数学教育研究

叶圣陶曾说过：“教育就是培养行为习惯。”小学阶段尤其是小学低年级阶段是行为习惯培养的重要时期，也是最佳时期，儿童的行为习惯在这一时期基本成型。要使儿童把班集体的行为准则内化成自己的行为准则，主要依靠两种力量：一是关爱，二是习惯。教学过程不仅是师生间知识的传递过程，也是师生间情感的交流互动过程。如果在教学过程中能让学生体会到教师的爱心，他们往往会欣然接受教师的建议，并自觉遵守教师提出的各项规定。下面谈谈我在教学过程中培养学生学习兴趣和习惯的几点做法。一、 尊重学生的情感需要，激发学习数学的兴趣。学生是情绪化的学习者，任何一位学生（不管他的学习成绩多么糟糕）都有被别人关爱和尊重的需要。这种情感需要的满足，可以使学生的学习兴趣得以提高，良好的学习习惯得以养成。在与学生的交流过程中，我会通过自己的言行传递这样的信息给他们：老师是喜欢你们的，老师渴望见到每一个人的进步。他们学习中一点小小的进步，我都会给以认真而诚恳的肯定并加以鼓励。提起学生王佰祥，教过他的老师都直摇头，说他作业拖拉，字迹潦草，成绩落后，喜欢打闹，“朽木不可雕也”。一个偶然的机会，我发现他的作业一反常态，字迹认真工整。问他原因，他低声说：“我也想得个大拇指。”原来是我最近实行的奖励方式（测验中满分奖励一个大拇指，基础知识没疏漏奖两朵小红花，出错不严重的奖一朵小红花）激发了他的上进心。于是我及时抓住这一闪光点，在班上大加表扬。几周后，奇迹出现了，他不仅作业认真按时完成，而且也不和同学打闹了，数学单元小测验得到了两朵小红花，之后我不失时机地连续表扬鼓励，并亲自向家长打电话报喜，从此，王伯祥变了。二、 提高学生自制能力，培养会听课的习惯。小学低年级学生的特点是：有意注意力还比较薄弱，情绪稳定性较差，行为的自我约束能力差，缺乏意志的坚定性。他们在课堂上最常犯的错误是：思想开小差，精力不集中；上课乱说话，不善于倾听其他同学发言，有时还讥笑挖苦同学的错误；有小动作，听课时手中也不停下，玩铅笔，橡皮，纸团等。针对学生的这些行为我采取了下列做法：①建立正确的班级舆论。召开了主题为“应该怎样上好数学课”的班会，学生们你一言我一语，踊跃出谋献策，热情很高。以后谁在课堂上不认真听讲，乱说话，都会遭到同学们的责备。学生的听课效率提高了很多。②建立友好互助小组。将学生按座次每四人分一组，每四人中选出一位品学兼优的人担任小组长。课堂上以小组为单位进行练习题的批阅和纠错。③建立适合本班班情的班级规则，赏罚分明。这需要教师抛开成见，平等对待每一位学生，处理问题时要做到公平公正。教育论文④放手课堂，给学生动手操作的机会。在学观察物体时，有这样一道题：星期天，小明，小东，小芳到小丽家做客，小丽用茶来招待客人，（图中小明在左，小芳在右，小丽在前，小东在后环方桌而坐，茶壶在桌中间。）请你指出四幅茶壶图分别是哪位同学看到的？其中前后两个方位的辨别是个难点，因为学生的空间想象能力很差。课堂上我将一个带把的杯子放在讲桌上，找两个学生分别趴在讲桌的前后两边，根据自己看到的先画了两幅图，然后把自己画的图贴在黑板上，图中杯子把一个在左一个在右，一个抽象的问题随着这两幅图迎刃而解了，而且在整个过程中，全班学生注意力高度集中；在学厘米和米时，我让他们用学生尺量书的长、宽、高，量手掌宽，两人合作用米尺量身高、伸开两臂量两手指间距离，量黑板等。在动手操作中同学之间的感情增进了，互相讥笑的现象少了，动手能力也提高了。三、 培养学生仔细计算，认真检查的习惯。提高计算能力是学好数学的基础，做题时不仅要让学生掌握计算方法，还要培养他们认真检查的习惯。在教二年级学生学习100以内的加法和减法的笔算时，计算过程讲解很透彻，学生也已经掌握计算的方法，并且做了大量的练习，但出错率仍很高。该如何帮助学生避免计算中的失误呢？反复思考后猜想：如果总结几条规律，让学生们在检查时有章可循，失误该会少些吧？于是根据学生易犯的错误，我用一节课的时间跟学生一起总结了下列五条：①竖式中不要抄错数②竖式中不要抄错加减号，不要将“+”算成“-”也不要把“-”算成“+”③笔算加法时，该进位时不要漏加进位一，不该进位时不要乱加进位一。④笔算减法时，该退位时不要忘退，不该退位不要乱退。⑤横式中不要漏写得数。学生们在理解的基础上熟练背诵，做完题再按照这五条逐一检查，经过一段时间的训练后，学生们的计算水平大大提高，计算后检查的习惯也养成了。四、培养学生独立作业，乐于动脑的习惯。独立完成作业，既有利于掌握，巩固学过的基础知识，养成刻苦钻研勤奋踏实的优良品质，又有利于老师掌握学生的真实情况，以便对症下药，因此，作业时，应要求学生不要跟别人对算式和结果，更不能抄袭别人的作业，应该实事求是的做作业。要让学生做到独立写作业， 教师的评价尽量以正面鼓励为主,唤起学生的自信心。实质上，养成教育也就是培养学生学习的兴趣，并经过反复的实践，使这种兴趣能持之以恒，久而久之，最终成为自觉行为，形成习惯的一个过程。好的习惯攒多了，素质也就提高了，养成教育的目的也就达到了。要让学生，尤其是后进生，从小养成良好的学习习惯，我们一定要要用发展的眼光去看待他们，并及时捕捉他们身上的“闪光点”，用“放大镜”去看他们的优点和进步。

