数学分析考研讲义

【导语】西安电子科技大学数学与统计学院601数学分析考研全套资料已发布，现分享给大家。本学习资料共分为6个部分，内容全面丰富。对于考研来说，考研的试题最有研究价值的备考资料，因此首先通过西安电子科技大学历年来的考研试题进行汇编整理，帮助广大考生朋友有针对性、有重点的掌握专业课考试的侧重考点、核心知识点，总结命题规律和特点；结合指定的参考教材的重难点笔记、配套练习题库等来帮助全方位地吃透教材，配合视频网课的精讲来帮助进一步记忆、理解、吸收课本核心考点；最后根据结合本校出题特点汇集了其他兄弟名校的考研试题，从而帮助做到举一反三，在考前冲刺阶段提高实战能力。内容简介及说明：本全套共包括6部分内容共计15种电子书。1．历年考研汇编西安电子科技大学数学与统计学院601数学分析历年考研汇编2．指定教材笔记、课后习题和名校考研详解欧阳光中《数学分析》笔记和考研真解华东师范大学数学系《数学分析》（第4版）（上册）笔记和课后习题详解华东师范大学数学系《数学分析》（第4版）（下册）笔记和课后习题详解陈纪修《数学分析》（第2版）（上册）笔记和课后习题详解陈纪修《数学分析》（第2版）（下册）笔记和课后习题详解3．指定教材配套题库欧阳光中《数学分析》（上册）配套题库欧阳光中《数学分析》（下册）配套题库华东师范大学数学系《数学分析》（第4版）（上册）配套题库华东师范大学数学系《数学分析》（第4版）（下册）配套题库陈纪修《数学分析》（第2版）（上册）配套题库陈纪修《数学分析》（第2版）（下册）配套题库4．指定教材视频讲解【视频】华东师范大学数学系《数学分析》（第4版）（上、下册）【教材精讲＋考研解析】讲义与视频课程【视频】5．考点归纳与典型题含考研详解2021年数学分析考点归纳与典型题含考研详解6．名校考研全国名校数学分析考研汇编学习内容试读2013年西安电子科技大学601数学分析考研更多考研全套、资格考试、大学课程等考试学习干货分享来源于学爽学习网，转载请注明~

这是最后一份北京大学数学分析试题及解答，至此，网上流传的北京大学数学分析试题的解答均已完成，虽然我尽力把这些解答写得准确一点，但是其中可能还是有错误，大家阅读的时候不能盲目相信解答，如果有发现错误，也请告知我。有不少人问到教材及习题集的事情，我就在这里统一说下。数学分析教材我目前最喜欢的是Rudin的那本，但是它不适合用作考研复习用的教材。我还看过的张筑生的《数学分析新讲》和陈纪修等人编的《数学分析》，张的书写得比较详细，而陈的书给我的感觉是简洁明快，各有特色，我以前更喜欢陈的书一点，不过我建议考北大还是用北大现在给本科生上数学分析课用的教材。习题集我做过林源渠、方企勤编的《数学分析解题指南》，那本书上有北京大学很久以前的数学分析考研题，上面的题都是比较经典的，但是不太全面，有些重要的题目放在练习题里面又没有给解答，我不推荐这本书。谢惠民等人写的《数学分析习题课讲义》想必大家都有所耳闻，但是里面小错误比较多，现在应该已经出了第二版，如果要买，建议买新版，那本书里吸取不少其他书里的东西，我觉得它上面有不少题是取自林源渠、方企勤编的《数学分析解题指南》，陈纪修等人编的《数学分析》，还有裴礼文的《数学分析中的典型问题与方法》，有几个定理连同证明是取自Rudin书上的，总之应该是参考了不少书，但是最大的不足是书上绝大多数题目没有详解，这对新手是很不友好的，因此我不推荐。我觉得裴礼文的那本书倒是可以翻翻，那是专门为考研的同学而写的，书上收录了不少学校的考研题，题目很多很全，只是把书弄得那么厚一点都不方便翻阅。其他的习题书我没有看过，不好评价，可能周民强的《数学分析习题课演练》也不错，曾经有人说谢惠民上面的不少题都能在那上面找到答案。其他的不多说了，我们看今天的主角吧试题部分的LaTeX源码由一位同学友情提供

考研真题精选一、判断题1数列{an}收敛的充要条件是对任意ε＞0，存在正整数N，使得当n＞N时，恒有｜a2n－an｜＜ε。（）[华东师范大学2008年研]【答案】错查看答案【解析】可举反例加以证明：设数列{an}收敛，则对任意ε＞0，存在正整数N，使得当n＞N时，恒有｜a2n－an｜＜ε。反之不真，例如设显然有但{an}发散。2对任意给定的x0∈R，任意给定的严格增加正整数列nk，k＝1，2，…，存在定义在R上的函数f（x）使得f（k）（x0）表示f（x）在点x0处的k阶导数）。（）[华东师范大学2008年研]【答案】对查看答案【解析】例如函数f（x）＝（x－x0）n就满足条件。3设f（x）在[a，b]上连续，且，则f（x）在[a，b]上有零点。（）[华东师范大学2008年研]【解析】因为f（x）在[a，b]上连续，所以存在ξ∈（a，b），使得即f（x）在（a，b）内有零点。4对数列{an}和若{Sn}是有界数列，则{an}是有界数列。（）[北京大学研]【解析】设｜Sn｜＜M，则｜an｜＝｜Sn－Sn－1｜≤2M。1设级数收敛，则收敛。[华东师范大学2008年研]【解析】设bn＝1/n，则{bn}单调有界；收敛，由Abel判别法，知收敛，或者设bn＝1/n，则{bn}单调递减趋于0，收敛，有界，由Dirichlet判别法，知收敛。2设f（x，y）在（x0，y0）的某个邻域内有定义且则f（x，y）在（x0，y0）处连续。（）[华东师范大学2008年研]【解析】反例设但是即是否为0还要取决于θ的值，所以f（x，y）在点（0，0）处不连续。麻烦大家关注+点赞，谢谢！！考研真题、考资格证、考试题库就选才聪学习网

