数学问题研究

探究规律问题是中考数学中的常考问题，往往以选择题或者填空题中的压轴题形式出现，主要命题方式有数式规律、图形变化规律、点的坐标规律等。基本解题思路：从简单的、局部的、特殊的情形出发，通过分析、比较、提炼，发现其中规律，进而归纳或猜想出一般结论，最后验证结论的正确性。探索规律题可以说是每年中考的必考题，预计2019年中考仍会作为选择题或填空题的压轴题来考察。所以掌握其基本的考试题型及解题技巧是非常有必要的。这是道数式规律题，这类问题通常是给出一组数或式子，通过观察、归纳这组数或式子的共性规律，写出一个一般性结论，解决这类问题的关键是找出题目中的规律，即不变的和变化的，变化部分与序号之间的关系。找规律时主要通过作差或作商来找到其规律，常见的规律有等差规律、等比规律、二级等差规律、循环规律。这是道图形规律题，这类题通常是给出一组图形的排列（或通过操作得到一系列图形），探究图形的变化规律，以图形为载体考察图形所蕴藏的数量关系。解决此问题先观察图形的变化趋势是增加还是减少，然后从第一个图进行分析，运用从特殊到一般的思想，分析增加或减少的变化规律，并用含字母的代数式进行表示。也可以转化为数式规律题来进行解答。这是道探索点的坐标规律的题，这类题要求探索图形在运动过程中的规律，通常以平面直角坐标系为载体探索点的坐标的变化规律。解题时，应先写出前几次的变化结果，并将相邻两次的变化结果进行比对，明确哪些地方发生变化，哪些地方没有变化，逐步发现规律，转化为数式规律题，从而使问题得以解决。

数学教学必须由书本数学走向生活数学，取材于学生的生活实际，让学生置身于现实情境之中，通过自主思考、自主探究，从而回归实际，让学生真正喜欢学数学，真正学会用数学。一页普通的纸，我们对图形进行折叠与剪拼，是学习几何不可或缺的重要一环，通过折叠与剪拼图形，我们可以发现一些几何结论并探究这些结论是怎样的.让学生在自己熟悉的环境中寻找数学、发现数学、认识数学、探究数学和掌握数学。因此，我们的数学教学必须由书本数学走向生活数学，取材于学生的生活实际，让学生置身于现实情境之中，通过自主思考、自主探究，从而回归实际，让学生真正喜欢学数学，真正学会用数学。1．如图所示，小娟玩游戏：一张纸片，第一次将其撕成四个正方形片，手中共有4张纸片，以后每次都将其中一片撕成更小的四个正方形片．如此进行下去，根据上述情况：1）当撕10次时，小娟手中共有______张纸；（2）当小娟撕到第n次时，手中共有S张纸片，请用含n的代数式表示S；（3）小娟手中能否有2020张纸片？如果能，请算出是第几次撕；如果不能，需说明理由．（4）如果设原正方形的边长为1，通过不断地分割该面积为1的正方形，并把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，可以很容易得到一些计算结果，请结合上图计算【解析】（1）根据题目中的图形和题意，可以发现手中纸片的个数的变化规律，从而可以写出当撕10次时，小娟手中共有多少张纸片；（1）由图可得，当撕10次时，小娟手中共有：1+3×10＝31（张），故答案为：31；（2）由图可得，S＝1+3n；（3）小娟手中能有2020张纸片，令1+3n＝2020，解得，n＝673，即第673次撕，正好是2020张纸片；2．如图，将一个面积为1的圆形纸片分割成6个部分，部分①是圆形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推…（1）阴影部分的面积是______．3．《庄子天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代入在两千多年前就有了数学极限思想，今天我们运用此数学思想研究下列问题．【规律探索】4．小明和小慧两位同学在数学活动课中，把长为30cm，宽为10cm的长方形白纸条粘合起来，小明按如图甲所示的方法粘合起来得到长方形ABCD，粘合部分的长度为6cm，小慧按如图乙所示的方法粘合起来得到长方形A1B1C1D1，黏合部分的长度为4cm．（1）若按小明或小慧的两种方法各粘贴n张，所得的长方形长AB为______，A1B1为_______（用含n的代数式表示）（2）若长为30cm，宽为10cm的长方形白纸条共有100张，求小明应分配到多少张长方形白纸条，才能使小明和小慧按各自要求黏合起来的长方形面积相等（要求100张长方形白纸条全部用完）．【解析】：（1）粘合n张白纸条，则AB＝30n﹣6（n﹣1）＝（24n+6）cm，A1B1＝10n﹣4（n﹣1）＝（6n+4）cm．故答案为：24n+6；6n+4；（2）设小明应分配到x张长方形白纸条，则小慧应分配到（100﹣x）张长方形白纸条，依题意有10[30x﹣6（x﹣1）]＝30[10（100﹣x）﹣4（100﹣x﹣1）]，解得x＝43．答：小明应分配到43张长方形白纸条，才能使小明和小慧按各自要求黏合起来的长方形面积相等．通过这次的实践研究，会觉得数学学习不再是枯燥、乏味的，相反还非常有意思。只要我们敢于尝试、勇于探索、运用合理的方法主动地研究就能有我们自己的发现。比如这次的实践活动我们就运用了数形结合和有序思考方法来研究数学问题，在今后的学习和生活中我将好好地运用这些方法，从小养成勇于探索的科学精神与钻研精神。