4月15日至16日，青岛市优秀教学成果“‘整体数学’教学研究与实践”推广与应用现场会在胶州市第十七中学举行。来自省内外的100多名数学教师、20多个成果推广基地学校和名师工作室参加了本次活动。本次活动还通过网络平台面向全国进行线上同步直播。据悉，本次活动分为两天进行，出示两节青岛市公开课，一节基地学校展示课，两场专家报告和多次评课活动。活动现场，教学成果主持人刘乃志对成果进行了详细介绍。来自《天津师范大学学报·基础教育版》编审陈浮进行了题为《教学成果的总结与提炼》的讲座，来自山东师范大学教授傅海伦做了题为《数学整体教学应该关注的几个问题》的报告，两位专家对该研究成果给予了高度评价。刘乃志作为一名扎根农村的教师，带领团队进行了长达10年的“整体数学”教学研究探索，相关成果获得青岛市2020年市级教学成果奖特等奖。该项目基于学校数学教研，面向青岛市初中数学学科教研，又通过各地实验基地校、各地名师工作室、“全国初中数学骨干教师联盟”等平台辐射全国。项目组基于“整体数学”的理论对数学教学进行研究，从整体观点下章节起始课教学研究入手，自然过渡到教材整体单元设计的研究。这项研究不仅是对教材整合的研究，更是理念的提升，理论的突破和实践的检验。自2012年以来，刘乃志带领研究团队相继在青岛市和全国多个省市开展整体观点下数学教学研究与实践，形成了重要有价值的成果。本研究分为起始阶段——整体视角下章节起始课教学设计研究；高级阶段——基于整体的教材单元整合研究；深化阶段——“整体数学”教学理论的构建，三个阶段相互补充，又层层递进。“整体数学”教学成果自推出以来，解决了很多的问题，比如，教师怎么整体教的问题，特别解决了数学教学的“碎片化”问题；学生怎么系统学的问题，特别解决了学生单一性被动学习问题；整体观点下整合教材和教学案例问题，特别解决了教师孤立设计、零打碎敲问题。本次课题成果推广活动取得了预期效果，加强了各基地校之间的联系，整体化视角转变了教师观念，促进了教师专业发展，切实提高了学生学习质量。实现了优质教育资源共享，有效提升了教师的专业成长。本次活动虽然结束了，课题成果推广还在路上，未来还将立足学校，面向青岛，辐射全国，让“整体数学”逐步走向“整体教育”。

研究数学教学中的深度和广度阳信县实验小学冯莹莹尊敬的各位领导，老师们:下午好，我是实验小学的一名普通数学老师，我很庆幸能在实小这个温暖、有爱的大家庭里工作，因为这里有全力支持老师们外出学习的李校长，有团结向上、精益求精的教研团队，数学教研组在王春花主任的带领下，正在研究、打造“有深度”“有广度”的课，基于自己外出学习的一点感想及平日教学中的一点感知，我确定了今天发言的题目—《研究数学教学中的深度和广度》,有不当之处，敬请大家批评指正。所谓课堂教学的深度，是指纵向上的数学思考，需要教师进一步去挖掘。有深度的课是有内涵、有数学魅力的课，能引发学生深层次的思考，激发学生学习兴趣，培养创新意识和实践能力。课堂教学的广度，是指课堂教学横向上的容量与范围上，有广度的课充实，知识点宽泛。如果一节课具备了深度和广度，也就具备了扎实、充实、丰实、平实、真实，就是一节好课。回顾数学大家们的课堂，第一感觉很舒服，再细细品味都很有广度和深度。一、读懂儿童，给儿童“好吃又有营养”的数学这是吴正宪老师所提倡的儿童数学。比如在吴老师执教的《三位数乘两位数》这节课中，先让学生回顾以前学过的两位数乘两位数的计算方法，一个98×14=？先让学生列竖式计算、说算理，最后又让学生们编故事，老师又借助学生编的故事顺势引导三位数乘两位数198×14=？1198×14=？的计算中来，算理都是相通的，通过知识的迁移，让学生真正的发生学习、参与学习，通过编故事和解决问题进行有机融合。又如吴老师在执教《平行与相交》时，指导学生想象两条直线“你在哪？我在哪？”先有成像再进行分类，学生们在一次次的辨析中“去伪存真”，既掌握了概念，又培养了深度思维。吴老师正是找准了值得深入研究的问题，步步深入，引领学生“错着错着就对了，聊着聊着就会了。”真正地实现了课堂是用来做研究的。