境中的等量关系方程是含有未知数的等式，它是等式的下位概念。2.结合操作，了解等式的性质，学会用等式性质解简易方程总之，在小学里教学简易方程，要注意由简到繁、循序渐进。对于较复杂的类型，要引导学生先把它们转化为较简单的情形。二、列方程解实际问题的教学（一）列方程与列算式解实际问题的比较（二）列方程解实际问题教学的意义1.感受数学应用价值，渗透数学思想方法2.增强思维灵活性，进一步提高发现与提出问题、分析与解决问题的能力（三）列方程解实际问题的教学1.打好知识基础，实现顺利过渡2.密切结合实际，设计适合用方程解的问题3.把握教学关键，渗透数学思想4.加强比较，发展学生思维第五节 比和比例的教学一、比与比例的概念比和比例一直是初学者容易混淆的两个概念。两个数相除，又叫作这两个数的比。二、按比例分配按比例分配就是把一个数量按照一定的比进行分配，它是“平均分”的拓展。三、成正比例、成反比例的量（一）注意通过实例比较概念的异同（二）引导学生画正比例关系图，并根据一个量的值估计另一个量的值在学生了解了什么是成正比例、成反比例的量后，可引导学生根据给出的有正比例关系的数据在有坐标系的方格纸上画图，以加深学生对正比例的认识，并使学生在直观上感受函数思想，为以后学习函数图像的绘制奠定基础。（三）引导学生寻找生活中成正、反比例的量的实例，并进行交流在教学成正、反比例的量后，可要求学生举出生活中的实例，并相互交流，使他们在交流中感受到数学与生活的密切联系。第六节 探索规律的教学一、合情推理与演绎推理合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推《断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相成。合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。在小学阶段，重点是通过观察、实验、猜想等数学活动培养学生的合情推理能力，同时通过结论的验证与应用为演绎推理能力的形成奠定必要的基础。二、小学数学中探索规律的教学内容与编排从《课标（2011年版）》来看，一方面，在各领域公式、法则、算法等规律性知识的教学中，强调让学生经历发现、探索的过程；另一方面，将“探索规律”作为数与代数中的独立内容，以加强这方面知识的教学力度。各学段具体目标如下：三、探索规律的教学策略教学时，需要仔细研究、深入理解、准确把握、科学设计。（一）引导学生探索简单情境中的变化规律在探索规律的过程中，观察是基础，猜想是关键。通过观察，把握现象背后的本质，而猜想的过程主要运用的就是归纳、类比等合情推理。（二）引导学生探索给定情境中隐含的规律或变化趋势教学中问题的探索性、开放性更强。另外，发现的规律要用数学方法表示，有些表示方法可以看作数学模型或者相当接近数学模型了。（三）重视公式、法则、定律等知识探索过程的教学

第九章综合与实践的教学第一节综合与实践教学的价值和目标一、注重综合与实践是国际数学课程改革的共识二、综合与实践的教育价值（一）加强数学与生活实践的联系（二）改变数学学习方式，积累基本活动经验（三）有助于培养学生的模型思想，体会数学的应用价值（四）有助于实践能力、创新能力的发展三、综合与实践的课程目标通过“综合与实践”，学生能加深对其他三个学习领域内容的理解，获得数学基本活动经验；发展推理能力（包括合情推理、演绎推理）和问题解决能力；形成参与数学活动的积极情感。第二节综合与实践的内容与形式一、综合与实践的课程内容（一）综合与实践活动内容涉及的领域1. 个人成长。2.家庭生活。3.学校生活。4. 社会生活。（二）综合与实践活动内容的特点1.综合性。2.操作性。3.现实性。4. 探索性。二、综合与实践常见的学习形式（一）数学测量数学测量是指学生在教师指导下，运用所学知识和方法，利用简易量具（如三角板、量角器、量筒、时钟等），对事物的长度、面积、体（容）积、角度、质量、时间、温度等属性进行度量的过程。（二）数学调查数学调查是指学生在教师指导下，从学习生活和社会生活中选择和确定调查专题，收集、分析信息并作出决策的学习活动。数学调查首先要确定专题，调查的专题一般来自于日常生活和生产实际，可以由教师提出，也可以由学生提出。根据调查的专题再组成协作小组，通过制订计划、落实分工、开展调查研究，最后形成结论并撰写报告。（三）数学制作数学制作主要指利用材料进行儿何模型的制作，数学教具、学具的制作，数学玩具的制作等。（四）数学游戏数学游戏必须具备两个特点：一是要有趣味性和娱乐性，能调动学生参与的积极性；二是要蕴含数学的原理和方法，为学习数学知识，解决数问题服务。（五）数学实验数学实验是指学生在教师指导下以数学学习为目的，运用小学数学的知识、思想和方法，以及实验器材，通过某一事物或现象发生、发展或变化，验证或探索数学规律的活动过程。数学实验具有以下基本特征：一是重复性；二是可以实现定性研究和定量研究。数学实验可以分为验证性实验和探索性实验。它们的区别在于：验证性实验时实验者已经知道实验结果；探索性实验时实验者对其结果并不知道，还有待发现。（六）数学建模所谓“数学建模”，是指将实际问题，经过抽象、简化，明确变量和参数，并依据某种“规律”建立变量和参数间的一个明确的数学关系（即数学模型），然后求解该数学问题，并对此结果进行解释和验证。“数学模型”有两个特点：一是经过抽象、简化；二是这种结构是借助数学符号来表示的，并能进行数学推演的结构。数学建模的过程，是实践－理论－实践的过程，是理论与实践有机结合。学会建立数学模型的方法，提高学生应用数学知识解决实际问题的能力。一般要注意以下几点：（1)审题。（2)简化。（3)抽象。（七）小课题研究组织小课题研究需要注意以下几点：（1)要有好的问题。（2)注重引导学生进行探索，发挥学生学习的自主性。（3)组织学生合作交流。（4)对小课题研究的评价要针对小组、注重过程。（八）动手做活动它的基本过程是：提出问题－动手做实验－观察记录－解释讨论－得出结论－表达陈述。第三节综合与实践的实施和评价一、综合与实践活动的主要环节（一）创设情境，提供背景（二）发现问题，提出问题提出问题能力的水平可以分为三个层次：事实性水平、联系性水平、探究性水平。（三）探索研究，解决问题（四）评价激励，收获成果二、综合与实践活动应注意的问题（一）活动的内容要贴近学生实际，起点要低（二）活动要有一定的开放性，给学生留有一定的探究空间。（三）注重学生参与过程和在活动中的体验（四）数学活动要能体现数学的本质，有助于提高学生的数学素养（五）在数学活动中合作交流、获得经验和情感体验（一）注重过程（二）定性为主定性描述通常以评语的形式给出，主要关注学生已经掌握了什么，获得了哪些进步，具备了哪些能力。（三）方法多样（四）关注情感

