数学极限考研题

由于考研数学每年第一道大题，往往会是求极限，偶尔是求不定积分值。在统计极限题目的计算中，我们发现考生很多时候利用导数计算，结果往往使得计算变得非常复杂，同时，导数过程中会出现分母少提了一下系数，结果导致整个大题10分被扣——这是非常可惜的！今天在考研复习的黄金暑假，我和大家一起来针对考研真题中出现的求极限大题，一起来分析一下，帮助同学们掌握正确、高效的解题思路！首先，我们看看是哪8个泰勒公式。在实际解题中，公式1、2、4出现的概率比较高，我们通过网友的一道解题来讲解一下：这道题网友采用了导数的基本计算规则，结果计算错误而且过程繁琐，系数非常容易提错。那么，如果用泰勒公式之后，是什么效果呢？解题如下：显而易见，通过泰勒公式的代入计算，过程变得清晰明朗，并且 不会出现因为提系数导致的出错！简单、清晰的拿满分这才是我们做题的目的！下面，我们通过2019年数一考试大纲，来一起回顾一下，看看大纲中对这部分是怎么要求的。另外特别提醒大家一句：很多时候，我们都是直接拿着全书开始复习，忽略了大纲，实际上所有全书都是以考研大纲为主，我们抽时间对照大纲看全书是非常有必要的！一定要切记、切记！以下附带部分为考试大纲针对极限要求部分：一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法　函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性　复合函数、反函数、分段函数和隐函数　基本初等函数的性质及其图形　初等函数　函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质　函数的左极限和右极限　无穷小量和无穷大量的概念及其关系　无穷小量的性质及无穷小量的比较　极限的四则运算　极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则　两个重要极限：函数连续的概念　函数间断点的类型　初等函数的连续性　闭区间上连续函数的性质考试要求1．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．2．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系．3．掌握极限的性质及四则运算法则．4．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．5．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限．6．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．7．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．二、导数和微分 1．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．2．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．3．理解并会用罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理和泰勒（Taylor）定理，了解并会用柯西（Cauchy）中值定理．4．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法．希望大家2020年考研调整心态，努力冲刺，抓住该抓住的满分大题！

小编在本文将会带来一道2019年的数列极限真题。通过这道真题，小编除了告诉大家如何寻找解决方法，另外也尝试展示如何将有关的知识模块通过平时地联系有机地结合起来。真题的具体内容如下：不妨先看第1问的证明题。要证明数列单调减少，无外乎两种方法：一是化数列为函数，利用导数来证明单调性；二是直接比较相大小。从数列一般项的形式上来说，直接比较相邻两项大小理应是优先考虑的办法，下面是具体的解答过程。第1问的难点是如何证明第n项和第n-2的关系？证明数列项与项之间的关系，也无外乎两种方法：一是直接求出数列通项；二是通过分部积分法，抽象地表示数列项与项之间的关系。对于本题，理应优先考虑数列通项，理由就是定积分应该不难求出来。出于上述考虑，至少可以先尝试求数列通项！具体过程如下：上面标绿的部分用到了三角函数替换即x=sint。此外，特别注意，对定积分进行变量替换时，一定要注意定积分的上、下限也要进行相应的变化，其对应变化如图1所示：图1.变量替换时，积分区间变化示意图化简到上面这一步，就可以直接考虑应用下面的公式了：由于n为奇数和偶数时结果的形式不一样，那么，理所当然，我们在计算和证明时，也当区分是奇数项还是偶数项。为方便起见，不妨进行如下转化：不妨假设n为大于或等于4的偶数，此时n+2也必为偶数，则有如下推导：同理可证，在假设n为大于或等于5的奇数时，原命题亦成立。现在小编要问大家了，为什么小编在上面讨论时，要强调n的大小呢？这是因为当n=2或n=3时，n-2=0或1，此时不能直接用上面的三角函数公式了。对于这两个特殊项，大家一定记得要补充证明。限于篇幅，小编在此从略。接下来看第2问。证明数列极限，除了用夹逼定理外，还有一个定理，经常被大家忽略，那就是偶数项和奇数项数列极限存在且相等，是数列极限存在的充要条件！这是什么意思呢？不妨看看下面这个数列：如果数列索引下标以1为起点的化，那么上述数列的奇数项数列就是{9, 8, 7.5, 7.25,…}，偶数项数列就是{-10, -8, -7, -6.5,…}。用数学关系式表示，其形式如下所示：小编之所以提及这个定理，并不是说解决这一问需要用到这条定理，而是提醒大家，不要忘记有这么条定理，说不定下次考研可能就围绕这条定理来出题目！第2问应采用夹逼定理来求，不妨设新数列{bn}的数列一般项与题干数列{an}的关系如下：具体的计算过程如下所示：图2是本题的思路逻辑，以及一些对应的知识模块。大家会发现，做完一道题后，原来涉及到这么多知识，你想到了吗？虽然有些知识模块没用到，但是一定要多联想，这样才能形成整体的无缺漏的知识架构体系！图2.真题与知识模块联系示意图