很多人可能都听说过，数学家现在还在研究1+1=2的问题，而且还没有结果。但事实上，数学家早就证实了1+1=2这个算式，而所谓的“1+1=2”其实与哥德巴赫猜想有关。在18世纪，数学家哥德巴赫提出一个有趣的猜想——对于任何一个比2大的偶数（即大于等于4的偶数），它都能表示为两个质数之和（有些分拆方法还不止一种）。例如，4=2+2，18=5+13=7+11。证明哥德巴赫猜想就被称为解决“1+1=2”的问题，更准确的描述应该是“1+1”问题。当年，哥德巴赫向大数学家欧拉寻求帮助，但即便是欧拉，他也没能给出证明。长久以来，这个问题一直困扰着历代数学家，时至今日还没有得到解决，成为三大数学未解难题之一。迄今为止，最为接近哥德巴赫猜想的证明由我国著名数学家陈景润得到。在1966年，陈景润证明，对于一个大偶数，它可以表示为两个质数之和，或者一个质数与一个半质数（两个质数的乘积所得的数）之和。陈景润的工作让哥德巴赫猜想的研究取得重大突破，他已经完成了“1+2”的证明，这个定理被称为“陈氏定理”。陈景润在艰苦的条件下可以取得如此重大的成就，让人们钦佩万分。当年为了证明“1+2”，陈景润埋头苦干，耗费了几麻袋的草稿纸，这种坚韧不拔的毅力只能让人望其项背。在陈景润之后，有一些人声称已经证明出“1+1”。然而，这些所谓的哥德巴赫猜想证明都是无法成立的。哥德巴赫猜想涉及到十分艰深的数学，并不是普通人想得那么容易。不是超一流的数学家，想要证明出哥德巴赫猜想是不现实的。