图形与几何的教学第一节 图形与几何教学的意义、内容和要求一、教学图形与几何的意义（一）培养思维能力（二）培养初步的空间观念和创造力（三）培养用形的知识解决简单的实际问题的能力（四）渗透“数形结合”思想（五）提升数学课程在义务教育中的地位二、图形与几何的教学内容和编排课程标准规定的关于“图形与几何”的教学。（一）强调问题情境的设置（二）注重所学知识与日常生活的联系（三）削减单纯的周长、面积和体积的计算（四）增加“图形变换”和“空间位置确定”的内容，以及绘制图案和制作模型等活动（五）突出探索性活动三、图形与几何的教学要求（一）认识常见的几何形体在直观认识的基础上，明确其特征，了解它们相互之间的区别和联系。能正确使用所学的几何名词。在明确概念的基础上进行推理训练，发展学生的几何直觉、空间观念和数学思维。（二）认识常用的几何量及其计量形成长度与角度、面积与体（容）积等几何量的概念。认识常用的计量位及其进率与换算。掌握并学会推导有关的计算公式，并能将公式用于计算、估算或论证，以解决某些实际问题或理论问题。（三）直观认识图形的平移、旋转和轴对称能在方格纸上将简单图形平移、旋转90°、放缩，或者绘制其轴对称图初步认识轴对称图形。能作出恰当的判断并说明理由。（四）直观认识图形的位置会用“上、下、左、右、前、后”和“东、南、西、北”等词语表述物体的相对位置。能用有序数对表示或确定物体在一个平面内的位置。第二节 图形认识的教学要使他们认识一种图形，明确图形的特征，建立正确的表象，形成这种图形的概念，有两种基本方式：一是从典型的实际事例出发，抽象概括；二是从已有的相关知识出发，定义新的概念。在课堂教学中，大致表现为以下三种情形：第一，举出典型的实际事例让学生观察，以建立正确的表象；从事例抽家出图形，分析它们的各种属性；找出它们的共同属性，并且区分本质属性和非本质属性；最后，概括共同的本质属性，以形成概念。第二，研究新授概念的某个邻近的属概念；将这个属概念适当分类；弄清每一类的特征，从而明确新授概念的种差。小学生认识锐角三角形、直名三角形、钝角三角形等图形，就属于这种情形。第三，先举出典型事例使学生初步认识某种图形，再用属加种差定义使学生明确这个概念。角、正方形、梯形等图形的认识都是这样处理的。一、平面图形认识的教学（一）线段、直线、射线的教学①教师用直尺在黑板上的两点间画线。用拉紧的粉线在两点间弹线。同时，让学生在作业本上的两点间画线。指出：这样画的线都是线段。②让学生讨论、交流，最后明确线段的特征：线段是直的（而不是弯曲的）；线段有两个端点；在联结两点的线中，线段最短：数学上所说的“线段”是没有粗细的。（举出有关的事例）出示画有各种线的卡片，让学生辨别：其中哪些是线段、哪些不是线段。④让学生从周围的环境里找出线段。⑤让学生将画出的线段向一方延长，再延长······告诉学生：线段向一方无限延长得到的图形叫作射线；线段向两方无限延长得到的图形叫作直线，从而认识：射线是向一方无限延伸的，射线有一个端点；直线是向两方无限延伸的，直线没有端点。⑥要求学生用直尺画直线，过一点画以及过两点画，获得“经过两点只能画一条直线”的感性的、经验性的认识。这样，小学生先通过直观教学认识有限的图形“线段”；然后在此基础上，通过画图操作和想象，认识无限的图形“射线”和“直线”。（二）角和直角的教学1. 角和直角的初步认识①小学生初步认识角是在正式学习角的定义之前。这时，所谓“角”，还只是日常语言中的词汇，并且常常是作为具体事物的组成部分而存在着。②角的活动模型的演示和画角的操作，可以使学生初步认识角的大小。③直角的初步认识，也可以从实际事例的观察开始，然后过渡到用纸片折直角。2.角的意义，度量、画法和分类①系统学习“角”的基础知识时，首先要复习直线和线段，并且引进“射线”。然后，用射线定义角，进而定义角的顶点和边。定义后，可以让学生就一些实物指出其中的角，以及每个角的顶点和边，以充实感知，丰富表象，加强理性认识的感性基础。②为了使学生认识角的边是射线，而不是线段，从而对角的大小形成正确的观念，教者可以出示两个大小悬殊的正方形或三角板，指出：它们虽然有大有小，但其中的直角都一样大（叠合显示）。③为了强调角的边是射线，角的大小和它的两边画得长一些或短一些没有关系，可以提出这样一道趣题：什么东西在放大镜下不会被放大？（三）垂线和平行线的教学垂线和平行线不仅本身有着广泛的应用，而且是学习后面许多知识的基础。教学这部分内容，应使学生认识垂线和平行线的意义，会画出一条直线的垂线和平行线，并且知道在不同条件下画垂线或平行线能否画出，能画多少。1. 互相垂直，垂线和垂足①认识两条直线互相垂直，可以从考察两条相交直线开始。先让学生用量角器量其中的一个角的度数，然后推算另三个角。并且思考：如果其中一个角是直角，那么另三个角各是什么角？②定义互相垂直、垂线和垂足。强调“垂线”总是针对和它垂直的另一直线而言。③出示画有相交直线的几张卡片，让学生从中挑出互相垂直的。并且注意他们都是相交直线，从而突出垂直是相交的特例。④引导学生观察周围的事物，回忆日常生活中的见闻，举出两条直线互相垂直的实例。⑤给出类似下面的图形（图7.5),让学生从中找出互相垂直的直线，并用三角板检验。防止学生误解：只有铅垂线和水平线才是互相垂直的。⑥指导学生画垂线。使学生从画图的实践中认识到：过直线上或直线外的一点有且只有一条直线和这条直线垂直。2. 点到直线的距离①让学生从线外一点到这条直线画一条垂直的线段和几条不垂直的线段。②要求学生先凭观察和直觉，判断这些线段的长短。然后用刻度尺量一量，比一比，加以证实。③定义点到直线的距离。④运用“点到直线的垂直线段最短”这一性质研究和解决相关的实际问题。3.平行线①认识平行线，可以从考察同一平面内的两条线段开始，弄清这样的两条线段的位置关系有以下三种情形：相交、延长后相交，以及无论怎样延长都不相交。②问：线段向两方无限延长得到的图形是什么？同一平面内的两条直线的位置关系有哪几种情况？③定义平行线。