数列求极限一般在考研数学中属于难题，很多同学要么不会做，要么做不完整。其实原因有很多，可能是你做的题目类型少；也可能是你对这样的题目没有形成自己的解题套路。今天笔者来给大家分析几种数列求极限的考题类型，当然我也是受某为名师的启发，大家想看就看，不喜勿喷。1.用单调有界准则求数列极限。这种方法比较常用，也是求极限的方法之一。说到这里给大家来个小插曲吧，求极限的方法包括夹逼准则、洛必达法则、等价无穷小代换、泰勒公式以及单调有界求极限。一般情况下洛必达和等价无穷小代换出现的比较多或者洛必达和泰勒公式结合，而夹逼准则和单调有界准则更多会出现在数列求极限。回到主体，用单调有界准则求数列极限可以说是很常规的考法，但是考题难度不一。如果题目简单会给大家一些提示，比如先让大家求数列对应连续型函数的零点或者单调性等等；如果不简单的话，题目可能直接让大家证明极限存在和求极限。18年数二就是个很好的例子，题目直接让证明极限存在并求极限，所以难倒了一大片考生。所以在考前大家还是最好去接触接触这种题型。2.结合定积分定义求数列极限。本来是有图的，但由于我忘记带那本书，所以在这里就不给大家看例题了。这种题目好像在十八讲中有所涉及，在夹逼准则那里作为特例出现的好像，大家可以翻书看一看。主要问题在于，你在做这种题目时，大家看着也许都像是要用夹逼准则就可以做出来，但是做了之后左右两边极限不相等，所以这个时候就可以考虑用定积分定义来做这样的题，所以同学们要牢牢掌握定积分定义的用法。3.“隐性”夹逼准则求极限。为什么说是“隐性”呢？就是说题目中没有明显说怎么求，这里有张图可以给大家看一下。这种题是有一定难度的，所以会首先给大家一个台阶让大家证明一个不等式成立，也算是在给大家指引解题方向在哪里。但是这种类型的题目就怕出难了，不给任何提示就让大家求，可能大家会没有思路不知道方向和不知道怎么放缩……但是这类的题目已经有十多年没有出现了，大家还是花点心思了解一下比较好。主要解题步骤就是去证明让证明的不等式成立，再用证明过的不等式结合夹逼准则求极限。希望以上几种题型大家予以重视吧。

大家好，我是老梁考研数学！今天老梁继续给大家推送《考研数学真题分类解析系列》第007期，精选了一道已知极限反求未知参数的问题，也叫作极限的反问题。一般来说，不同类型的问题（如0/0型，∞/∞型，∞-∞型等）采取的方法也有所不同。总体思路是根据已知极限利用极限存在性质、运算性质以及相关的计算方法（洛必达法则，泰勒公式，无穷小等价替换等）推出未知参数应该满足的条件，进而求得未知参数。真题及解析【例007】（1994数2）【分析一】这是个0/0型未定式，可利用洛必达法则以及下列性质分析： 【解法一】由洛必达法则，继续使用洛必达法则，选（A）。【分析二】极限式除了对数函数，就是幂函数，因此宜采用泰勒公式求解。【解法二】由泰勒公式，选（A）。【分析三】仍采用泰勒公式，但将极限式变形。【解法三】由题设，由泰勒展式的唯一性，选（A）。【分析四】由于是客观题，且带有参数，故也可采用排除法。【解法四】排除法。选（A）。总 结对于0/0型带有参数的极限式，通常有三种处理方法：利用已知极限式分母（或分子）的极限，推出分子（或分母）的极限，从而确定参数满足的方程；利用洛必达法则，泰勒公式，无穷小等价替换等处理极限；利用分类讨论法，对参数选取不同的值，使之满足已知极限式或排除错误选项。对于其他类型的带有参数的极限式处理方法，后文陆续推出。方法总结 归纳题型奇思妙解 就找老梁往期回顾考研数学｜真题一题多解系列，精选006｜中值问题考研数学｜真题一题多解系列，精选004｜反用等价无穷小考研数学｜难点突破！递推数列单调有界原理方法之有界性证明考研数学｜方法总结，递推数列单调有界原理方法之单调性证明考研数学｜真题一题多解，精选003｜∞-∞型未定式移位变形小技巧