天津大学数学专业考研成功经验分享一、考研择校本科就读于一所双非一本院校，专业是数学与应用数学。大学四年的学习成绩还不错，属于保研边缘的学生，在经历了夏令营包括一些特殊的事情之后才自己考研，所以我的考研备考时间可能比一般人要短暂，压力也巨大，但最终还是挺了过来，也是对自己四年大学生活的一个交代。在院校的选择方面，我并没有做太多的了解工作，主要因为时间不是很充足，不想浪费过多的经历在选择院校，只是想考个不错的985，并且对于数学学硕来书，初试考查的科目基本一样，就是数学分析和高等代数。9月份的时候才开始选择学校，在看了所有很多学校的真题包括身边同学的建议之后，并没有提到天津大学。一开始在计划中的目标是东南大学、中南大学等，后期选择天津大学是因为看了它的真题感觉不是很难，并且好像不是很火爆的学校。在备考的过程中，曾多次想要崩溃，因为看到身边的同学已经利用了上个学期复习完一遍基础知识，可是我的进度几乎为零，但是也不知道为什么我从未想过要放弃，在正式报名结束之后，我看到考研群里很多同学都说今年天大数学爆满，当时真的快撑不住了，感觉考上基本不太可能，后来在家人的鼓励下和自己不放弃的精神下还是在今年复试线比往常年高了78分的基础上上岸。现在的我都佩服自己当时的不放弃，可能就是遵从内心的想法毫不妥协的走下去吧。二、关于天大数学学院天津大学数学学院2016年从理学院的基础上与天大应用数学中心合并独立成数学学院，硕士招生大方向主要分为：基础数学、应用数学、计算数学、概率论与数理统计、运筹学与控制论。天津应用数学中心是首批建设的13个国家应用数学中心之一。近几年来发展迅速，所以天大数学专业的实力可谓强劲。对招生人数，近几年一般总数62，保研20人，统考42人，不区分研究方向，是按大类招生，复试成绩出来之后可联系自己意向方向的导师。2018年复试线320分、2019年300分、2020年378分，比往常年高出很多，可以说天大数学在2020年的报考人数之多。报考天大还需计算仔细认真，做好对手强大又多的准备。三、考研初试复习经验公共课是政治和英语一。政治一定不能忽视选择题，俗话说得选择题者得天下，前期主要看视频，做题掌握基础知识，后期就做模拟试卷的选择题，前期基础不牢固，后期很难得很高的分数。在英语备考上，由于我的英语基础本身比较好，所以没系统的背单词，而是从真题入手，揣摩真题套路，答题节奏，挑出真题中不会的单词记住。对于专业课科目题型来说：1.数学分析：近十年的真题数学分析的题型没变过，前十道是填空题，然后是大题，分为计算题和证明题。2.高等代数：近十年的真题中之前有填空题，从2015年开始取消填空题了，只有计算题和证明题。天大计算题计算量很大，很容易算错，而且题型不固定。基础阶段：《数学分析》上下册华师大第四版和《高等代数》北大版，一定要把课本的基础知识学会，打好基础，复习课本基础知识，课本的定理定义都要理解透彻。基础不好可以看一些视频可以理解，课本上的题目一定要动手做，做好笔记。否则后期做辅导书更是进度慢还错误率高。复习完一遍课本之后继续用本科教材或者天大本科使用的《数学分析讲义》和天大田代军老师的《新编线性代数》（此书不错，里面有很多巧妙的知识点）作为补充。对于后期的辅导书我采用的李傅山老师的《数学分析中的问题与方法》、王利广老师的《高等代数中的典型问题与方法》，其实辅导书都大同小异，知识点还是那些，主要靠自己总结归类，打开做题思路。后两个月，做近十几年的真题，每次做都当成正式考试，用时包括得分、研究出题规律、新题型以及从未出现的知识点要记录号。考研前夕，要回顾真题，把心态放好，主要以课本基础知识为主，看公式，看错题，这时候切忌不要再最难题和偏题了，基础和心态是最重要的。对于数学学硕来说，考查的科目通常是数学分析和高等代数，教材也基本一样，这种情况下考察的就是学的是否扎实、是否全面、是否能就静下心来好好复习，每年都会有难题和拔高题，但绝不会很多，这些题也不足以拉开差距，真正拉开差距的是基础题。四、关于复试准备2020年的复试，由于疫情的影响采取的是线上复试，并且取消了笔试。和往年的差异较大，但是除了笔试考察的内容删去之后，面试考查的内容反而全面综合。2019年复试线为300分，过复试线的有45人，复试之后按照加权成绩录取42人，天大的复试机制可以说是非常公平，不会说过线的45人就全部都要了。2020年复试线是300分，按照1：1.2进复试，57人进入复试，最终录取47人。其中近几年一直收60人左右，去掉保研的人数，就是要招收的统考的人数，近4年来没有太大的变化。2020年的复试科目为《复变函数》、《实变函数》、《近世代数》、《偏微分方程》、《微分几何》、《点集拓扑》、《概率论基础》、《数值分析》、《组合数学》和《离散数学》一共十本书，可以说是全国虽有高校考查科目数量最多之一了。但是官网没有指定参考书目，其实也没事，一般采用本科学的教材就大同小异，数学的知识点基本差不多，掌握即可，官网给出科目和简单的大纲作为参考。复试时面试的问题不是很基础，天大的老师问的问题一般比较扩展，包括我前期与同学讨论和后期复试结束之后的交流中发现面试问题基本与课本的基础知识无关，更多是发散思维，拓展到课本以外的，且深刻考查对定义定理的理解，通常靠死记硬背定义定理的同学很难在复试中取得很高的分数。其次是综合素质考查和英语问答。英语问答一般就一个问题，就是常见的话题，多练习准备就几个就不会有太大的问题，综合素质的考查是根据提提前做好的PPT来提问，比如竞赛科研经历等等。之后的复试加进去笔试才是最重要的，但是面试的问题切记不可忽视，一定要基础扎实，理解透彻。老师看重的是学生的真正的数学功底以及理解，并不是学的多但是不精，所以只要牢固的打好基础，按部就班就可以取得好分数。五、最后鸡汤在考研的途中，肯定会遭受别人的质疑，但一定要听从自己内心的决定，人最大的敌人是自己。备考的日子虽然很漫长且痛苦，但是每每想到收到录取通知书的那一刻就会充满无限动力。希望各位学弟学妹能圆梦北洋，我在天大等你们。（本文来源于公众号“上海考研集训营”，相关考研资讯可前往查看）