④让学生在两条平行线间画几条垂直线段;关于它们的长度间的关系，可以要学生先在观察的基础上作出猜想；然后通过量一量、比一比，或其他办法检验猜测是否正确；最后得出“两条平行线之间的垂直线段都相等”的结论，还可以让学生根据一年级已有的知识“长方形的对边相等”，运用演绎推理推出，以体现“直观几何”、“实验几何”与“论证几何”的结合。（四）长方形和正方形的教学1.长方形和正方形的直观认识由实例抽象出图形，让学生观察，形成表象，并且通过折叠认识：长方形每一组对边的长度相等；正方形四边的长度都相等。2.长方形和正方形的认识为了进一步认识长方形和正方形的特征，明确概念的内涵，可以提出类似下面的问题，引导学生思考、讨论、探究：①长方形（包括正方形）有几条边、几个角？②各边的长短有什么关系？你是怎么知道的？③每个角都是什么角？怎样检验？④正方形除以上特征外，还有哪些特征？（五）三角形的教学1.三角形和它的稳定性①从实例抽象出图形后，出示不同类型、不同位置的三角形让学生观察，抽象概括，形成三角形的概念－由三条线段围成的图形叫作三角形。②出示用三根木条钉成的三角形（以及用四根木条钉成的四边形），让学生拉一拉，看看在各边的长度不变的条件下它们的形状会不会改变。2.直角三角形、锐角三角形和钝角三角形①复习直角、锐角和钝角的概念以及检验的方法。②列表出示若干个三角形。让学生检验每个三角形的三个角。③让学生根据统计数据试着将这些三角形分类，并研究每一类三角形的特征。④在以上探索、研究、讨论的基础上，再给出锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的定义。⑤为了强化对小学生的思维训练，可以提出一些类似下面的问题，让他们根据上述定义进行推理，作出判断。3. 等腰三角形和等边三角形①出示可以对折叠合和不能对折叠合的三角形纸板。问：“三角形满足什么条件才能对折叠合？”待学生正确回答后，再定义等腰三角形和其中各部分的名称。②给出各种方位的等腰三角形（图形），并与不等边三角形混排，让学生辨认。辨认后，先标记相等的边，再进一步说出它的腰、底、顶角和底角。③再次出示对折叠合的等腰三角形纸片。使学生认识：等腰三角形的两个底角相等。④让学生观察底和腰相等的等腰三角形，研究这种三角形的特征。进而定义等边三角形，并且使学生认识：等边三角形的三个角都相等。4. 三角形的高和底①正确理解高和底的意义，对于以后学习面积公式特别重要。教学时，在检查学生对垂线、垂足以及垂直的检验等知识点后，就可以定义三角形的高。②要使学生认识：“三角形的高”是针对某一边来说的。和高对应的边角形的底。三角形的三边都可以作为三角形的底，每个底上都有对应的高。所以，三角形有三条高。5.三角形的内角和①印发几个三角形，让学生分别量出每个三角形中三个角的度数，再计算三个角的度数和。并且思考：可以从中发现什么？②回忆：平角是否等于180°?问：能否设法将三角形的三个角拼成一个平角？折叠三角形纸片时，提示学生：折叠第一个角时，以三角形两边中点的连线为折痕。③归纳出“三角形的内角和是180°后，就可以出一些习题，让学生推理或计算。④为了强化对学生的思维训练。还可以提出类似下面的问题：等腰三角形的一个底角是40°,它的顶角是多少度？等腰三角形的顶角是40°,它的每个底角是多少度？等腰三角形的一个角是40°,它的另两个角各是多少度？（两组解答）等腰三角形的一个角是60°,它的另两个角各是多少度？·等腰三角形的一个角是100°,它的另两个角各是多少度？（只有一组解）（六）平行四边形和梯形的教学1.平行四边形的直观认识2.平行四边形的认识①出示一批由四条线段围成的图形。其中包括长方形、正方形、平行四边形、梯形和其他四边形。指出：由四条线段围成的图形叫作四边形。②让学生研究几个被称为“平行四边形”的图形。当有人发现“对边平行”后，要求学生用两块三角板根据平行线的画法检验。检验确认后，就可以给出平行四边形的定义。（两组对边分别平行的四边形叫平行四边形。）③让学生检验长方形和正方形的每一组对边，并且根据平行四边形的定义认定：长方形和正方形都是特殊的平行四边形。④定义平行四边形的高和底。指出：平行四边形的高也是针对某一边来说的，实质上是对边之间的距离。平行四边形的高可以从一条边上的任何一点向对边作垂线段得出。3.梯形的认识（七）圆的教学1.圆的初步认识2.圆的认识教学时，可以引导学生先通过画、量、比较、归纳得出①;然后根据直径和半径的定义推理，以得出③;最后，再根据等量公理“等量的同倍量相等”由①、③推出②.既丰富了数学课程中思想方法的教学内容，又强化了对学生的推理训练。学生认识了“同一个圆中半径的长度都相”，用圆规画圆的方法以及“将车轮做成圆形并将车轴装在圆心”等技术措施就有了理论根据。二、立体图形认识的教学（一）长方体和正方体认识的教学1. 长方体和正方体的直观认识在这个阶段，要求小学生观察具有长方体形状的实物和模型，并通过操作，获得感知，积累表象，知道“长方体”和“正方体”这些名词。2.长方体和正方体的认识①从实例抽象出长方体的图形后，让学生回答：长方体有几个面？每个面是什么形状？从而明确“长方体”就是由6个长方形的平面部分围成的物体。②让学生就实物或模型研究长方体的6个面的大小。③定义长方体的棱和顶点，让学生研究：一个长方体有多少棱，多少顶点，并且交流研究的方法。④关于长方体中“相对的（即没有公共边的）每两个面完全相同”、“相对的（即方向相同的）每4条棱长度相等”不能仅仅通过教具（或多媒体动画）的演示或操作（量一量、比一比）使学生认识，还可以根据已有的知识“长方体的6个面都是长方形”以及“长方形的对边相等”推出。⑤定义长方体的长、宽、高，指出长方体的大小完由它们决定。（二）圆柱的认识的教学1. 直观认识圆柱2.圆柱的认识①让学生收集圆柱形的物体，向全班同学展示。②让学生注意到：圆柱是由3个面围成的，其中有两个平的面是圆，叫作圆柱的底面，并且通过观察或操作，认识圆柱的两个底面是半径相等的两个圆。第三个面是曲面，叫作圆柱的侧面。③定义圆柱的高。引导学生研究圆柱的侧面，将侧面沿一条高剪开，并把它展平，从而认识到：圆柱的侧面可以在平面内展开成一个长方形。④从圆柱形实物或模型抽象出图形后，让学生将两者对照，认识直观图中圆柱的底和高，逐步训练学生根据圆柱的直观图想象它所表示的图形。（三）圆锥认识的教学①认识圆锥时，也需要从圆锥形物体或模型出发，抽象出图形，指出：这种立体图形叫作圆锥。②为了初步认识圆锥的特征，可以让学生通过观察或触摸，注意到圆锥是由两个面围成的。