研究速度、时间和路程三者之间关系的问题称为行程问题。速度、时间、路程的基本数量关系：（1）速度×时间=路程 （2）路程÷时间=速度（3）路程÷速度=时间1.一般行程问题一般行程问题也只研究一个人或物体运动的问题，以及基本数量关系速度乘时间等于路程解决即可。2.相遇问题两个人或物体同时或不同时从两地相对而行，经过一定的时间相遇，这种行程问题称为相遇问题，相遇问题也成为相向运动问题。如下图所示：相遇问题的基本数量关系：（1）总路程等于速度和×相遇时间（2）相遇时间等于总路程÷速度和（3）速度和=总路程÷相遇时间（4）总路程=甲的路程+乙的路程例如：一辆客车和一辆货车同时从两地相向而行。已知客车每小时90千米，货车每小时行60千米，经过2小时相遇，两地相距多少千米？速度和为：90+60=150千米/小时，经过2小时相遇，则两地相距150×2=300千米。3.相离问题两个人或物体从相同或不同的地点出发，背向而行，这种行程问题称为乡里问题，如下图所示：相离问题的基本数量关系：相离距离=速度和×相离时间例如：甲每分钟行80米，乙每分钟行60米，两人同时同地出发，背向行3分钟后，甲乙相距多少米？速度和为：80+60=140米/分钟，行了3分钟，共行了140×3=420米。4.追及问题两个人或物体同向运动，在后面的如果速度快，在一定的时间内就能追上前面的人或物体，这种行程问题被称为追及问题，如下图：追及问题的基本数量关系：追及时间=路程差÷速度差例如：乙在起甲方100米处，甲每分钟行80米，乙每分钟行60米，两人同时同向而行，经过几分钟甲可以追上乙？甲每分钟比乙多行80-60=20米，当甲比乙多行100米时，甲就追上了乙，所以经过100÷20=5分钟，甲可以追上乙。典题型解析：甲乙两站相距625千米，一辆小汽车从甲站开往乙站，同时一辆中巴车从乙站开往甲站，已知小汽车每小时行驶70千米，中巴车每小时行驶55千米。（1）两车经过几小时在途中相遇？（2）从开始到两车还相距50千米用了几个小时？（3）从开始到两车相遇后，又相距50千米，共用了几小时？解析：此题是一道典型的相遇问题，考查对相遇情况的分析。通常解决这类题我们可以借助线段图来帮助分析，要求相遇时间，关键是能正确分析出相遇路程，相遇路程不一定是两地间的距离，而是两车同时同行驶的路程和相遇时间就是两车同时行驶的时间，具体分析如下：（1）两车同时出发到相遇的路程和为625千米，根据“相遇时间=总路程÷速度和”，可以算出相遇时经过的时间为625÷（75+55）=5小时（2）由图可知，两车同时行驶的路程和625-50=575千米，所用的时间为575÷（70+55）=4.6小时。（3）由图可知，两车同时行驶的路程和为625+50=675千米，所用的时间为675÷（70+55）=5.4小时。答案：（1）5小时（2）4.6小时（3）5.4小时下面出几道题供学生练习下。1、甲、乙两车同时从东西两地相向开出，甲车每小时行60千米，乙车每小时行52千米，两辆汽车在离中点16千米处相遇。东、西两地相距多少千米？答案（448千米）2、兄妹俩人从家到学校，妹妹步行每分钟走45米，哥哥骑车每分钟行195米，妹妹走20分钟后，哥哥骑车从家出发，几分钟后追上妹妹？答案：（6分钟）3、甲乙两车同时从a、b两地的中点相背而行，甲车以每小时40千米的速度行驶，到达a地后，又以原来的速度立即返回，甲车到到达a地时，乙车离b地还有40千米，乙车加快速度继续行驶，到达b地后也立即返回，又用了7.5小时回到终点，这时甲车离中点还有20千米。乙车加快速度后每小时行多少千米？答案：（48千米/小时）

芝加哥心理学教授莱昂斯博士认为，每5个人就有一个人患有数学恐惧症。有些人一碰到数学问题就焦头烂额，有研究表示这是一种生理疾病，他们的大脑把数学当成了威胁，这种病叫“计算障碍”！。而产生的数学焦虑是可以转移，清除的。首先，数学焦虑是怎么产生的呢？在学习数学的过程中，父母和老师会造成很大的影响，给孩子灌输的思想如果是：1.数学学得好是聪明的标志，过于看重数学。2.女生的数学天生不如男生。孩子感受到这种思想，就会感到有挑战性，感到焦虑。还有一些“数学焦虑”的老师，家长，也会潜移默化将这种自己”焦虑的情绪“传递给孩子。其次，我们面对这种现状，我们要学会放松，当情绪低落时，数学思绪毫无进展时，散散步，跑跑步缓解肌肉紧张。要知道数学面前，人人平等，无论男女。