本文是通过在网络上搜集信息、整理完成，按照数学专业不同学科，筛选出了一些广泛使用、经典著名的书籍，其中每个学科按照教材、习题集、辅导处以及提高和拓展分层罗列。建议需要的数学老师或同学，可以在图书馆查阅，挑选部分适合自己的阅读参考。数学分析数学分析是数学专业的专业基础课，也是硕士研究生入学的必考科目，选择一本优秀的教材或辅导书，会是一个良好的开端。国内教材常庚哲，史济怀《数学分析教程》，适合信息与计算专业学生；徐森林，薛春华《数学分析》华罗庚《高等数学引论》，可作为课外阅读华东师范大学数学系《数学分析》，师范类使用最多的一本书；张筑生《数学分析新讲》：深入浅出，通俗易懂，具有新观点；李成章，黄玉民《数学分析》：实数完备性叙述全面；欧阳光中，朱学炎，金福临，陈传璋《数学分析》：普通高等教育“十一五”国家级规划教材；常用考研指定教材国外教材菲赫金哥尔茨《微积分学教程》和《数学分析原理》，一本大部头的名著，不适合初学者Rudin《数学分析原理》，需要一定的基础，书不厚，但有难度卓里奇《数学分析》阿黑波夫，萨多夫尼奇，丘巴里阔夫《数学分析讲义》Zorich《数学分析》，经典的英文教材，难度较大Apostol《数学分析》，一本受西方学术界、教育界广泛推崇，并被很多知名大学作为教材库朗、约翰《微积分和数学分析引论》，经典的、内容丰富的美国数学分析书习题集吉米多维奇《吉米多维奇数学分析习题集》，最好选择精选本，很多题过于简单林元渠、方企勤《数学分析习题课教材》、《数学分析解题指南》、《数学分析习题集》裴礼文《数学分析中的典型问题与方法》：收录了丰富的考研和竞赛的题目，难度不小，适合数学系考研参考使用辅导书辛钦《数学分析八讲》胡适耕、姚云飞《数学分析：定理·问题·方法》，富有启发性胡适耕、张显文《数学分析原理与方法》邓乐斌《数学分析的理论、方法与技巧》，值得一看谢惠民《数学分析习题课讲义》，适合考研的学生提高徐利治《数学分析的方法及例题选讲：分析学的思想、方法与技巧》G·Polya(波利亚)、G·Szego《数学分析中的问题和定理》汪林《数学分析问题研究与评注》狄多捏《现代分析基础》，涵盖了泛函和实变的内容丘成桐《高等微积分》，介绍的是流形上的微积分高等代数高等代数是数学专业的另一门专业基础课，是学习后续课程的基础。国内教材北京大学数学系代数与几何教研室代数小组《高等代数》，国内各大学尤其综合大学数学系广泛采用的教材，也是各大学的考研指定参考书姚慕生、吴泉水《高等代数学》，几何直观与代数方法结合，易于理解张禾端、郝鈵新《高等代数》，师范大学数学系广泛采用丘维生《高等代数》国外教材，科斯特利金《代数学引论》，与菲赫金哥尔茨的《微积分学教程》齐名的又一苏联伟大的著作辅导书胡适耕、刘先忠《高等代数：定理·问题·方法》杨子胥《高等代数习题解》或《高等代数精选题解》，有丰富的题目和解题技巧，具有启发性许甫华、张贤科《高等代数解题方法》，强烈推荐提高Greub《Linear Algebra》甘特马赫尔著，柯召译《矩阵论》，矩阵研究方面的权威著作许以超《线性代数与矩阵论》，一本有难度的好书叶明训《线性空间引论》邱森、朱林生《高等代数探究性课题》，具有启发性，可开拓思维解析几何教材吕根林、许子道《解析几何》丘维声《解析几何》尤承业《解析几何》习题集，巴赫瓦洛夫《解析几何习题集》辅导书苏联科学院院士狄隆涅《(解析)几何学》慕斯海里什维利《解析几何学教程》吴光磊《解析几何简明教程》提高向武义《向武义基础数学讲义·向量几何，解析几何，球面几何》概率论教材汪仁官《概率论引论》李贤平《概率论基础》，适合初学者陈希孺《概率论与数理统计》，强烈推荐陈家鼎、郑忠国《概率与统计》，强烈推荐盛骤、谢式千、潘承义《概率论与数理统计》，浙江大学精品教材杨振明《概率论》钟开来《概率论教程》提高程士宏《测度论与概率论基础》严土建、刘秀芳《概率论基础》汪嘉冈《现代概率论基础》拉普拉斯《分析概率论》威廉·费勒《概率论及其应用》，经典教材姚孟臣《概率论与数理统计讲义·提高篇》张德然《概率论思维论》朱春浩《概率论思想方法的历史研究》运怀立《概率论的思想与方法》常微分方程国内教材丁同仁、李承志《常微分方程教程》，国内较优秀的常微分方程教材王高雄《常微分方程》，广泛使用钱伟长《常微分方程的理论及其解法》，内容丰富国外教材庞特里亚金《常微分方程》Arnol'd(阿诺尔德)《常微分方程》彼得洛夫斯基《常微分方程讲义》辅导书朱思铭《常微分方程学习辅导与习题解答》孙清华、李金兰、孙昊《常微分方程内容、方法与技巧》提高阿诺尔德《常微分方程续论：常微分方程的几何方法》，非常的深奥Hirsh、Amale《微分方程，线性代数和动力系统》卡姆克《常微分方程手册》偏微分方程教材丘成桐《基础偏微分方程》，内容详细华中师范大学《偏微分方程教程》Evans《偏微分方程》，经典教材管志成、李俊杰《常微分方程与偏微分方程》复变函数教材龚升《简明复分析》，国内数学系广泛使用钟玉泉《复变函数》，同样是广泛使用的教材余家荣《复变函数》大连理工数学系《复变函数》习题集，沃尔克维斯《复变函数论习题集》提高普利瓦洛夫《复变函数引论》马库雪维奇《解析函数论》阿尔福斯《复分析》，最经典的复分析教材亨利·嘉当《解析函数引论》实变函数教材周民强夏道行、伍卓人、严绍宗、舒五昌《实变函数与泛函分析》江泽坚、吴志泉《实变函数》，适合初学者那汤松《实变函数论》习题集与辅导书胡适耕、刘金山《实变函数与泛函分析：定理·方法·问题》鄂强《实变函数论的定理与习题》孙清华、孙昊《实变函数内容、方法与技巧》提高汪林《实分析中的反例》泛函分析教材张恭庆《泛函分析讲义》夏道行《实变函数与泛函分析》，值得推荐郑维行《实变函数与泛函分析概要》郭大钧《实变函数与泛函分析》习题集与辅导书柯尔莫哥洛夫《函数论与泛函分析初步》，经典名著孙清华、孙昊《泛函分析疑难分析与解题方法》孙清华、候谦民、孙昊《泛函分析内容、方法与技巧》提高汪林《泛函分析中的反例》定光桂《泛函分析新讲》W·Rudin《Functional Analysis》高等几何教材梅向明《高等几何》罗崇善、庞朝阳、田玉屏《高等几何》周建伟《高等几何》微分几何教材梅向明、黄敬之《微分几何》陈维桓《微分几何初步》彭家贵《微分几何》周建伟《微分几何》苏步青、胡和生《微分几何》陈省身《微分几何》习题集与辅导书姜国英、黄宣国《微分几何100例》杨文茂、傅朝金、程新跃《微分几何习题集》利普希茨《微分几何理论与习题》梅向明、王汇淳《微分几何学习指导与习题选讲》提高苏步青《微分几何五讲》丘成桐、孙理察《微分几何讲义》拓扑学教材李元熹、张国《拓扑学》尤承业《基础拓扑学》，北京大学的教材辅导书熊金城《点集拓扑学讲义》J·L·Kelley《General Topology》习题集陈肇姜《点集拓扑学题解与反例》巴兹列夫《几何学与拓扑学习题集》提高R·Engelking《General Topology》Greenberg《Lectures on Algebraic Topology》巴尔佳斯基、叶福来莫维奇《拓扑学奇趣》M·A·Armstrong《基础拓扑学》近世代数教材冯克勤《近世代数引论》莫宗坚《代数学》熊全淹《近世代数》盛德成《近世代数》习题集，徐诚浩《抽象代数——方法导引》提高S·Lang《Algebra》E·Artin《伽罗华理论》离散数学王树禾《图论及其算法》Bondy、Murty《图论及其应用》耿素云、屈婉玲《离散数学》组合数学王天明《近代组合学》康庆德《组合学笔记》李乔《组合学讲义》，经典教材数值分析关治、陆金甫《数值分析基础》和《数值方法》李庆扬、王能超、易大义《数值分析》奚梅成《数值分析方法》林成森《数值计算方法》数学建模赵静、但琦《数学建模与数学实验》王文波《数学建模及其基础知识详解》韩中庚《数学建模方法及其应用》William P·Fox,Maurice D·Weir《数学建模》数学史