③将圆锥的侧面沿着顶点和底面圆周上一点的连线剪开，并且展平，使学生看到圆锥的侧面展开图是一个扇形。④辨别立体图形的练习，可以设计成多种形式，以提高学生练习的兴趣。（四）球的认识的教学第三节测量的教学一、长度的教学（一）长度单位的内容编排从逻辑的正常顺序来说，似乎以先认识“线段”、后认识“厘米”为宜。在认识了厘米、米之后，再认识分米、毫米，最后认识千米。（二）长度的教学要点1. 教师可以从量实物上一条线段长度的实际问题，引入新课，使学生认识“厘米”。2.学生认识“厘米”后，可以告诉学生：“厘米”是一种常用的长度单位。3.为了使学生学会量长度，应该让学生明确量长度的操作要领：二、周长和面积的教学（一）周长和面积概念的教学1. 周长概念和正方形、长方形的周长公式①通过教具演示或学具操作。②正方形的周长公式可以根据周长的意义和正方形的特征推出。③长方形和平行四边形的周长计算都可以用类似上面的方式处理：让学生研究周长的具体算题，列式计算；从列出的不同算式中优选出一个，作为周长公式。④这些公式既可以用“语言等式”表示，也可用字母来表示。⑤巩固周长公式的练习应该是多种多样的。2.面积概念和面积单位的教学教学面积单位时，可以先让学生比较两个大小接近的正方形和长方形的面积的大小，启发学生将它们划分为大小相同的小方格。于是，它们的面积的大小比较问题就转化为小方格的个数（即两个自然数）的大小比较，从而使学生认识运用面积单位的必要性。认识每一种面积单位时，都应当向学生展示它们的实际大小，让学生观察，并将它们和学生熟悉的事物联系起来，使学生形成不同面积单位的明确表象。为了防止面积单位和长度单位的混淆，可以让学生通过分析、比较，认识到：长度单位和面积单位名称不同，意义不同，进率不同，适用范围也不同。（二）多边形面积计算的教学首先，根据面积概念、面积单位以及长方形的特征推出长方形的面积公对于例举的边长是整数的具体的长方形来说，面积公式的正确性可以用直接计量法（数方格）来证实。接着，根据长方形的面积公式运用演绎推理推出了正方形和其他几种图形的面积公式。1.长方形和正方形面积计算的教学①出示长5厘米、宽3厘米的长方形。要求学生用直接计量法求它的面积。（图7.29(1))②讨论数方格的各种方法：逐个计数、按群计数和用乘法算（先看一排有几个方格，再看共有儿排）。明确：用乘法算的方法最为简便。③问：为了弄清一排有几个方格、共有几排，是不是非得把长方形分成面积单位不可呢？2.平行四边形面积计算的教学①复习平行四边形及其高和底等概念后，出示一个高3厘米、底是6厘米的平行四边形，要求学生设法求它的面积。②对于准备用直接计量法求面积的学生，要帮助他们解决不满一格如何计数的问题。一种办法是：凡不满一格的，不论大小，一律按半格计算。另一种方法是：先将不完整的方格拼成完整的方格。③启发引导：一个、一个地拼完整的方格太麻烦，我们能不能将左边的一部分整个切下来，把它拼到右边去，使不完整的方格都变成完整的方格？从而引导到教科书里的等积变换。④清理学生的思路：我们是在学习了长方形的面积公式之后，来研究如何计算平行四边形的面积，如果能将平行四边形变成和它面积相等的方形，那么，我们就能用长方形的面积公式来计算这个平行四边形的面和⑤让学生研究和提出等积变换的不同方案。3. 三角形和梯形面积计算的教学①在厘米方格的背景上出示几个三角形，让小学生用直接计量法（数方格的方法）求它们的面积。②要求学生不数方格求面积。研究：能不能把三角形转化成面积公式已经知道的图形？③用同样的办法研究梯形。将两个全等的梯形拼成平行四边形。（三）圆周长和圆面积的教学1.圆周长的认识和计算的教学2. 圆面积计算的教学三、表面积和体（容）积的教学（一）表面积计算的教学立体图形的表面积计算，要在掌握立体图形的特征的基础上教学。1.长方体和正方体表面积计算的教学①教学长方体和正方体的表面积计算时，先要复习长方体和正方体的特征。②让学生将自己准备的长方体纸盒的某些棱剪开，再展平。③举出实际事例，说明有时我们需要计算长方体的6个面面积的和，进而给出长方体和正方体的表面积的定义。④举例说明根据长方体的长、宽、高计算表面积的方法和列式的依据并将较为简便的算式归纳成长方体表面积的计算公式。⑤将长方体表面积的计算公式用于计算正方体的表面积，从而推出正方体表面积的计算公式。2.圆柱表面积计算的教学①教学圆柱的表面积，要从复习圆柱的侧面展开图开始。②学会计算圆柱的侧面面积后，再引导他们研究圆柱表面的组成，得出圆柱表面积的计算公式。③用公式解决实际问题时，要注意根据具体情况，灵活处理。（二）体（容）积概念和体（容）积单位的教学1. 体积概念的教学①通过类似下面的实验，使学生确认每个物体都占有一定的空间。②让学生从实验中认识：物体占有的空间，有大有小。③定义“体积”物体所占空间的大小叫作这个物体的体积。2.体积单位的教学①复习常用的长度单位（厘米、分米、米）和常用的面积单位（平方厘米、平方分米和平方米）。③让学生比较相应的长度单位、面积单位和体积单位，弄清它们之间的区别和联系。④出示一些由单位正方体拼成的物体，让学生通过计数说出它们的体积。⑤体积单位的进率通常在正方体的体积公式后教学。3.容积和容积单位的教学①举例说明：容器能存放其他物体的体积，叫作容器的容积。②告诉学生：常用的容积单位有升和毫升。1升＝1000毫升③让学生用量杯或量筒测定常用的一些容器的容积，辨认一些药品标签或包装盒上标注的容积。④ 让学生知道容积单位和体积单位之间的关系。（三）体积计算的教学1.长方体和正方体体积计算的教学①出示一个长、宽、高分别为4厘米、3厘米和2厘米的长方体。②引导学生想象：怎样把它切成棱长是1厘米的小正方体？③从正方体个数的各种计数方法中，引导学生发现：长是几厘米，一行就有几个小正方体；宽是几厘米，每层就有几行；高是几厘米，就有几层。④根据正方体是特殊的长方体，推出正方体的体积公式。2. 圆柱体积计算的教学①复习长方体的体积公式，提出求圆柱体积的问题。比较圆柱和长方体的相同点和不同点。②复习推导圆面积公式时“化圆为方”的经历，演示将圆柱割拼为长方体的专用教具。③引导学生比较长方体、正方体和圆柱的体积公式，找出其形式上的共同点。3.圆锥体积计算的教学①复习圆柱的体积公式。②出示等底面积、等高的圆柱形容器和圆锥形容器，让学生比较它们的容积的大小，猜测容积大的是另一个容积的几倍。③用实验检验。⑤在体积计算的教学中，要注意联系实际，根据实际情况灵活运用公式 并且注意到：公式中的任何一个量都可以是所要求的未知数量，从而使公式成为方程。