二、基于学生实际生活经验，寻找教学切入点，直击知识本身在俞正强老师执教的《比的认识》这节课时，俞老师抛出一个问题：足球赛中的2:3和煮米饭中2:3一样吗？老师引导学生举例用数字感知，最终学生想明白了，“去伪存真”感知了比的特征。最终又通过举例，路程÷时间=速度，总价÷数量=单价，探索了比是一种关系，和“÷”相连，拓展了学生的认知，了解了以前所学的数量关系中，两个数相除就叫两个数的比。三、有限的知识会束缚我们的教学有时候我们之所以找不到深入教学的点，是因为我们的知识还不够渊博，我们的见识还不够宽泛。比如，我们一般在教学《可能性》时，只是研究“可能”、“不可能”、“一定”这三种情况，完成教学任务即可。可在刘德武老师执教《可能性》这节课时，即讲解了“可能”、“不可能”、“一定”这三种情况，还重点引领学生们探索了“哪种可能性大？”问题一出，学生们的思维进行了深层次地活动，“一个不确定的数除以4，商有余数吗？”（课件）“三位数乘3得数是几位数？”（课件）“100个锐角相加所成的角（）是锐角。”（课件）“把2个黄球和1个红球放进衣服口袋里，随意摸出两个，会有几种可能？哪种可能性比较大？”（课件）再如研究数学史的蔡宏圣老师，在执教《认识方程》这一节课时，提到：800-700=X是方程吗？是方程，但没有价值，这是方程的解，方程是用来解决问题的，所以说概念的定义不等于概念的意义。再比如35÷5的竖式计算：有一个孩子算出商是61，实际上算法对商的位置写错了，带领我们研究了：每次除得的余数要比除数小——确保了全球小朋友做的除法竖式都一样；余数要比除数小——确保了除法计算有唯一结果。我们虽没有大师级别的高屋建瓴，我们的课堂教学虽没有达到大师级别的深度和广度，但我们心中得有追求，“心能到达的地方就不是远方”。我们实小数学教研组一直在努力，每周三的执教老师都要提前一两周在组内进行四次及四次以上的磨课，一次次的试课、修改，我们追求的是既让学生感兴趣又有深度研究价值的课，正如王晓茹老师执教的《植树问题》，问题是“四年级三个班栽树，一个班接一个班地栽，怎样栽？”学生有了研究的兴趣，也轻松地完成了三种植树情况，学生们建立了植树的模型后，后又拓展到生活中来，既培养了学生们的深度思维，又充实了学生们的认知。四、严格的不理解不如不严格的理解这是我在平日教学中的切身体会，有些知识学生理解起来确实有难度，我们不妨给学生加点料，提高学生兴趣。比如“零为什么不能做除数？”我在课前叫了两位同学来台前，用粉笔代替苹果，十个苹果平均分给两位同学怎么分？十除以二等于五个很容易，那我又举了一个例子“十个苹果平均分给0个同学怎么分？”，学生们说没法分。因为没有同学怎么分呢，所以说学生们沾吃就懂，沾玩就明”。比如在学习方程时研究《等式的性质一》这一知识点时，光借助课件上的天平展示，学生比较难理解。我在课前随即叫了两位同学，我站中间，我的左右两边一边一位学生，我问：“现在从人数上看，我这个等号可以在这儿吗？”学生说：“可以，因为一等于一。”老师又随即接着来问：“现在我的左边又上来两位同学，我该怎么办？”学生说：“要么退出，要么右边也加上两名学生。”这样一做游戏，学生再借助天平也是很容易就理解了：等式两边同时加或减去同一个数，等式仍然成立。比如在教学《小数乘法》时，列竖式计算，先按整数乘法算出积，再给积点上小数点，我们为了记牢，管这种计算方法叫“秋后算账”。到了第二节课回顾旧知时，我问：“怎样计算小数乘法？”。学生们齐声回答“秋后算账”我又问“怎样秋后算账？”学生回答如流，一个有意思的词语，就解决了小数乘法的计算方法。在教学完小数乘法这一单元以后，学生们在做题，时常把乘法和加法弄混，于是我又帮助孩子们梳理了一句顺口溜：小树乘法尾对齐，小数加法点对齐。补充解释：乘法尾对齐的时候，末尾的零除外。加法点对齐了还是记不住，于是我又用了一个词语“加点料”学生们就记牢了。学生评价我，常说：“严厉中带点幽默的老师。”我现在备课时，常刻意地研究：除了完成教学任务，还能不能挖出点值得深度研究的教学点。比如在教学《平均数》时，研究完计算方法后，我又引导学生们：“期中考试的成绩比较最高分、最低分和平均分之间的关系”。接着又激励学生们“如果下次有一位学生多考十分，我们班的平均分会不会改变？”。但是我只刻意地训练学生们的深度思维，但我还缺少对知识的归纳，这也是我今后努力的方向。直到有一次在听周卫东老师在讲这一节课时，我知道了这可以总结为平均分的“趋中性”和“敏感性”。