考研数学真题讲解：每日一练185天一、题目题目二、解析题目1题目2题目3考研路上，你我同行。加油！

大家好，我是老梁考研数学！今天老梁继续给大家推送《考研数学真题分类解析系列》第五期，精选了一道极限计算方面的真题。通过这一道真题就几乎能把最常用的极限计算方法进行复习，是一道质量非常高的真题。真题解析【例005】（2008数1&2）【分析一】0/0未定式极限，可使用洛必达法则计算，计算前先利用无穷小等价化简先。【分析二】使用在x=0处的泰勒公式。【分析三】利用无穷小等价替换。【分析四】极限式中含有函数差，所以可以尝试利用拉格朗日中值定理。【分析五】极限式中的sinx比较多，故可采用变量替换。总结本题从不同角度出发进行分析，使用了5种方法进行计算。这五种方法：洛必达法则、泰勒公式、等价无穷小替换、变量替换以及拉格朗日中值定理都是常用方法。方法总结 归纳题型奇思妙解 就找老梁想了解更多精彩内容，快来关注老梁考研数学往期回顾考研数学｜真题一题多解系列，精选001考研数学｜真题一题多解系列，精选002｜最后那种方法你肯定想不到考研数学｜真题一题多解，精选003｜∞-∞型未定式移位变形小技巧考研数学｜真题分类解析系列，精选004｜反用等价无穷小考研数学｜方法总结，递推数列单调有界原理方法之单调性证明

第一章 极限&连续极限在考研数学中占有很大的比重，考试一般会以一道小题和一道大题出现。本文主要分享第一节，极限的定义。极限定义的准确理解能够为高等数学的学习打下良好的基础。同时，极限的定义常常被作为压轴题，或者是难度较大的证明题，故大家务必将定义理解透彻。函数极限的定义，本部分采用的是张宇老师的讲义。以表格的的形式列出了函数极限的所有定义式，如下。敲黑板这24个定义是大家要亲自写一遍，便于自己理解。而且定义对于证明题很有帮助哦！值得注意的是，第一行的定义式是为了证明函数在某一个趋向过程中其极限为常数（即今后部分题目中遇到的证明极限存在）。而第二行到第四行可以称之为极限不存在（亦可用作极限不存在的证明中）。数列极限定义有可能作为压轴题出现，如果题目要求计算数列极限时，需要先证明其存在。

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大家好，我是老梁！计算n项和数列极限是考研数学一个常见的考点。就其计算方法来说，主要有下面5种方法：(1)公式法：先利用数列求和公式求和，然后再求极限；(2)定积分法：n项和转化为某一个函数特殊积分和的形式，利用定积分计算该积分和；(3)夹逼准则法：先利用和式数列或部分数列的单调性，将和式分别放缩成两个极限相等的n项和数列，这两个数列的极限就是所求极限；(4)幂级数法：将数列求和转化为幂级数求和，求出和函数后再代入相应点的值（数一、三）；(5)傅里叶级数法（数一）：类似幂级数法。其中定积分法与夹逼法则法是考研数学的重点方法。用夹逼法则计算n项和数列极限，同学们的难点大概有两个：一是怎样判定某个n项和数列能否利用夹逼法则计算；二是如何将数列合理的放大和缩小，以便使用夹逼准则。今天老梁就解决这两个难点。内容主要包括：（1）数列极限的夹逼准则及其推论；（2）夹逼准则应用步骤及放缩原理；（3）适用于夹逼准则计算的n项和数列的条件和类型及其计算方法。一、 夹逼准则及推论1. 数列极限的夹逼准则2. 推论二、应用夹逼准则步骤和缩放原则1. 应用步骤如果用夹逼准则计算某个数列的极限，则必须将该数列适当地缩小和放大，“造出”两个新的数列，这两个新的数列的极限必须相同，一般情况下，这两个数列的极限还得都容易计算。2. 放缩原则三、适用于夹逼准则计算极限的n项和数列的3种类型1. 类型1由n个非负单调且等价的数列之和构成的n项和数列2. 类型2n项和数列的每一项都是两个正的单调数列之比。3. 类型3n项和数列的每一项都是两个正数列之比，且分子和分母数列有且仅有一个为等价、单调数列。一般情况下，求该类型的极限需要将夹逼准则与其它方法一起使用。下面通过三个例子来说明这个类型的n项和数列极限的计算方法。【评注】本例的方法是定积分与夹逼准则的综合。关于定积分方法，拟另文推出。【总结】能应用夹逼准则计算极限的三个类型的n项和数列都符合下面两个条件：（1）数列或由各项分子组成的数列或分母组成的数列都是正的单调数列；（2）该数列的任意两项当n趋于无穷时都是等价的。今天老梁介绍到这里欢迎关注老梁！归纳总结 思维定式奇思妙解 就找老梁往期回顾考研数学｜一文搞懂渐近线抓大头法，你不可能真的很了解！考研数学，一文搞懂无穷小可以等价替换的5个情形考研数学｜上岸985，等价无穷小要掌握到什么程度？考研数学｜无穷小阶的比较：这些方法和技巧，你一定要掌握！