盈亏问题最早在我国古代数学专著《九章算术》中就有收录，其题目特征通常是陈述两种分配情况：一种是分配结果有余（盈），一种是分配结果不足（亏），故称盈亏问题，变式有“双盈”、“双亏”等，在解决实际问题时要注意灵活变通。其解决问题的关键是在一种量不变的情况下，根据分配结果盈亏情况求出分配所需总量的差，从而获得突破。例1、小朋友分梨子，如果每人分4个还多9个；如果每人分5个则少6个。问有多少个小朋友？有多少个梨子？分析：由“每人分4个还多9个”和“每人分5个则少6个”，可知两种分配方案所需梨子总个数相差6+9=15个，在小朋友人数不变的情况下所需梨子总个数相差15个，究其原因是第二种发配方案比第一种分配方案每个小朋友多分了5-4=1个，这样就很容易理解小朋友人数为15÷1=15人，进而求出梨子有4×15+9=69个或5×15-6=69个。例2．全班同学去划船，如果减少一条船，每条船正好坐９人，如果增加一条船，每条船正好坐６人，全班有多少人？分析：解决盈亏问题的关键一定要注意在一个量不变的情况下，去比较另一个量，才能发现问题，找到问题的突破口，在这里即不减少船，也不增加船，也就是保证船的数量不变，条件可转化为：若每船坐9人，还可再坐9个小朋友，若每船坐6人，班里同学就有6人没船坐，在船的数量相同的情况下，所能乘坐学生总人数相差6+9=15人，原因是每条船少坐了9-6=3人，由此可求出船有15÷3=5条，进而求出全班人数为9 ×（5-1）= 36人或6 ×（5+1）= 36人。请注意保护视力 ! 探究问题一定要注意理解分析其内在的逻辑关系，死记所谓的公式不便于灵活解决问题。

随着知识水平的提高，各类题目也是呈现出了烧脑的特性。这一些抽象的题目经常会以语文题目或者数学规律题的形势展现出来。有时候看似一道题非常简单，但是其中包含的学问可就大了。一次机缘巧合的机会，小编遇到过4道非常烧脑的智力题，刚一开始接触就我这不认输的牛性格肯定是信心满满，但是做过之后又是不得不服，想了一个通宵，但是还是感觉没有一题会的。最终小编得出了一个结论，人比人比死人，作为研究生的我还好小学毕业早不然怎么可能可以竞争过现在的年轻人！1、简简单单的说，说爱不爱！第一次看了这道题逻辑就没有整明白到底啥情况，而文中语句的表达意思中感觉又怪怪的，可能是小编语文没学好吧，在逻辑性上，小编引以为豪的数学知识也不管用也全还给老师了！反正做了这一题后，心情就比较糟。不过大家看了这简单的几句话后，有没有什么头绪呢？2、又是一道极度烧脑的脑筋急转弯，一道语文、数学差生毛病兼治的神题，反正最后请问你有办法将白菜、狼、羊都安全运过对面的河去吗？3、是时候展现真正的技术了，不知道大家对于自己的IQ有没有足够的信心呢？如果有，马上进入我们的纯数学智力难题环节，通过以上三组数字规律得出答案，最后请问8 3 7=？4、这题名为终极大挑战，一道专门防止老年痴呆的数学题。在生活中，相信小时候大家都有买过汽水或者啤酒的经历吧？假如某啤酒为2元前一瓶，每喝完4瓶后留下的4个瓶盖可免费兑换一瓶啤酒，而每两个空瓶又能兑换一瓶啤酒。最后当路人甲拿着10快钱去消费的时候，试问在理论上路人甲一共能喝多少瓶啤酒?以上就是困扰小编许久的四道超难的语文题和数学题了，相信跟小编一样智商欠费的朋友肯定也是不在少数，如果大家能独立完成并做对这4道题目，那么你牛了，智商140！