第四节 图形的运动的教学、一、轴对称图形的教学小学数学中学习的“对称图形”主要指“轴对称图形”，其教学要点包括：1. 教学轴对称图形，可以从一组美丽的剪纸或其他相关事例的图形中引入新课。让学生研究这组图形的共同特征：对折时两边能够完全重合。2. 对于轴对称图形的特征中所说的“对折”、“对折时两边能完全重合”，如何对折？谁的两边？事实上，它们都涉及一条直线的存在。3.接着，可以让学生判断以往学过的一些图形是不是轴对称图形？4.当学生看到一个平行四边形而断定它不是轴对称图形时，教师应及时加以澄清：“应该这样说，这个平行四边形不是轴对称图形。5. 让学生在方格纸上画轴对称图形，在钉子板上围出轴对称图形，以及找出一个轴对称图形的所有对称轴等练习，都有利于学生巩固轴对称图形的概念，加深对它的理解。二、“平移与旋转”的教学“平移”和“旋转”是本次课程改革新增加的教学内容，教学时，要注意以下几点：1.“平移”和“旋转”是理论力学中刚体运动学的两个基本概念。2. 在运用典型事例，抽象概括，引出“平移”和“旋转”这两个概念时，要特别注意所用事例的准确性和典型性。3. 用语句描述方格图中所表示的平移，以及把指定的平移在方格图中描绘出来，都是有助于巩固平移概念的练习。三、图案欣赏与设计的教学图案欣赏与设计为学生用数学的眼光看世界提供了机会，也使学生进一步感受到数学的美和数学的价值。教学时要注意以下几点：1. 图案欣赏与设计的教学是在学生认识了轴对称，以及平移、旋转等图形变换后进行的。2. 教学时，首先让学生欣赏一些图案，感受它们的美，研究它们是由什么图形经过什么样的图形变换而产生的。如奥运五环就是由一个圆环经过几次平移而得到的。3. 图案的设计要有一个由简到繁的过程：先绘制给定图形经平移、旋转或对称得到的单个图形，再绘制由一系列单个图形组成的图案；先在方格纸上绘制，然后过渡到在空白的图纸上绘制；先按教师的指令制作，然后再由学生自行构思和设计。4. 在图案设计的基础上，可以组织有兴趣的部分学生进一步学习剪纸，并把剪纸的操作和图形变换的学习结合起来。第五节图形与位置的教学一、“上、下、前、后、左、右”的教学教学时，要通过事例，由简到繁，逐步引导学生理解表示位置关系的上述词语的确切含意，并能正确地运用这些词语来描述近地空间里的两个事物的位置关系。二、“东、、西、北”的教学1.“东、南、西、北”是另四个在近地空间表述物体位置关系的词语，它们和“上、下”一样，都是以地球作为标准的。“上、下”是以到地球中心的远、近作为标准的，而“东、南、西、北”则是以地球表面某一点处的经线和纬线作为标准的。2. 辨别“东、南、西、北”是需要训练的；否则，即使成年人，仍然可能辨不清“东、南、西、北”。3. 为了利用学生的行动思维，加深他们对“东、南、西、北”的认识，可以让全班学生面向东站立，说出左面、右面与后面各是什么方向，然后连续三次向右转，每次向右转之后，说明这时面对的是什么方向。4.学生在教室里弄清东、南、西、北后，可以让他们分别说出：教室的东面（南面、西面和北面）各有些什么？5. 然后，可以向学生分别介绍：在多种特定的环境里如何辨别东、南、西、北。6. 在进一步教学“东北、东南、西北、西南”时，要告诉学生：数学里所说的“东南”，是指东方与南方这两个方向的正中间的那个方向；而日常生活里所说的“东南”就比较含糊，常常用来泛指东方与南方之间的任何一个方向。7.适当的时候可以顺便告诉学生：“东北、西北、东南和西南”等说法都是根据我国汉语的表述习惯三、路线图的教学1. 路线图的教学是在学生认识了平面图，并能用“东、南、西、北”等词语表述物体的位置关系的基础上进行的（苏教版教科书二年级下册，人教版三年级下册）。教学时，首先要复习这些表示方向的词语，它们之间的相互关系，以及在绘制地图时所作的规定（上北、下南、左西、右东）。2.新授开始，展示公园的平面图，让学生弄清公园里有哪些景点。然后，引导学生依次思考并回答下列问题。3. 如何看懂公交车的路线图和站牌，并根据获得的信息和出行的目的地，选择合适的线路和方向，是城市生活中经常需要解决的问题。路线图的教学有助于小学生提高乘车出行的能力。4. 最后，可以简要介绍哈密顿周游世界问题，作为一项有意义的趣味数学题材。四、物体位置确定的教学1.物体在一个平面内的位置可以用两个数来确定，这是笛卡儿的坐标法的基本思想，也是实现数、形结合的纽带。让小学生明确这件事，并且在认识中强化，就为小学生以后学习解析几何积累了更多的感知和经验。2.教学时，可以从学生熟悉的典型事例开始：怎样才能把学生在教室里的座位说清楚？当我们说“第几排、第几个”座位时，要明确：3让学生举出生活中“用两个数来确定一个物体的位置”的事例。这时，要注意说明：些数（如体育馆座位的分区）只是辅助性的，便于人们查找，对于确定物的位置并没有决定性的意义。五、观察物体的教学1. 人们从不同的位置（不同的方向）去观察同一个物体，看到的形状一般是不同的。这个事实不仅早已为我们的生活经验所证实，也可以用照相机从不同的位置拍摄照片来证实。2. 教学“观察物体”，可以首先以两人观察小轿车为例。引导学生想象：图中两人看到的，将是怎样的景象。进而用数码相机对玩具汽车当场拍摄，通过液晶投影仪在屏幕上显示。3. 教科书中的练习要求我们观察的玩具熊猫、大象和茶壶，也可代之以其他类似的物体。4.为了由易到难、由简到繁地进行上述训练，可以利用同样大小的正方体拼成的组合体作为被观察的物体。