一直以来，聚师网认为数学是天才才能够学习的科目，我等凡人想要走向研究数学的道路堪比登天。甚至数学课程在学科里往往被冠以枯燥的名头，即使是具有天赋的学生也较少认为上数学课是件有意思的事。对于大部分学生来讲，学习数学只是为了升学，作为三大主要科目之一，无论如何也不能放弃这一高分学科。可是数学真的只有枯燥吗？数字与公式之中真的没有艺术和美吗？聚师网认为，数学这一学科与语文、美术等其他学科一样，同样有着摄人心魄的魅力，数学并非是呆板不能变通的，不然也不会有那么多种解题思路了，而数学之所以枯燥、乏味，很大程度上是因为数学教育本身存在呆板、无趣的问题。大家不妨思考一下，有多少人在看到数学课本时就觉得头疼，看到课程便上写着数学那一栏时，就会发出：啊，怎么又是数学课！的惊呼。而数学教育需要做的就是改变这些想法，消除这些惊叹。那么数学教育究竟如何才能走向更活化的阶段呢？聚师网认为，最重要的就是要相应教育评价改革的号召，摘掉唯分数论等五唯帽子，破除数学学习中的功利性，还数学教育一个以兴趣催生学习欲望的可能。《烧掉数学书——重新发明数学》译制版在2020年9月出版，书中提出，要警惕把学生当成做题机器人的数学课本，单纯训练解题技巧和得分方式让数学失去了原本的魅力。在数学教育时，教师可以像语文授课一样，讲清楚数学公式发明出来的前因后果，数学天才们发明数学的心路历程同样可以讲述，用这些故事引发学生们的兴趣。此外，教师还可以将数学课程与其他科目跨学科交流，打破学科壁垒，让数学发挥出这一科目本就具有的美丽。聚师网简评：数学教育其实并非需要如此死板，兴趣是最好的老师，能够激发起大多数学生的学习兴趣，才能更好的帮助学生喜欢数学、爱上数学。希望在未来，会有更多创新性的课程设计被提出，做好数学教育。

前一篇专栏“成绩差点没关系”中把教育目标分了三个层次，分别是基础知识，思维方法，实际应用，其中思维方法是我重点阐述的核心。接下来，我把数学思维方法从“数学思维方法研究的对象和内容”，“数学思维方法的产生，发展与层次性”，“数学思维方法与数学教育”三个方面作一个概述，科普，帮助大家对数学思维建立一个理性认识。数学思维方法研究的对象和内容数学思维方法研究人们从事数学活动时思维发生，发展的规律，以及这些思维规律所具有的方法论意义上的特征。由于数学思维方法的研究具有思维活动的心理学特征和思维科学的特征，因此它必将涉及和运用一些心理学，思维科学中的概念。具体的说，数学思维方法将把思维，数学思维，数学发展中的发现，发明与创新的思维过程作为自己的研究对象。一．思维与数学思维（一）思维数学思维是从属于一般思维的，要讨论研究数学思维，就必然涉及心理学与思维科学的研究成果。心理学给思维的定义是：思维是人脑借助于语言对客观事物的本质及其规律的间接与概括的反映。从思维科学研究的角度分析，思维是作为人的个体理性认识事物的表现，它通常可以分为抽象（逻辑）思维，形象思维和特异思维（包括灵感思维，特异感知思维等）。目前，有关思维科学的研究正在积极进行中。思维是一个复杂的心理过程，当客观事物作用于人脑时，人脑会对各种信息有一个分析，综合，比较，抽象，概况，系统化，具体化的过程。作为一种认识过程，思维是在感性认识基础上进行的理性认识，它属于认识过程的高级阶段。举个例子，在对三角形的认识中，感知只能认识到三角形的形状，颜色和大小，而思维则舍弃三角形的这些表象特征，概况出三角形都具有三个角，三条边和三角形内角和等于180度等共同的本质特征。1. 思维的特征（1）思维的方向性思维的方向性特征又称为目的性，探索性或问题性特征。所谓思维的方向性，是指思维在对事物的本质及其规律的寻找过程中，总是以解决问题作为方向，也就是说思维总是沿着解决问题的方向发展自己。问题在思维中起到一种激励作用，它是思维探索活动的动力，同时也是思维活动的路标和指南针。（2）思维的概括性思维的概括性特征是指思维不仅仅依赖当前的刺激和直接的感知，它还具有舍弃某些事物的表象而直接进行抽象概括的特征。即把同一类事物的共同的，本质的特征或事物间的规律性的联系，抽取出来加以概括。举个例子，人们通过对大小不同圆的圆周与其半径的推算，舍弃了圆的大小及半径的长短，抽象概括出一切圆的周长与半径之比都是一个常数。思维的概括性包含两层意思：第一，能把一类事物中的共性加以抽象概括；第二，能从部分事物的相互关系中抽象出普遍的或必然的联系，并把它推广到同类的现象中去。（3）思维的间接性。思维的间接性是指人们凭借已有的知识经验或以其他事物为媒介，间接地推 知事物过去的变化，认识事物现实的本质，预见事物未来的发展。在数学研究中，思维的间接性十分明显。因为数学本身就是一种非现实存在的理性构造，人们就是运用了间接性的思维特征，才从已有的数学成果中获得了新的理论。2.思维的分类根据不同的分类形式，思维有不同的表现形态。