引言：很多人都在质疑数学学科对人类发展的作用，因为我们在中学、大学学到的数学知识很多在现实生活和工作中都用不上。虽然如此，但数学的发展可以说也是人类文明的发展，每当数学界出现新的难题时，如果人类最终能够解决它，那对人类的发展来说是有很大促进作用的。在很多人看来，数学是一门十分复杂抽象的学科，但是在对数学感兴趣的人看来，数学就是一个充满惊喜的王国，随着探究的深入，越是能够发现一些不可思议的现象。从小在中国接受教育的孩子都要接触数学这门学科，相信很多朋友在小时候都有过做数学题的痛苦经历，一些简单的数学计算对孩子来说是再好不过了，例如1+1=2。当然这也是从小孩子的角度去看待这个问题，如果从成年人和数学专业的角度去看待这个问题，它就不再是1+1=2那么简单了。为什么这么说呢？因为1+1=2这个算式与著名的“哥德巴赫猜想”有关，据了解18世纪的著名数学家哥德巴赫在给另一位著名数学家欧拉的一份信中提出了一个猜想：任何一个大于5的奇数都能写成三个质数的和。欧拉在看过这个猜想之后认为它应该是成立的，但是他用尽一身的精力也没能将这个猜想证明出来。不过他在证明的过程中将猜想进一步简化成了：任何一个大于2的偶数都是两个质数的和。基于哥德巴赫猜想的欧拉猜想也未得到完全的证明，而且在之后的一百多年中也没有人能够做到这一点，因此这个猜想被称为是近代三大数学谜题之一。很多数学家认为，虽然欧拉没有直接将哥德巴赫猜想给证明出来，但是他已经简化了这个猜想的证明，以至于后面的数学家陆续在这上面有所发现。后世数学家为了证明哥德巴赫猜想也是耗费了大量的时间和精力，由于这个问题演化成了“a+b”型问题，因此有许多科学家陆续提出了自己的发现。例如在1920年时，挪威的布朗就证明了“9+9”，4年之后的德国数学家拉特马赫证明了“7+7”。而我国著名数学家陈景润也在1966年成功地证明了“1+2”，这距离完全证明哥德巴赫猜想又近了一步。为了纪念陈景润在这方面的贡献，人们将他的证明称为“陈氏定理”。实际上中国最早研究哥德巴赫猜想的人并不是陈景润，而是另一位数学家华罗庚。华罗庚在1936至1938年在英国留学期间，他就开始研究这个猜想。在研究的过程中他几乎验证了所有关于偶数的猜想，但最终也没有完全证明出来。华罗庚在1950年回国之后，在中科院数学研究所的组织下召开了专门以哥德巴赫猜想的研讨班，其中王元、潘承洞、陈景润等人都是这个研讨班的学生。这三个人分别在1950年、1962年和1966年对哥德巴赫猜想进行了进一步的验证。由此可见华罗庚对这三位数学家验证哥德巴赫猜想还是具有一定的影响。在2013年的5月，一位来自巴黎高等师范学院的研究人员发表了两篇关于该猜想的论文，并且凭此宣布哥德巴赫猜想完全被证明了。但如果人类要完全证明出哥德巴赫猜想，恐怕还需要很长的时间。

小学数学课题研究最佳题目，通常都是要包括研究对象、研究内容和研究方法的。对象、内容和方法的确定，都不是一蹴而就的。知实学术汇总了一些小学数学方面的研究题目，仅供参考。小学数学课题研究最佳题目数学核心素养下农村小学高年级学生运算能力培养的研究小学数学大班额背景下小组合作学习的有效性研究小学数学教学中培养学生动手实践能力及其评价方式的研究以“智慧放手”的教学特色培养小学生合作学习能力的研究基于核心素养下的小学低年级数学评价模式研究小学生空间观念和几何直观的培养与评价研究核心素养背景下小学数学整理和复习课的研究优化小学数学课堂教学方式的实践研究基于读懂学生错误培养学生反思能力的实践研究依托综合与实践活动教学提升小学生数学素养的研究在小学数学“数与代数”领域开展游戏化教学的实践研究小学数学中培养学生几何直观能力的研究小学数学课堂教学与现代教育技术融合实验与研究小学数学教学中建立模型思想的策略与方法研究基于发展学生核心素养的小学数学作业设计有效性的研究小学中年级数学课堂提问有效性的研究小学数学小组合作学习有效性的研究小学数学课堂教学与信息技术整合的研究优化小学数学教学有效性的策略研究了解更多课题申报资讯，来知实学术。