数学分析A100分、常微分方程99分大学物理A100分、大学物理B100分......这两张图片是小天在朋友圈看到的展示照片上面优秀的成绩单出自哪位同学呢？和小天一起看看数学学院2018级国奖“大佬”武文治怎样做！知不足而后内省，精益求精，务实奋进！业精于勤作为国家奖学金获得者，武文治学习成绩优秀，加权成绩第一学期：92.09；第二学期：92.80；第三学期：92.56；第四学期：94.82；总加权：93.00；排名专业第一。尤其在专业课程上成绩优秀，所有专业课成绩90+。在相关课程与专业选修上也表现优异，所有课程中总计有5门课程获得100分，综合测评也在数学与应用数学专业排名第一。武文治获得了多项奖项：第十一届全国大学生数学竞赛预赛（数学类A组） 一等奖第四届卓越联盟数学竞赛（数学类） 特等奖武田奖学金天津市市级优秀学生天津大学三好学生荣誉称号单项奖 学习优异先进个人第四届北洋杯数学竞赛 特等奖除了要求的课程外，武文治还积极参加竞赛活动，并取得了较好的成绩：参加第十一届全国大学生数学竞赛赛区赛（数学类A组），获得天津市第一名，且是天津大学数学类唯一进入天津市前10名的学生，获得一等奖并进入了决赛。他还以卓越联盟九校总体第一名的成绩在第四届卓越联盟数学竞赛（数学类）中获特等奖（86分），并且在第四届卓越联盟数学竞赛的校内预选赛中也是第一名。学有余力武文治参加两学期学院的学业辅导讲师团，分别讲解数学分析A、数学分析B两门课，每周为数学学院的同学进行学业辅导工作，在平时也认真回答参加学业辅导的同学的各种疑问。同时他参加了学院的每日一题学生团队，积极为同学提供良好题目。武文治在本年度的寒假参加了回访母校活动，回访母校张家口市第一中学，为学弟学妹宣讲、答疑，争取学弟学妹能考上天津大学。武文治回访母校武文治除了平时认真学习课内知识，还经常自行拓展知识，提高能力。一方面，他经常学习考研、竞赛的内容，巩固并大大加深了都知识的理解。另一方面，他经常预习后续课程，比如泛函分析、偏微分方程等，拓展视野并为以后打下基础。对于学习中具体遇到的问题，也经常与同学探讨。学海无涯缘起被问到为什么当初会选择数学专业时，武文治说：“因为自己更喜欢理论性强的学科，并且动手实验能力相对偏弱，觉得自己更适合学偏理论的学科。”的确如此，他在学习数学的道路上精益求精，成绩斐然。迷茫武文治在学习过程中也曾有过迷惘，他在学习高等代数、复变函数这些比较难的课程和准备竞赛的时候感到不知所措。后来分秒必争，踏实下心认真看丘维声的《高等代数》学习高代，反复体会历年竞赛真题。并且假期提前返校每天学习复变函数，投入更多时间，体会这些科目的方法并熟练知识点，最后融会贯通。学习经验专业学习武文治认为适合自己才是最好的，数学学习关键是要找几本适合自己的参考书，可以向往届学长求助，自己再看看哪本书更适合自己理解。武文治推荐了以下参考书：数学分析：《数学分析中的典型例题与方法》裴礼文《数学分析习题课讲义》谢惠民高等代数：《高等代数》丘维声复变函数：《复变函数》史济怀如果有的课程不好理解，可以先读对应的工科数学课程，学好了再回头去看数学类课程。温故知新武文治觉得复习很重要，但不仅要经常复习已学过的知识，而且学有余力时，要看一些与现在所了内容相关的深入知识，加深自己的理解，对于数学专业的学生，仅仅做题是不够的，要多体会数学的方法，争取举一反三。关于数竞对爱好数学或参与数学竞赛的同学，羞涩的武文治又有许多话要说，给出了十分实用的建议：对于竞赛，武文治建议首先要较好地掌握课内知识。武文治建议学习数学分析时，先做裴礼文的《数学分析中的典型例题与方法》和非数学类竞赛的书打好基础，再认真做历年真题，每次竞赛的方法有共同点，通过多做真题可以探索规律。高等代数建议看丘维声的《高等代数》和历年真题。解析几何只用看历年真题即可。成绩优异，荣誉满身，背后的付出更是无法想象他也曾迷茫，但更多是务实奋进生有涯而知无涯学海无涯，书山有路与君共勉！

读过他的《数分新讲》， 却第一次知道他的故事。 他是中国数学竞赛史上最玩命的“赌徒”， 为了国家荣誉， 不惜用生命换来了五次世界第一。他是北大历史上首位被授予博士学位的人， 深受癌症折磨的同时， 还带领中国学子连续五次站上世界顶端， 他就是张筑生。 梦想被疾病阻断1940年，张筑生出生于贵阳。2岁时，他患上了脑膜炎，尽管最后挺过来了，但小脑还是受到了无法修复的创伤。在读小学的时候，张筑生是一个喜欢动手搞各种小发明的孩子，五年级的他凭借一个小发明（一个能自行爬墙以及降落的小木头人）获得了全国少年儿童科技发明一等奖。 自此，所有人都称赞他是一个爱动手的小发明家，以后肯定大有作为，张筑生也梦想着长大以后要成为像爱迪生这样的大发明家。 不过，这个梦想很快就被突如其来的疾病给阻断了。1953年，13岁的张筑生不小心摔成了左手骨折，后来还引起了败血症，经过几次抢救，张筑生的性命终于保住。但是，他的左臂就此残废了，肌肉和神经都严重萎缩，只剩皮包骨，左手的手指再也无法动弹。 他的梦想也因此破灭，曾经幻想的一切都已经没有了意义。曾经喜欢动手发明，积极参与各种活动的他慢慢变得不想说话，只知道埋头学习，就这样慢慢成为了名副其实的“书呆子”。川大的那些年1959年，张筑生考入四川大学数学系。