（1）根据思维的形态不同，可以将思维分为动作思维、形象思维和抽象思维。动作思维是指以实际的动作为支柱的思维，也称为操作思维或实践思维。它的特点是直观的、在实际操作活动中产生和进行的。3岁前的儿童思维就以动作思维为主。形象思维是指用表象进行分析、综合、抽象、概括的过程。形象思维中的基本单位是表象，幼儿在3～6岁的思维多属于形象思维。成人的思维中也有形象思维的发生，特别是艺术家、作家、导演等更多地运用形象思维。数学家有时也借助形象思维来表述某些抽象的概念，当然，成人的形象思维与儿童的形象思维有本质的差异。抽象思维是运用概念、判断和推理的形式来反映事物本质的思维。这种思维是以概念为支柱进行的思维，人们把它看作是人类思维的核心形态，又称为理性思维。抽象思维的形式又有形式逻辑与辩证逻辑之分，两者既有区别又有联系。形式逻辑的概念具有抽象性和确定性，辩证逻辑的概念具有具体性和灵活性。数学作为一种形式逻辑思维的表述过程和构造形式，它在发生发展的过程中也具有辩证逻辑的形式。如微积分中极限概念的产生、发展和最后定义，就明显地表现出辩证逻辑思维的形式。（2）根据思维过程的指向不同，可以将思维分为集中思维和发散思维。集中思维又称求同思维，聚合思维或纵向思维。集中思维是指把问题的各种信息集中到一起求出一个共同的，单一的，确定的答案。如果某个问题只有一个正确答案，思维的过程就是要找出这个正确的答案。发散思维又称求异思维，分散思维或横向思维。发散思维是指思考问题时，从一个目标出发，沿着各种不同途径去思考，寻找各种可能的正确答案。这种思维无一定的方向和范围，不墨守成规，具有更大的主动性和创造性。科学家的发明创造，艺术家的艺术作品，理论家的新观点和新创见，多得益于发散思维的成果。（3）根据思维的智力品质不同，可以将思维分为习惯性思维和创造性思维。习惯性思维是指用惯常的方式，固定的模式解决问题的思维。这种思维较为普遍，人么总愿意用旧有的，习惯的方式去解决问题，可以不费太大的努力就得出答案。这种思维缺乏主动性，有时会产生错误的认识。创造性思维是指有主动性和创新性的思维，它没有固定的模式和方法，也不遵循已有的思路。创造性思维利用已有的信息独立思考，根据问题和情境创造性的探索答案。创造性思维往往是逻辑思维和非逻辑性思维的有机结合。（二）数学思维的概念与特征数学思维是人类思维的一种形式，具有思维的一般规律与特征。1. 数学思维的概念一般的说，数学思维就是数学活动中的思维。更确切的说，数学思维是人脑在和数学对象交互作用的过程中，运用特殊的数学符号语言以抽象和概括为特点，对客观事物按照数学自身的形式或规律做出的间接概括的反映。数学思维是由数学对象，并且主要是由数学问题推动发展的。可以认为，数学问题是推动数学发展的动力和方向，当然解决问题也正是数学思维要达到的目的。从本质上说，数学思维的过程就是不断提出问题和解决问题的过程，数学思维的能力也就是提出数学问题，解决数学问题的能力。数学问题解决的差异代表了不同的数学思维表现形式，解决不同的数学问题就形成了不同的数学思维规律。可以认为，数学问题对数学思维的启动，导向，展开都起着决定性的作用。注重数学问题在教学中的作用，有着十分重要的意义。从数学问题解决的角度分析，数学思维总是指向问题的分析，问题的变换和问题的最后解决。在这一点上可以认为数学思维与数学问题解决是密不可分的。我们还可以把数学思维简单的分为具体实践问题的数学化思维和具体数学问题的解题思维。前者是应用数学中数学家们要进行的数学思维，后者则是数学教育尤其是初等数学教育中常见的数学思维。下面举一个高中数学中具体数学问题解决的数学思维的一个例子，它表明了数学思维在数学问题解决中的变换。例 已知 a,b,m ∈R+,且a>b,求证：（a+m）/(b+m) < a/b解题思路（1）：由于待证式中的字母均为正数，容易看出，它等价于更简单的下述问题变换为： 已知a,b,m ∈R+,且a>b,求证：（a+m）b < (b+m)a解题思路（2）：待证式还等价于（a+m）/(b+m) - a/b < 0,因此它就变换为更加开放的下述问题变换为：已知a>b>0,且m>0,比较 （a+m）/(b+m)于 a/b的大小解题思路（3）由待证式（a+m）/(b+m) < a/b 的两边取倒数，则有(b+m)/(a+m)>b/a。故原问题又等价于下述问题变换为：已知a>b>0,且m>0, 求证(b+m)/(a+m)>b/a解题思路(4)若把待证式稍加变换为 （a+m）/(b+m) < (a+0)/(b+0), 则可更一般化的进一步变换成（a+x2）/(b+x2) < (a+x1)/(b+x1),其中a>b>0,x2>x1>=0，则原问题的较强命题就是下述问题变换为：已知a>b>0,，证明函数f(x)=(a+x)/(b+x)在[0,+∞）内是严格单调的减函数。