第二章 小学数学教材第一节 小学数学教材概述一、小学数学教材及其作用（一）小学数学教材的含义小学数学教材是指小学数学教科书，亦称课本。小学数学教材的组织单位是“课”和“单元”。“课”是教材组织的最小单位。（二）小学数学教材的作用1.教材是实现数学教学目标的重要资源。2.教材是教师进行教学的主要依据3.教材是检查教学质量和教学进度的依据4.教材是促进学生提高数学素养的重要基础二、小学数学教材的编写原则（一）思想性原则（二）系统性原则（三）层次性原则（四）应用性原则（五）可读性原则第二节 新中国成立以来小学数学教材改革的回顾一、第一套教材（1952年－1955年编）1953年教育部决定，把《五年一贯制小学算术试用课本》改名为《初小算术课本》和《高小算术课本》,增加了一些几何初步知识、百分数、简单统计图表和农业社简单簿记。整套教材受前苏联教材的影响较大，结合中国实际不够，且六年的教材内容只相当于前苏联小四年的内容，程度较低，影响了小学毕业生的数学水平。习题另行汇编，给教学造成不便。二、第二套教材（1959年－1961年编）这套教材是在1958年“大跃进”背景下编的。1959年9月教育部出版了第二套全国通用教材：《初小算术（暂用本）》（八册），《高小算术（暂用本）》（四册），《初小珠算》（一册）和《高小珠算》（一册）。这套教材暂用本结束了长期以来初中教一年算术的做法，用六年时间学完全部算术内容，提高了小学毕业生的数学水平。三、第三套教材（1960年－1961年编）书名为《十年制学校小学算术（试用本）（十册），《珠算（试用本）》（一册），这套课本在五年制试点学校一直用到1966年。教材根据参加生产劳动和进一步学习的需要，简化市制计量单位，删去繁难的应用题，增加循环小数、比例，把整数划分为二十以内、百以内、万以内和万以上四个阶段，每一阶段各有重点；提早教学几何初步知识，概念和法则注意从实际引入，突出重点，抓住关键，解决难点，重视总结规律，以利于举一反三。四、第四套教材（1963年编）1963年5月，教育部颁发下六年制《全日制小学算术教学大纲（草案）》，人民教育出版社编辑出版了千二年制学校《小学算术课本》（十二册），以及《珠算（暂用本）》（一册）。五、第五套教材（1978年－1985年编）1978年2月由教育部颁布了《全日制十年制学校小学数成教学大纲（试行草案）》，根据这个大纲，人民教育出版社编辑出版了第五套全国通用教材《小学数学（试用本）》。1981年，根据《全日制五年制小学教学计划（修订草案）》及各地反映的意见，对试用本作了修改，改称《五年制小学课本数学》六、第六套教材（1986年－1990年编）课程教材研究所编写了五年制《小学实验课本·数学》。七、第七套教材（1990年－1995年编实验本，1993年－1998年编试用本2000-2005 编试用修订本）这套教材有以下特点：（一）教材的内容和要求注意适应我国义务教育的特点和需要。（二）根据数学知识的内在联系和学生的认知规律，建立合理的教材结构教材力求把数学的逻辑顺序同儿童的认知发展顺序有机地结合起来，加强数、量、形、应用题等几方面内容的纵横联系，使之互相配合，互相促进，建立合理的教材结构。教材的编写注意符合儿童的认知规律，体现教学方法，处理好传授知识与发展智能的关系教材根据教学内容的具体特点和学生的认知特点来揭示基本概念。（四）加强思想品德教育第三节 义务教育课程标准实验教科书介绍一、编写背景教育部于2011年12月颁布《义务教育数学课程标准（2011年版）》。根据修订后的课程标准，各种版本的实验教材进一步进行调整和完善，主要体现在以下方面：1.更新内容素材，突出以改革创新为核心的时代精神，努力体现社会主义核心价值体系；2.突出基本数学思想在知识发生、发展和应用过程中的作用，引导学生初步感受数学思想方法的意义和价值；3. 努力呈现发现和提出问题、分析和解决问题的完整过程，帮助学生不断积累数学活动经验；4.关注不同领域的核心概念，引导学生逐步建立对数学知识和方法的深层次理解；5.适当调整教材容量和难度，努力体现小学数学课程的基础性、普及性和发展性。二、结构变化以“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”、“实践与综合应用”四个领域为线索编排教材内容。《课标（2011年版）》将四个领域的名称调整为“数与代数”“图形与几何”、“统计与概率”和“综合与实践”。三、内容调整2012年开始，教材内容又做了进一步的调整，四个领域的调整变化大致如下：（一）数与代数内容增加。内容调整。（二）图形与几何内容调整。内容增加。（三）统计与概率内容调整。内容删除。要求降低。综合与实践四、编写特色（一）教材内容的素材贴近学生现实（二）教材内容的呈现体现过程性（三）教材的内容设计具有一定的弹性（四）教材具有较强的可读性第四节 小学数学教材的分析一、教材分析的意义1、教材分析是教师的一项重要基本功，是备好课、上好课的前提。在分析教材的过程中，教师要仔细琢磨教材的知识结构，各个知识点的地位、作用和前后联系，重点、难点和关键，以及所蕴含数学思想和德育因素，从而确定教学目标。2、教材分析有益于教材建设，促进教材日臻完善。二、教材分析的内容（一）分析教材的编排体系和知识之间的内在联系分析教材时，首先要认真阅读，仔细推敲教材文本。（二）分析研究教材的重点、难点和关键（三）分析教材中能力培养的因素和渗透的思想方法（四）挖掘教材中情感、态度等非智力因素（五）研究教材中的习题（六）确定教学目标三、小学数学教材分析举例

“如果走的路正确，中国在未来十年内可以发展成最好的数学强国。”著名华人数学家丘成桐此前在接受媒体采访时曾表示，只要政策支持、资金充裕，科研工作者拥有足够的发展空间，中国科学一定会有大发展。这条路不容易，中国一直在努力。为切实加强我国数学科学研究，科技部办公厅 、教育部办公厅 、中科院办公厅、自然科学基金委办公室印发了《关于加强数学科学研究工作方案》（以下简称《方案》）的通知。“一个字：好，两个字：很好，三个字：非常好。”谈及该文件的出台，中国科学院院士袁亚湘这样回复科技日报记者。感到振奋的不止袁亚湘一人。“这个文件非常好，其实早就该有这样的政策，来推动我国基础数学的发展。” 中国科学院数学与系统科学研究院研究员田野告诉科技日报记者。 来源：科技日报

“如果把学术比作攀登珠穆朗玛峰的话，那么我可能正在珠峰脚下整理装备。”仅在2017至2018年度就发表了七篇SCI论文的沈烈军谦虚地说。沈烈军本科就读于沈阳工业大学数学与应用数学专业，因高考与向往的华师失之交臂，他进入大学校园的第一天起就立志考研到华师。为此，他四年的本科生活全都围绕着学习展开，“可能有些枯燥，但回想起来真的很充实”。大四时，沈烈军得到了华师基础数学专业硕博连读的资格。“我没有什么学术天赋，只是笨鸟先飞而已。”尽管沈烈军一直被同学称为“学霸”，但他却觉得自己的学识还不足以达到这个水平。尤其是在研究生阶段，沈烈军看到身边都是优秀的同学，他只能更加努力投入到学习中。博一上学期，沈烈军就已经把公共基础课基本修完，博二时他就有很多自主时间投入到学术研究。从事学术研究之余，他时常回顾一些基础课程，为更深入地研究夯实基础。基于数学的学科特点，他争取把每个知识点钻研透彻，他说：“知识的盲点往往可以成为学术研究的起始点。”沈烈军真正开始在学术研究上有所进展是在博一下学期，这时候他开始了第一篇SCI论文的创作。