在川大读书的那几年，张筑生是学校公认的学习标兵，到处都流传着他的故事。比如说他坚持每天早起学习外语，专心到撞上电线杆；又如说他没有周末，专注学习每一天；他来川大这么多年，竟然没看过成川戏，也从没去过四川的著名景点。大二的时候，张筑生就跑去把大五的拓扑学给考了，并且还拿到了最高分。平时我们总是看到学霸在宿舍给同学们讲课的热搜，而张筑生毫无疑问也是这样的一个存在。 也许是在给同学们讲课的时候，张筑生发现当数学老师也是一个不错的选择，于是在1964年毕业之后，他选择了留校任教，并且一留就是14年。论文答辩现场北大第一位博士，证书编号001离开川大的张筑生，已经38岁，他报考了北大数学系研究生，并以第一名的成绩考进北大，师从廖山涛教授。 据说，那一年的考研，数学中有一道题由于出题人疏忽，导致了无解，而全国这么多考生中，唯有张筑生一个人指出了这道题有问题且无解。 最后，出题老师承认了疏忽，决定凡是做错这道题的，都不扣分，唯独张筑生获得了10分的加分。 当时，北大的教授们对张筑生都十分赞赏，说以张筑生的水平，他压根不需要来读研究生，直接就可以给研究生开课的了。 1982年，张筑生在他的硕士毕业论文里，就把美国数学家斯梅尔（Steven Smale）提出的“四大猜想”中的一个给干掉了。 答辩委员会也一致同意授予张筑生博士学位，张筑生就成为了中国第一位理学博士。 不过，由于当时的校长张龙翔比较谨慎，在第一年的时候并没有通过，以至于被其他院校抢了先。 而在第二年的时候，张龙翔校长专门为张筑生搞了一次隆重的博士论文答辩，在100多位教授、专家的见证下，张筑生完美完成答辩，成为了北大首位博士，编号001。 后来，在北大百年校庆的时候，张筑生编号001的博士证书被当做珍贵文物展出。而后，在数学大师陈省身的推荐下，张筑生去到普林斯顿大学留学，并于1986年学成回国。一生只写三本书回国后的张筑生担任了一项任务：讲基础课“数学分析”与“微分动力系统”，并致力于编写一套教材，以填补学术空白。张筑生花了5年时间，写成了共3册的《数学分析新讲》（至今都还是众多高校学生、老师、科技工作者常备的数学参考书）。2000年，这套书获得了教育部科学技术进步著作二等奖，而当年的一等奖是空缺的。 张筑生的导师廖山涛教授是一个鲜少表扬别人的人，但却对这套教材赞誉有加，他说：“有了这本书，一大批年青人就可以顺利地进入学科前沿”。 然而，就在完成这项任务不久后，张筑生就查出患了鼻咽癌，开始了长达12年放疗过程。 在所有人都在为他的生命担忧时，张筑生看着自己每况愈下的身体，也露出了一丝焦虑，他怕的不是癌，不是死，而是担心这样会影响数学研究，他担心这样他给学生们讲课的质量会下降。5个世界奥赛第一1995年，是张筑生被查出患鼻咽癌的第四年，他被任命为奥林匹克数学竞赛国家队主教练，主要负责带领中学生去参赛。张筑生翻阅了无数的资料，想方设法给这些中学生出一些同时具备新意、难度、有代表性的题目，给他们练习，给他们讲解。5年里，张筑生带领着中国的一帮数学尖子5次出征，从加拿大到阿根廷，连续5届获得团体总分第一，其中有3次是团队所有成员都获得了金牌。这样傲人的成绩，在世界范围内都是史无前例的。人生最后一次监考2001年9月，张筑生的身体已经虚弱到无法走路了，但他仍然不顾院领导的劝阻，想方设法去到学校上课，因为这是他一生最爱的事情，数学就是他的信仰。这样的日子，一直持续到2002年1月11日，这一天，是张筑生最后一次踏入教室。确切地说，是被抬进教室的，因为那时，张筑生已经完全失去方向感，但是，这一天，是他的微分拓扑学考试，他坚持要亲自监考。 在点完名，宣读完考纪之后，整整3个小时的监考时间，张筑生坐在讲台上，一动不动，宛若一尊雕像。 在结束这场考试之后，学生们的成绩跟评语很快就出来了，张筑生也倒下了，被紧急送往医院。 在医院里，张筑生回想起自己的一生：虽然手臂残疾，没能实现儿时的梦想；虽然没能留下更多的知识财富，只写了3本书（《微分动力系统原理》《数学分析新讲》《微分拓扑讲义》）；虽然在为海淀区教师上进修课的8年间，前6年分文未取，后2年也才拿到每月10元的补贴； 虽然直到最后也没能够评上博导…… 但是，他说他只是想踏踏实实做点事，他也努力做到了，于心无愧。 他最欣慰的就是学生们待他很好，“无论是北大旧有的学生，还是奥赛团的学生，常来看我，有的远在德国、澳大利亚，常打电话问候我。这世界上有人记得你，惦念你，这也就足矣。”这个世界上， 总有一些伟大的灵魂， 超乎常人的想象。 张筑生的故事， 和他的品格， 值得被所有人记住。来源：天下贵州人

一、专业目录二、参考书《数学分析》第二版上、下,陈纪修等, 高等教育出版社, 2004. 《简明数学分析》第二版,郇中丹等, 高等教育出版社， 2009.《数学分析》数学分析第3版(1-3册), 郑学安等编著, 北京师范大学出版社。《代数学基础》(上)，张英伯，王恺顺，北京师范大学出版社《高等代数学》第三版，姚慕生，吴泉水，谢启鸿。《空间解析几何》（第四版），高红铸，王敬庚，傅若男，北京师范大学出版社《解析几何》尤承业，北京大学出版社《解析几何》（第三版），丘维声，北京大学出版社《新祥旭714、812考研辅导班内部讲义》三、分数线四、专业课经验数分：大一大二时，我对老师的数学分析课很感兴趣，所以自认为学得比较认真，理解得也比较深刻。这虽然是我学得最认真的一门课，但也只仅限于完成平时的作业和完成期末的复习，并没有做很多额外的努力，这样四学期下来，对数学分析整体还是有个宏观的把握，比如说起微积分学基本定理，Dini定理，欧拉积分等都会有个大致的印象。不过对于数学比较困难的同学建议还是换个专业，除非真的对这个专业的喜爱，这样的话我就建议大家跟个班去学习，我推荐新祥旭考研一对一，因为我有学姐在那儿跟过，说还很不错，所以推荐给大家，但是具体的就得大家自己去问问了。9月份开始，我开始做教材的课后习题，顺便复习一下教材里面的定理。这时做课后题还是需要借助答案，然后发现原来教材后面的题目许多都是考研题，怪不得以前都不会做。这一轮复习到了10月中旬。11月，我开始看北师的考研数分真题，基本上用一个下午的时间大致做一年的数分真题，再看答案解析。到11月中下旬，差不多把数分的真题都研究透彻了。