它的证明较简单，只需在x2>x1》=0的情况下，验算f(x2)-f(x1)=（a+x2）/(b+x2)-（a+x1）/(b+x1)= -（a-b）(x2-x1)/(b+x2)(b+x1)<0即可。2. 数学思维的特征数学思维的特征重要表现在它的高度抽象性，形式化的严谨性和表现方式的多样性。数学思维的高度抽象性，是指在数学思维的过程中把思维对象的某些现实的属性舍弃，把思维的对象抽象化为一定的数量关系，空间形式或逻辑关系，然后再把这些特定的数学关系表示成为一般的符号形式。数学思维的抽象性，还指它不仅仅停留再一次抽象的基础上，通常的数学符号形式可能经过多次的抽象。有时由于数学问题本身就已经抽象化了，因此这种思维过程更属于高度抽象化的形式。于人类的所有思维形式相比，这种完全认为创造的符号化的数学语言，是数学思维高度抽象化的基础。数学思维形式化的严谨性，是指数学思维发生，发展和表述的过程，是一种形式化的严密过程。这种过程的逻辑性，严密性，准确性不容许又一丝差错，不允许有对与错之间的状态。正是数学思维的这种形式化的严谨性，使数学成为人类所有科学形式的最终表达手段。数学思维表现的多样性，是指在数学思维的过程中，尤其在解决具体数学问题时数学思维并不是严格的逻辑演绎，并不都是三段论式的证明形式，这些只是数学思维最后的表现形式。隐藏在这些抽象，严谨形式之下的是在数学思维中出现的猜测，试错，想象，着觉，审美等思维形式。这种数学思维的多样性特征，不仅表现在数学家处理，解决数学问题的思维特征上，而且表现在普通人的数学思维活动中。现在数学教育理论的研究表明，数学思维的非逻辑演绎的多样化思维在中小学的数学活动中也是十分重要的，数学作为一种自由创新的学科，它的猜测，试错，想象，着觉，审美等思维形式有时比逻辑演绎和公理化数学思维更重要。二．数学思维方法数学思维方法是由数学的符号，概念，语言，按照数学特定的规律，法则，运用数学思维在数学领域中形成的一种方法。数学思维方法具有一般科学的方法论的特征，当然作为特定的数学形式，它又有着自身的特殊形式。按照数学思维方法运用的领域，表现形式不同，可以将数学思维方法做如下几种形式的分类。（一）按照数学思维方法适用的范围不同，可以把它分为宏观思维方法和微观思维方法宏观数学思维方法，也称基本或重大的数学思维方法，是指对整个数学领域都产生重大影响的数学思维方法，如公理化思维方法，变量分析的思维方法等。这些思维方法曾极大地推动了整个数学的发展。当然这些思维方法又和哲学思想及科学思想的一般方法相联系。微观数学思维方法，是指对某个数学分支发挥作用或由某些数学家群体使用的数学思维方法，如代数的一些思维方法，几何学的一些思维方法等。微观数学思维方法中还包括数学问题解决或数学问题发现的一些具体的思维方法。（二）按照数学思维的逻辑形式不同，可以把它分为逻辑思维方法和非逻辑思维方法数学思维的逻辑思维方法，主要是指按照形式逻辑的方式展开数学思维的方法。数学的定理证明及理论构造都是严格按照形式逻辑的思维方式展开和构成的，可以说数学的结果都是按照形式逻辑来表现的。数学思维的非逻辑思维方法，是指在数学思维中运用的猜想，直觉，灵感，形象等思维方式。这些思维形式经常地，大量地出现在解决数学问题之中，在现代的数学教育理论中，人们越来越认识到非逻辑思维在数学学习和数学教育中的地位。（三）按照数学思维解决问题的方式不同，可以把它分为程式化思维方法和发现性思维方法数学的程式化思维方法，是指按照数学习惯的，原有的方式来解决问题。在数学学习和解决问题中这种方式表现为规范的逻辑演绎方式。数学的发现性思维方法，也可以称之为创新性思维方法。这种思维方式的特点是它不遵循程式化的逻辑演绎的数学思维方式，而选择带有个人特性，主观色彩，独立特性的思维方式。现代数学教育理论十分注重这种与传统数学思维相区别的发现式思维方式。（四）按照数学教育的阶段或数学分支领域的不同，可以将其分为不同的带有专业特征的思维方法如按数学分支的差异，我们可以分为几何思维方法，代数思维方法，微积分的思维方法，概率统计的思维方法等。尽管现代数学的发展使某些数学分支之间的界线有些模糊，但对于初等数学或一般高等数学阶段的学习而言，不同数学分支的数学思维方法都由起自身的明显特征。对初等数学的学习而言，集合对应的思维方法，公理化结构的思维方法，空间形式的思维方法，变量与函数的思维方法等都是具有初等数学特征的一些思维方法。