在导师尧小华教授耐心指导下，他积累了写论文的经验，也增强了对博士阶段学习的信心。谈及导师，生性内敛的沈烈军满怀感激。在一篇论文投稿时，审稿人提出要构造一个具体的例子辅助论证，否则这篇论文将不推荐发表。他和导师尝试了多种方法，每一种方法都经历了复杂的操作来验证，在一遍一遍的推理演算下，他们找到了可辅助论证的例子，最终成功通过审稿。“如果没有导师，或许我整个论文写作都会处在瓶颈期。”回忆起十年大学生活，沈烈军“沉迷”于数学学习与研究。在他看来，本科期间打好专业课基础非常重要，这样在攻读研究生时，才能更好地接受导师有针对性地指导，向更高层次的研究挺进。“每个人应该在特定的时间段做好应该做的事。”沈烈军这样严格要求自己，也在每一个阶段稳步成长着。“如果没有意外，数学教师就是我未来的职业。”高考填志愿时仅仅因为“感觉平时比较喜欢数学”就选择了这个专业的沈烈军也没想到，如今自己规划的未来都与数学有关。凭借这份对数学虔诚的热爱，沈烈军希望自己在这条路上能走得更远。来源：华中师范大学 责任编辑：汪宇龙 于玥 文字：陈淇莹

“不管在任何领域，一个人总有一天会发现自己的边界。因为学科本身的纯粹，数院提供了一个接近真空的样本，让人看到一个人如何面对早已注定但自己无法决定的东西：天分。”这是我打开“人物”公号推送文章《在北大数院，成为一个普通人》时所看到的第一段话，残忍却现实。在北大数院，顶尖“数学高手”的聚集地，都能让人不停地“自我怀疑”与“自我否定”，焦虑重重。《季氏》里记载，孔子说：“生而知之者，上也；学而知之者，次也；困而学之，又其次也；困而不学，民斯为下矣。”孔子把有知识的人分为三类：一是生而知之者，天生有知识的人，天才的知识因天启而来，这是上等；二是学而知之者，学习以后拥有知识的人，属于次等；三是困而学之者，有困惑而后努力去学习的人，这是再次等；第四类就是困而不学者，有困惑而不去学习的人，这种人孔子称之为下等。这样的“划分”放在数学上，也许刚好合适。数学，似乎天生就与“天才”“挂钩，所以，也被称为“天才的游戏”。那作为普通得再普通不过的我们，还配了解数学吗？“我就学不好数学”“我就不是学数学的料”“反正毕业后也用不到，学会数学有用吗？”……这是在我们从小到大的学习生涯中多次说过或听到身边的同学说过的话。作为“高岭之花”的数学真的那么可望而不可即吗？我们不能因为数学对思维天赋的苛刻要求就剥夺它被人喜爱的权力。当我们抛开“适合”或者“不适合”、“学会”或者“学不会”这样略显功利的想法后，也许会发现纯粹的数学背后本真的美。怎样发现数学的美？是不是只有解决了哥德巴赫猜想才算美的缔造者，是不是只有证明出费马大定理才算美的欣赏者？其实，数学的美就在我们身边。你观察过鹦鹉螺的外壳吗？注意过松果表面的螺纹吗？侦探剧中确定嫌疑人位置的三角定位是什么原理？阿尔法狗的算法又与数学有哪些关联？这些问题，翻开《万物皆数》这本书，都能找到答案。“大部分人是喜欢数学的，但问题在于很多人并不了解这门学科。”如果你从来没有了解过数学，如果你或者你的孩子讨厌数学，何不考虑给这门学科第二次机会呢？《万物皆数》的作者米卡埃尔·洛奈最喜欢做的事就是在一些莫名其妙的地方“搞数学”，从博物馆展厅、到石头雕刻上的纹饰、建筑物的阳台、路过行人衣服上的花纹、地铁走廊里的墙壁……他说：“只要改变自己看世界的眼光，数学就会在你眼前出现。寻找数学是迷人的、永无止境的过程。”数学有多迷人，它有着最复杂的研究对象和最简洁的表达式，把世间万物包罗在朴素的数字和公式里，用几个字就能概括出真理精髓，美得无懈可击！通过姓氏笔画看性格，这是数学数字最初是一种工具，人们可以利用它书写、分析和理解周围的世界，还有的学者甚至给数学加上了“玄妙”的色彩。毕达哥拉斯说：“一切皆数。”他创建了一个完全依靠数字的系统，奇数被认为是阳性（男性）的，偶数被认为是阴性（女性）的。数字10在毕达哥拉斯眼中是最顶级的“幸运数字”，是一个“圣十结构”的三角形，是宇宙和谐与完美的象征。毕达哥拉斯学派还发展出了数字占卜，声称通过分析构成姓名的字母的数目，就能够分析出一个人的性格特征。看来我们小时候玩的姓氏笔画测性格，也不是没有出处。把足球称为“被截肢的正二十面体”，这也是数学足球是一个圆形的球体吗？如果让数学家来给足球命名，足球可能会被称作“被‘截肢’的正二十面体”。因为足球的形状是由20个正六边形和12个正五边形构成的。如果是传统的足球造型，六边形会是白色的，而五边形则是黑色的。为什么叫做“被截肢“呢？因为足球本可以是一个正二十面体，但为了让足球看上去尽可能规则、尽可能圆，设计者们选择了切掉所有的顶角，所以，20个被切掉顶点的侧面变成了20个正六边形，而被切掉的12个定点则形成了12个正五边形。正二十面体是一个神奇的形状，大多数伤风感冒的罪魁祸首——鼻病毒，也是这种形状。为什么微小的生物也要呈现出这种形状？是因为对称性和经济性。就像足球的生产商们只用批量生产正六边形和正五边形两种碎片就能快速制造出成品一样，病毒也只需要简单的几种分子彼此镶嵌，就能实现快速生成和传播。看来，病毒也是很有数学头脑的。每年都要聚在一起给“π”过节，这还是数学3月14日，是浪漫的白色情人节。在数学家眼里，这却是一个比情人节更浪漫的节日，这一天是最著名、最迷人的数学常数“π”的节日。历史上第一个“π节”于1988年3月14日在美国的探索博物馆举办，此后每年第3个月的第14天，世界各地的追随者和爱好者都会聚集在一起庆祝π这个常数，进而庆祝所有数学知识的存在。2009年，美国众议院正式通过将每年的3月14日定为“圆周率日”（π节）。数学家和数学爱好者们的群体是一个可爱而纯粹的群体，他们可以为一个常数过节，也可以为一个简单得再简单不过的定义反复争论。如果让你解释什么叫“点”，你会怎么说？在《几何原本》中，第一句话就是对“点”的定义：点是没有部分的东西。后来，数学家丹尼·亨利翁又作了补充：“点是没有长度、没有宽度、没有高度的几何形状”。如果这样的说法让你摸不着头脑的话，还有人给出以下定义：将一支削得极细的铅笔笔尖压到一张纸上，得到的痕迹就是“点”。这样的形容多可爱！“数学家盼望的不是万两黄金，也不是千秋霸业，毕竟这些都会成为灰烬。我们追求的是永恒的真理，我们热爱的是理论和方程。它比诗章还要华美动人，因为当真理赤裸裸呈现时，所有颂词都变得渺小；它可以富国强兵，因为它是所有应用科学的源泉；它可以安邦定国，因为它可以规划现代社会的经络。”这是丘成桐在北京雁栖湖应用数学研究院成立典礼上的讲话，在他的新书《我的几何人生》里也有收录。当我们试着走近数学，就会发现数学小到生活琐事、大到家国天下的包罗万象的魅力，并由衷地感叹一句：数学，真美！我们中的绝大多数都不懂什么是纳维尔–史托克方程，也不理解什么叫“卡拉比—丘流形”，甚至连高中的数学知识都忘得一干二净，但这并不妨碍我们欣赏数学的美。这种美也许区别于数学家们在简洁的定理中所领悟的奥秘之美，但在单调而繁杂的生活中，能够通过书籍略窥生活中那些熟悉又陌生的数学之趣，也是一件很妙的事。