接下来就看得很杂了，比如其他各地的考研题、练习题、模拟五套卷什么的……因为在12月，英语政治的压力很大，就没有精力，也没有安静的心去好好看数分了。专业综合：专业综合分为高代和几何两部分。主要说说高代部分吧，因为我在大二学高等代数的时候，因为没数分的那种喜欢，所以一直使不上劲，上册的内容勉强学懂了，下册的内容在学的时候，到线性变换的时候完全就不懂（一点不谦虚）。虽然期末考得还好，但含水量极大。后来整个大三几乎就没碰过高代。后来开始做《高等代数考研教案》，每天做10页，觉得这本挺适合我，内容也很全。因为后来到了正定二次型和线性变换那边，本来基础就不好，边看边做，边跳边做，到8月底勉强把它做完，这时终于对整个高代内容有了大概的把握，因为把“ 矩阵”那章也做了，这章一般上课是不讲的，但考研还挺重要的。从9月份，就要开始看课本（真的是看课本，很多以前上课的时候都没看过，例如线性变换、 矩阵中的内容）。然后把课后习题做一遍，但补充题基本还是要借助答案。这样做到了10月中旬（国庆放了个假），这时开始又把《考研教案》里曾错过，曾不理解，或曾跳过的内容补上。到了11月，我开始看北师的考研高代真题，基本上用一个下午的时间大致做一年的高代真题，再看答案解析。到11月中下旬，差不多把高代的真题都研究透彻了。12月真的没有精力和动力了，所以就只能每天比较杂地看看课后补充题、各地真题、模拟五套卷和复习题等等。五、复试经验复试第一天一般是资格审查，然后第二天体检（一般是走过场），第三天专业笔试，第四天进行专业面试+英语测试，面试完一般第二天就能出结果。不过在北师，我当时是一天完成笔试+面试，审查和体检我是前一天完成的。具体的大家还得在学校官网看看。复试时需要注意的几点：1）对待复试的态度一定要认真！即：要认真准备才是！高分被刷的比比皆是！尤其是对于跨学校或者跨专业的学生，一定要小心应付。2）复试的主观性很强！一碗水端平的学校在地球上是找不到的！如果你是外校的，复试完掉个十几名甚至二十几名是很正常的.心态要平和些3）对于跨专业考的学生，老师一般都会在专业问题上刁难你，他要向你证明：我这个行业不是那么好进的，是很有内涵很有技术含量不是你花几个月的时间学一门专业课就能搞定的。所以建议恶补一下，或者跟班吧，毕竟是努力了一年的最后机会了，我推荐新祥旭一对一，因为我复习时讨经验的学姐就在那里授课，不但是初试，也包含复试，会教复试重点，真题和面试技巧和口语，所以有兴趣的同学可以一试。4）复试时一定要有礼貌，进去之后和出来之前一定向老师问好。老师再怎么打击你，千万不可跟老师争吵。5）在复试的时候如果遇到不会的题目（这是正常的）不要说“我不会”，然后在那里呆呆的站着！你可以说一些与这一问题相关的内容，要委婉一点！老师一般不会为难你的。6）复试时的气氛很重要！一定不要把气氛搞僵，老师都不大喜欢不善言谈的人7）其实老师都挺平易近人的，不要自己先把自己给吓住了！哈哈……8）考研复试里最重要的是面试，占的比例相当大，所以要重视。

数学教育是知识传递链。新的数学，特别是改变数学基本性质的新发现，对这个知识链的内容产生压力。Voevodsky 用拓扑学的同伦论建立了新的数学基础，这里对新知识在数学教育链传递的一些问题、建议和对英才数学教育的影响进行探讨。撰文| 黎景辉（首都师范大学数学科学学院讲座讲授）来源 | 和乐数学，原载于数学教育学报（2014 年 2 月 Vol.23, No.1）黎景辉1 引言小学中学大学数学教育是一个连在一起的有机体，变动任何一部分都会影响全身。可以把从小学到大学的数学教育看作一个知识传递链，也可以做个模型把这个知识传递链看作一根水管，数学知识就在这水管中流着。记得杨振宁先生的父亲杨武之教授说，民初中国大学数学系只是讲授三角、几何、二次方程。今日这些已是中学数学的标准课程。这就是研究者在这里所讲的：数学知识在这管里流着，以前是大学数学的内容，现在已经流到中学去了。同样，现在大学本科数学的主力课程是矩阵线性代数，欧拉-黎曼式微积分，微分方程是 19 世纪的数学，在 21 世纪是否可以把这些课程下移，是否可以在大学本科讲授多一些 20 世纪的数学呢？现代科技高速前进，新的数学和数学新的应用不断涌现。就像在水管的源头不停有水涌出来要灌入这水管里。举个例子，Voevodsky（北京 2002 年 Fields 奖得主）在 2012 年提出：当今的数学已是在末路。现行以集合论作为基础的数学已没法解决数学以内至工程之中的数学问题！他高举新的数学革命旗帜，他提出 Homotopy Type Theory 作为新的数学基础，重新再造数学！这个新的数学革命会引起什么数学教育的问题呢？这里要讨论的是中学、大学数学教育整个知识链在新世纪要面对的一些问题与困难。2 新数学过去几百年每代的人都会听到几次“新数学”这句话。这个“新”字有“时间”的意义。相信未来会有许多“新”的数学会出现。不过在这里只想谈谈 Voevodsky 的革命性的“新”的数学基础！借 Voevodsky 的革命性的“新”的数学基础为例子提出这样的问题：要设立什么机制使得“新数学”是经常的、连续的溶入大、中、小学的数学课程。这里不是指十年一次那种天翻地覆的大改变。在工业技术上国外企业重视知识链的高速传递。中国企业与国外企业的差距表现在自主创新能力的不足。国外企业重点投入新原理、新技术的创造与应用。国际电脑公司 IBM 的 Watson 研究所竟是一座城（Yorktown Heights, 纽约州）！为了快速投产，中国企业往往是型号牵引跟踪式的研究。忽视知识链的整体性和传递速度。中国的工程师从来没有看过美国或俄国现役的第五代的攻击核潜艇和洲际导弹核潜艇，只好试验造第二代的核潜艇。中国十万人航天工业的探月技术是有个别的突破，但整体技术还未达到 40 年前美苏可以做到的。一位两弹一星专家曾经提醒道：“我们不知道他们怎样做，他们知道的也不会告诉我们。”不要忘记 20 世纪六七十年代的间断，今日中国还是不会造电脑晶片（CPU），大型喷射机用的涡扇发动机，大型船舰用的核反应堆，射程 1.5 万公里多弹头重型固体燃料导弹，巡航导弹所携带的小型核弹头，鱼雷发射潜艇对空导弹。