对于小学数学教育而言，数学教师应当更加自觉的掌握和运用具有小学数学特征的思维方式，以便使自己的数学教学更符合小学的思维阶段性特征。（五）在学习某个数学分支的数学思维中，我们还可以把数学思维分成不同的思维方法这主要包括：建立数学概念的思维方法；解决数学问题的思维方法；论证表述数学命题的思维方法；构建数学理论体系的思维方法/在数学的发展历史中，笛卡尔创立解析几何的过程可以为我们学习，考察数学思维方法提供一个很好的例证。笛卡尔是人类文化史中的一位伟大学者，被公认为是接触的近代哲学家，是第一流的物理学家，是近代生物的奠基人，同时他还是解析几何的创立者之一（另一位是费马）。笛卡尔创立解析几何的思维方法，可以看作是数学中重大的思维方法。笛卡尔在创立解析几何时是这样思考的：任何问题→数学问题→代数问题→方程求解。这里的思维方式实际上代表了笛卡尔的哲学思想，尽管这种方法没有最终实现，但正是这种重大的与当时传统方法不同的思维方式，使笛卡尔创立了一种几何与代数相结合的道路。作为一种具体的思维方法，笛卡尔把代数与几何相结合，尤其在当时的历史背景中突出了代数的重要地位。它使当时的人们能够认识到，在几何形式上互不相关的问题，可以用代数的方法归为一类。线性代数中的二次型就是利用代数的方法讨论二次曲线，二次曲面的分类。同时，作为一种微观的数学思维方法，笛卡尔开创的代数与几何相结合的思维方式，已经成为我们今天解析几何教学中必须遵循的一种思维方法。例如，在解析几何中讨论空间坐标系，曲面上点的性质与坐标系中方程的关系时，都要明确指出：曲面上点的性质可用点的坐标x,y,z之间的关系式F(x,y,z)=0表示；同时每一个方程F(x,y,z)=0都表示空间的一个曲面。方程与曲面的一一对应的思维方式已经成为解析几何学习，研究和教学的一个基本的思维方式。

为进一步提升全市初中数学教师的教研教学水平，提高教育教学质量，3月30日，市教育局教研室联合杭州“开课啦教育”，在廊坊市第四中学举办了基于中考评价初中数学课堂教学研究专题公益培训。来自全市各县（市、区）的教研员、兼职教研员和骨干教师235人参加了本次活动。活动当天，杭州市富阳区教育发展研究中心副主任应佳成作了题为《评价的视角对数学命题的一些思考》的主题讲座。应佳成从评价的角度出发，从多个方面对数学命题思路和原则进行了深度讲解，阐释了科学的评价体系是教学工作的重要保证，数学命题研究是评价体系中的重要内容。杭州市滨江区教育研究院苏建强院长分享了《基于学习立场的教学设计与实践》，阐明深度学习和学习发生的关系，强调在教学实践中感受学习发生，倡导要从“教学”走向“教育”。本次培训得到了参会老师的高度认可，达到了预期的效果。【来源：《廊坊日报》】声明：转载此文是出于传递更多信息之目的。若有来源标注错误或侵犯了您的合法权益，请作者持权属证明与本网联系，我们将及时更正、删除，谢谢。 邮箱地址：newmedia@xxcb.cn

琳琳快上幼儿园之前，在休息的时间和同事们闲聊了起来，聊到了给孩子做数学启蒙，结果一个同事给我出了个“怪招”，让我每天都带着琳琳爬楼梯，从1楼爬到10楼，再从10楼爬下来，回家后我就带着琳琳尝试了一下，在爬楼梯的过程中，每到一个楼层，孩子就会看到上面相对应的数字，比如说：1、2、3、4......一直到10，孩子对这些感到很好奇，因为每次都是带着孩子坐电梯，这是孩子从没有发现过的，看到数字的变化，孩子更觉得有趣了。下班和孩子一起爬楼梯给我累得不行了，但是琳琳居然求着我要求再跑一次！结果每天都会带着琳琳跑，看见数字了我也会告诉琳琳，没想到才短短的5天时间，孩子把1-10已经倒背如流了，数学就在我们身边，我们能够透视出每一种数学算式背后的“生命”，让数学也变得有血有肉，这实在是帮助了我，我教孩子学习数学也产生了极大的动力！我渐渐的把孩子带领到学数学当中，我可以把家里吃的、用的、玩的都拿出来教琳琳学习数字，让孩子的数学启蒙不会那么枯燥，各位家长也学一学吧！1. 数字之旅当你带着孩子去逛街的时候、或者是全家人一起出去旅游，这个时候我们可以教孩子了解一下　道路上的指示牌、店铺里面的招牌和广告牌，当孩子看到后，我们让孩子从中找到数字，并大声的读出来，这样孩子记得就会更加清楚，帮助孩子提前去学习，这样孩子以后上了幼儿园就不用再去担心孩子是不是跟不上这一类的问题了，当和孩子去超市买菜排队的时候，我们可以让孩子数一数队伍里有多少人，我们排在第几个，回家爬楼梯看见数字的时候也要记得让孩子大声读出来！2. 厨房中的数学我们可以给孩子准备个小菜谱，让孩子每天挑选一道自己喜欢吃的菜，但是必须要让孩子和我们一起来做，我们事先准备好孩子要用的食材，我们可以让孩子剥五瓣蒜，在面粉里放三勺糖和两勺盐......