摘要：教师给学生提供合作学习的机会，能够提升学生的课堂知识学习参与感．经过自主学习、实践应用、合作互助的教学引导，学生能够在合作学习模式中获得更大的启发。对于如何创建课堂学习分析，鼓励学生在课堂上积极参与探索交流，经过一系列的教学研究与实践经验分析注重学生在合作学习模式中的数学问题解析水平提升，本文将展开论述。关键词：数学；合作探究；学习1.探索数学的探究式教学应用的途径1.1在教学中转变数学的传统教学观念在传统的数学教学中，“填鸭式”教学在师生的学习观念中已经根深蒂固，学生在学习中，对教师的依赖性已经形成固有的学习惯习。而合作探究式教学方法就给教师提出了巨大的挑战，就要求教师有更多的专业知识储备及对教材灵活运用能力。教师不仅仅是单独作为数学知识的传播者，更要在教学实践中为学生来提供数学教学的素材，从而引导学生发挥教学环节中学生的主体作用及发挥学生的主观能动性，也就是如何变学生的被动学习为主动学习，打破传统的传授讲习式的程序教学法为合作探究式教学方法。1.2在数学教学中创设合作探究式教学情境以往传统的教学中，教师只需按照教学中例题及教材规定内容交接，学生按着教师的思路来进行学习和做习题及巩固知识。而在合作探究式数学教学模式中，就要教师吃透教材，打破常规运用探究式教学方法为学生来创设特定的教学探究情境，引导学生自主学习，更加强调师生之间的教学互动，从而引导学生的主动学习的积极性，激发学生的学习热情。教师不再是教学的主体，教师要在总体方向上把握其正确性与科学性，让学生通过情景教学启迪学生发现问题解、决问题，达到“授人以渔”的目的。2.数学教学中合作探究学习的策略实施2.1重视数学知识与社会生活之间的联系数学知识与日常生活之间的联系较为紧密，尤其是在现代化、信息化、数字化的社会发展过程中，学生在掌握数学基础知识的同时，具备合作交流与互助能力，才能将信息时代发展对个人的要求达成。学生从数学课程开始完善个人言语表达或实践应用的基本能力，也能实现各个学习态度或思想的转变。所以，数学教师应建立合作学习模式，能够将教师与学生之间的沟通交流效果逐步加强，学生在课程学习中敢于发言，日后遇到数学学习问题也能及时寻求数学教师的帮助，省略了自己孤注一掷、“钻牛角尖”的学习情况，能够有效节省数学知识学习或数学试题解析时间，因此，教师加强对合作学习模式的探究分析，能够给课程教学质量提升带来有力的保障条件。2.2加强学生数学兴趣引导具备良好的学习兴趣是达成课程学习目标的基础。基于合作学习模式的引导之下，教师需要加强对学生的兴趣引导，在分组中让不同学习能力或认知水平的学生建立良好的互助学习关系。在小组划分时，教师可以将学优生、学困生、中等生按照比例进行搭配，考虑不同学生的性格差异尽量保证分组中的学生融洽相处。这样的分组建立不会造成学生的学习压力过大，同时沟通或交流的形式也能保证丰富多样化，由此学生在同伴的鼓励和带动之下参与到课堂学习活动中来，培养出数学课程学习的兴趣与动力。在对数学问题进行合作探究期间，教师可以让组内成员自发性地去设置个人任务[1]。2.3提升学生自主探究能力，在合作中获得启发教师鼓励学生自主地探究数学问题，可以注重对学生的问题意识引导。在课前引入阶段给学生抛出一个有价值的问题，让学生学会在自主探究为先，后期经过合作交流就能获得数学知识学习的启发。当然教师在数学问题设置时，需要注意问题内容的合理性，要选择符合现阶段班级学生认知水平和基础知识储备的问题内容，以免超出学生能够接受的问题研究范围，导致学生合作探讨问题时的吃力情况。另外，由于对学生的数学能力提升方面考虑，教师不能将问题内容设置得过于简单，由此学生放松学习就会导致对问题探究的有效性丧失。所以，加强学生自主探究能力的培养，需要结合班级学生的实际情况进行，加强问题意识引导使得学生在合作探究中获得成长与进步。2.4优化数学学习技巧教学学生存在学习困难的问题，并不是因为学生思想怠慢或努力不够，更多的原因是学生只注重量化，而忽视了任何一门学科都需要技巧性的引导。而在合作学习模式建立中，学生能够获得一个互学互助的机会，学生不仅能够学习到新的知识，还能在小组中学习到成绩较好学生的学习方法。不同学习能力或层级的学生，在对比与合作中发现自己在数学学习中的问题，经过组内成员寻求帮助，也会在未来的数学课程学习中，找到满足自己发展目标的学习方法，在小组中获得进步与发展的机会，显著提升个人的数学知识学习能力[2]。2.5“一题多解”训练和提升学生数学思维的变通性思维的变通在解决数学问题的时候尤为重要，他能从不同的途径和不同的思路出发来解决共同的一个问题，在思维方式上面不受制于特定模式和惯性思维的束缚，是对同一问题按照不同方式探索同一问题的新方法。采用“一题多解”就是对同一问题从不同的思维方式和不同的解题方法来探索相同答案和结果，意从不同的角度审视问题和从不同的思路分析问题，以达到求得相同结果的思维过程。一方面，训练学生思维的变通性和灵活性，进而来培养学生的发散思维和开发学生的创造性能力。另一方面，可以激发学生探究的强烈欲望，训练学生对数学方法和数学思想的娴熟运用以此加深学生对所学知识的深刻理解[3]。结论：简而言之，数学知识学习不能以一种完全独立的状态进行。而纵观数学课程教学发展实际，合作学习模式的诞生能够促使学生在组内合作中提升合作意识，并在竞争模式的指引之下提升知识学习效率。所以，教师需要基于现阶段的学生发展实际情况，充分挖掘学生的潜在能力，全面提升数学课程教学质量。参考文献：[1]安宇杰．基于小组合作学习的数学课堂教学设计分析［J］．好家长，2019(51):1．[2]王喜红，张贵玲．论学生参与度对数学课堂合作学习效果的影响［J］．当代教育实践与教学研究，2017(8):38．[3]陈卫利．数学课堂中学生合作学习能力的培养浅谈［J］．数学学习与研究，2018(4):25－25．投稿邮箱：xfdk5052@163.com