也许这些只是需要改进现有数学的应用，不过如果一个“新”的数学成功了，继而引起工业技术的大革新，但我们的数学教育却没有适当地反映这些新潮流，以至自己的工艺又落后几十年！那大家的过失就大了！Voevodsky，苏联人，莫斯科国立大学毕业，美国哈佛大学博士，导师是苏联人 Kazhdan，现为在美国 Princeton 的高等研究所（IAS）教授（编者注：Voevodsky教授于2017年逝世）。Voevodsky 第一个创新的工作是用多值映射解决在代数几何范畴是没有足够多代数映射可用来构造连续同伦的问题。用此他解决 Milnor 的一个代数 K 理论里关于二次型的问题，在 2002 年获得菲尔兹奖（2002 年第 24 届国际数学家大会在中国北京举办，颁奖式在北京人民大会堂举行）。在此简单地介绍这个“新”的数学基础。故事要从 19 世纪末 20 世纪初开始。那时数学家极希望把数学建立在一个严密没有内存矛盾的基础上。当时研究数学基础（Foundation of Mathematics）的 3 个主要派系是：(1)Formalism（形式派）。这一派认为数学是一个形式系统。所谓形式系统包括：符号、公理、推理法则和定理。可以把推理法则看作符号的组合法则 (dection rules are combinatorial rules)。形式系统的基本要求是不存在互相矛盾的定理。形式系统是与现实世界知识互相独立。正如讨论数学与物理的关系，可问：怎样把形式系统内的定理应用到现实世界 (Anwenngsproblem)，但这是形式系统外的问题。主要领导人有 Hilbert 和 Godel。Hilbert 的主要著作：《几何基础》，这是中国从事计算机自动证明的人都很熟悉的一本书。还有他和 Bernays 合著的《数学基础》。(2)Intuitionism（直觉派）。这一派认为数学的推理只是用了简单的、传统的逻辑，而传统逻辑的推理只是用了“子集”这个想法。实际上没有理由如此地限制推理。他们认为原始的数学概念来自直觉。只容许用构造法 (Constructive Method) 导出新的定义。第一个系统地这样想的人是 Brouwer，其他人还有 Poincaré、Weyl 和 Heyting。(3)Logicism（逻辑派）。他们认为可以在一个逻辑系统内定义所有数学概念和证明所有数学定理。这样看“数学”是一种逻辑结构。Russel 和 Whitehead 在他们的《数学原理》就建立了这样的系统。亦可参看所引 Frege 的著作。在这里不打算批判这些观点及解释为什么这些理论的发展忽然停下来。请随研究者跳过一世纪到 2012 年。Voevodsky 提出对数理逻辑中的 Martin-Lof 的直觉类型论(Intuitionistic Type Theory) 给以同伦论 (Homotopy theory) 解释，以此建立“以计算为基础”的数学。Voevodsky 的观点是：定理的证明是形式系统内在的一部分。证明的正确性的检验就像程序的测试与性能分析一样。在这个观点下，就像类型论岀现在函数式编程 (Functional Programming) 一样，他发展同伦类型论(Homotopy Type Theory) 作为数学基础。这样他对数学“证明”给了新的定义，本质上改变了数学，所以可以说是一个数学革命。在这种意义下数学会怎样发展呢？Voevodsky 为他的想法开设了一个网站：homotopytypetheory.org。在这同一时期，哈佛大学的 Jacob Lurie 快将完成了 Quillen 的想法的第一步：把同伦论溶入代数几何。这就是研究者在《谈谈代数数论》(《数学通报》) 一文中所说的第五波：把交换环范畴变为单纯形环范畴 (Category of Simplicial Rings) 得出的代数几何在数论的应用。Voevodsky 和 Lurie 都在谈同伦论。但是 Voevodsky 讲的是数学基础，什么是证明，如果扩大证明的定义，将会产生很多新的数学。另一方面在 Lurie 的理论，他需要使用 Higher Category 理论，他为此写了一本 Higher Topos 的书。虽然还未弄清楚，Voevodsky 认为他的理论是与 Higher Category 有关系的。这好像说：同伦论正在揪起一场数学革命，但却没有说：放下现有的一切，推行 Voevodsky-Lurie。研究者只是说：请想想怎样不断地把新思想输入数学教育系统。只是说：有些新思想可能会引起基本的改变，如果传递太慢，会有非常严重的不良后果。目前情况是，不但旧的如 Typed Lambda Calculus，就是新的 Higher Category 在中国没有中文书，也没有在数学系开课！同伦论只是一个例子而已！相信在计算机理论、物理、化学、生物学将会有新的数学等待大家纳入自己的课程内。比如计算机系讲稠密线性代数 (dense linear algebra)，很少听说数学系开这样的课。3 内容传递所谓数学教育知识链的“内容”，简单地说，便是学校老师所讲授的数学课的内容。建议把部分 20 世纪的数学更早地教给部分学生。这将同时影响中学和大学的数学课程。下面将分成两个部分来讨论。附带说两句：研究者不完全同意西方 20 世纪儿童教育理论，把数学学习看成游戏，把数学的内容全换作日常的实物，表面上学生更易懂、更快乐，结果游戏地位过高，学习态度不严肃，学习内容肤浅，学生养成对科学的结构性的反感与恐惧。请留意 2013 年英国教育部就宣布改革要求换回传统严谨的数学！(见文 [24])。游戏是一种学习方法而已，因人因时而异，切勿以此为主。研究者也不相信教学生智商测试题便是数学教育。应反对用智商测试题代替数学考试，要注重基础数学的教学与考试，反对那些选择题的简易考法。这只不过是用来筛选的一种平价快速行政手段。得出来的是念口诀做了千万道例题的人，不一定是有学问，会数学，有能力的人。很不幸中国一些机构从西方或中国香港的大学的人事管理学系学来这种所谓现代科学方法用来招聘。智商变得太重要了！研究者不打算辩论数学教育理论、教育哲学、青少年学习心理学和教育政治学，等等，只想讲内容。新的数学不停地增加。