这样孩子不仅可以学着去做饭，而且还可以简单的去学习数字与量之间的含义，听着妈妈说的数字自己去操作适合的分量。3. 归类游戏我们可以把家里的水果拿出来，混在一起，让宝宝根据相同的类型来进行分类，再数一数每一类里都有几个和颜色，这样引导孩子数数，让孩子得出答案，比如说：黄色的香蕉有3个、绿色的苹果有1个、橙色的橘子有1个、红色的樱桃有5个......藏在绘本中的数学游戏大家都知道，德国人更注重孩子的早期启蒙，其实，早在1998年的时候，德国就有研究提出：1-6岁之间的孩子们的数学概念启蒙会直接的影响到孩子们以后学习数学的成绩。在德国人的眼里，数学启蒙就和其他早期启蒙一样，都是要融入生活的，让孩子对数学感兴趣再去学习，而不是逼着孩子去学习。所以，德国人就设计了很多的关于数学启蒙的书籍，但是书籍对于孩子们来说往往是不感兴趣的，直到出了好奇狗陪你学系列《数学启蒙游戏》，这是一套绘本，这套绘本也是同事们推荐给我的。这种关于启蒙孩子的绘本身边人给我推荐的真的不少，但是每一套我都有仔细查阅，相比之前那么多，这套我是真心爱了，这套绘本在德国畅销了30年，网上评分也很高，真的是很火，结果我也蹭热度给我家琳琳购买了一套。作为经常网购的宝妈，我每次买东西也都是要看评论的，因为我觉得买家的评论也是最真实的，结果，果然没有让我失望，话不多说，直接上图。这套书一共包含了20册，差不多每一本里能有30页左右，对于学龄前的孩子来说真的是太有用了，我给我家琳琳看这套绘本的时候，琳琳就被这套绘本吸引住了，这套绘本专门针对于不同学习阶段的孩子，所以分了很多册不同难度的。这些绘本里还设置了500道启蒙数学的游戏题，刚开始琳琳玩的游戏题对于琳琳来说是正合适她数学水平的，才四天琳琳就已经做完一本了，再往后对于琳琳来说就有一点挑战性了，我就会在旁边跟着琳琳一起去思考去学习。之后了解到，原来好奇狗不只是这套绘本的品牌，原来好奇狗是在绘本中真实存在的，这套绘本中的主人公就是好奇狗，好奇狗充当了孩子们的老师，带领孩子们走进数学王国，一步一步的指导孩子破解一道一道的难题，难怪我家琳琳这么喜欢这套书，而且玩的这么上瘾呀！这套绘本里面还有一些连线、滑雪场找不同的小游戏，这些游戏不仅仅可以帮助孩子们学习数学，还可以帮助孩子提升专注力，专注力的提升，对于孩子们往后的学习也是一大受益处。而且这套书里还赠送了300张小贴纸，当我家琳琳每次闯过去一道游戏题时，我就奖励她一个，这样孩子不仅可以体会到学习数学时的乐趣还可以得到相应的奖励，我家琳琳真的是开心坏了，这么好的一个学习“法宝”，我怎么能不推荐给我的粉丝朋友们呢，快用简单的方式来帮助孩子们启蒙数学吧~~对此给孩子启蒙数学的方法你有什么好的建议吗？欢迎下方评论区留言，提出你的建议，让我们一起商讨！喜欢这篇文章的朋友们请转发和点赞，关注文化育儿逸事，让你在育儿的道路上少走弯路~~

如果您已经入职成为了一名中学数学老师，那么做研究，发论文，也许是一条非常适合你走的路。那么中学数学老师们，可以从哪些方面入手研究呢？课堂教学设计研究，一般以设计的师生对话的方式，研究，并阐述设计的目的和方法命题、解题方法研究对一些高考真题，模拟题，一些题目的研究和变式教材内容的推陈出新，教材内容的处理方式的经验介绍对培养数学的某种能力，研究具体的训练方法比如运算能力如何分解培养，一步步加强空间想象能力，如何分解培养逻辑思维能力，如何分解目标，一步步达到完善的教学效果此方面的研究还比较少，值得广大青年爱好者去认真探索。对于数学教学中涉及到的心理学知识探索，如何利用心理学的理论武器去提高学生的数学能力教育技术分享，使用数学教学软件，画图软件，公式编辑软件等，提高教学效率教育经验推广方面，如何做试验，分析数据，整理数据，论证新的教学方法比传统方法更好STEM,跨学科视角下的，数学与其他学科融合在一起，多学科融合的教学模式高考数学考试的考察目标，命题的流程和方法高考数学考试成绩分析，数学考试与社会整体的联动作用介绍国外优秀的教学经验和方法介绍国外优秀的数学教材，并与国内教材横向比较

根据《关于组织申报广东省教育研究院中小学数学教学研究专项课题的函》，本院组织中小学数学教学研究专项课题申报、评审工作。全省各地共报送209项，经专家评审，拟立项150项。现将拟立项课题予以公示。公示时间为2020年1月8日—1月14日共7天，任何单位或者个人对拟立项课题有异议，请于公示期内向广东省教育研究院反映。详见如下 附件：广东省教育研究院中小学数学教学研究专项课题拟立项课题一览表