如果我们在 21 世纪的中学大学不多教一些 20 世纪的数学，则中国民众的知识链会岀现像“公路交通堵塞”一样的现象，已经正在学校教的数学不动地停在路中间，另一边新的数学不停岀现在路的前头，无法进入。大家都会同意国民教育不进步对整个国家的经济发展没有好处。(1) 中学部。研究者建议在高中建立如大学一样的选课制度，让有能力的学生多学点新的数学内容。高中建立适当的课程体系以配合新的数学课程结构，利用选课制度使中学数学教学动态地完成知识传递任务。请注意：当把新的内容放到中学时，并不是说要把这个传递数学的管道的半径加大了，不是说在中学里数学课程加大了，老师的教学量加多了，而是说：当部分大学的内容流到中学去的时候，部分中学的数学内容流到小学去，这样教学量不致改变太大。以下讨论 4 点。①“矩阵线性代数”。这是可以在中学教的，最少开始时可以讲矩阵与线性方程组求解，将来才加入线性空间和线性变换。②“欧拉-黎曼式微积分”。可能是受苏联教科书的影响，现在常把“微积分”和“数学分析”合在一起教。结果有相当多的学生两样都学不好！“微积分”这样重要并非常有用的工具学不好，其后的便没法学了。项武义教授在国内出版过一本“微积分”教科书。此书一方面反映把“微积分”和“数学分析”分开教的观点，另一方面反映他在美国数十年教大学的经验。这是很值得参考的教材。研究者认为“欧拉-黎曼式微积分”是可以在中学教的。王昆扬教授尝试过在北京十一学校教“数学分析”。这个试验成功的一个原因是师生都很优秀。对全国中学而言，在中学里从教“微积分”到教“数学分析”是一个需要时间的“内容传递”，是急不来的，也不是立个法便会发生的。③现在少年都会用电脑。以上矩阵线性代数和微积分都很适合解说应用电脑的好处。随着中学生学会了用电脑解决数学问题，更多人想用 Maple、MATLAB 和 Mathematica 这样的软件。试想全国有 2000 万中学生每人付 200 美元买一份美国的计算软件，对整个国家来说这是一个很大的金钱输出！建议自然科学基金和教育部联手出钱造一个中文版类似 MATLAB 的软件，免费给大家使用；建议教育部成立团队创建和支援免费教育软件；建议中国免费教育软件用免费的公开的 Unix（Linux）来写。④关于几何的教学内容的两点看法。（甲）在 20 世纪六七十年代香港的中学教二、三维解析几何学和几何拓扑学（橡皮几何一 rubber geometry, 绳结- knots）。当时进口的英国教科书现在在香港全都消失了。大概学校已不教了，很可惜。研究者也念过苏步青先生的《高等几何学》，比如书中解释矩阵的对角化与三维空间的二次曲面分类的关系，把矩阵的对角化图象化了，看得见了！今日有电脑之后，无论中学生和大学生都会明白这种几何学，都会容易接受初等的计算几何学。这又可以配合前面所建议的：电脑在线性代数和微积分中使用。20 世纪 60 年代从俄文翻译的一些给中学生看的几何学的书，现在都找不到了，幸好今日有更好的书，如 Shafarevich 与 Nikulin 写的，或者是在网上莫斯科独立大学几何讲义。这些书讲的几何都是有很多图象的。研究者建议加强直观几何学（geometric intuition）的教育。有图可看的几何，可以提供丰富的例子帮助检验抽象的几何学。展开直观几何学的教育的困难之一是教材的问题，尤其是缺乏教科书加上相配的动态几何图象电脑软件。（乙）现在中学常把学平面几何学习换为难题集中营。学生的几何解题行为已被锻炼成心理学里的条件反射行为。这样，当老师从更高的观点讲平面几何的结构时学生便没有兴趣了。建议完全改变现行的几何教法。在（甲）中注重几何的直观几何对象，在（乙）中直接面对问题：把“公理系统”这个概念作为数学内容在这知识链内下传。利用欧几里得平面几何作为“公理系统”的基本例子来教授“数学结构”。透过公理的变化来理解“公理”与“数学结构”的关系。这样利用“平行公理”的更改就很容易引入 19 世纪的非欧几何的一些基本模型。要把平面几何从难倒学生的题海中解放出来，让学生了解：从假设到结论是一个逻辑推理过程，更理解：由电脑程序所证出来的结果是需要从给定公理开始的。这一种理解和训谏使学生明白包括数学的所有理论科学的基本精神和结构。这种逻辑思维和系统科学是训练科学家和工程师的非常重要的基础。为了中国的工业生命，这是不可以放弃的！这不是不可能做到的，过去 3 年北师大实验中学初中几何教学就成功尝试过。（2）大学部。建议大学数学课基本化，也就是让部分有能力的学生修读加强基本化的课程。这里想介绍几件可能做的事。①数学分析。2001 年北京师范大学的王昆扬老师出版了一本全新的“微积分”教科书一一《简明数学分析》。王老师说“打破常规之处，就是用 Lebesgue 积分取代 Riemann 积分……20 世纪创立的 Lebesgue 积分理论克服了 Riemann 积分的缺陷……”这本书真的做：在 21 世纪多教一些 20 世纪的数学。研究者认为不应用这本书去批判这个想法。第一，中国有 300 年写“微积分”教科书的丰富经验，单是中国今天就有上百种“微积分”教科书。王老师这本书是第一本，是个明智的开始吧！这样的事太少了。多些人多写几本，慢慢就把路找出来了，不用等学外国人怎样做的。第二，对那些在中学已学过以计算为本的“欧拉-黎曼式微积分”的学生来说，王老师的说法便是容易自然了。②逻辑、集合论、一般点集拓扑学与范畴学。这些都是学一些结构性比较强的数学的基础。教师在中学和大学一、二年级都只是教数学计算，所教所考的微积分和线性代数都是标准的电脑程序，如用 MATLAB 和 Mathematica 可以轻易解决。结构性的基本数学却教得少。比如逻辑、公理集合论、一般点集拓扑学和范畴学就很少要求一年级的本科生学习。20 世纪 60 年代在香港大学的梁鉴添先生带领下，在中学教“公理集合论”（Axiomatic Set Theory）。梁先生为此写了一部很好的集合论教科书。梁先生是周炜良先生的学弟，同是 van der Waerden 的学生。这段时间中国香港训练了一些数学家。后来为了平等，反对部分人学好些，倡议“通识”，结果比较严紧的数学教材便淡出了，只有很少部分可以出国念英才中学的人才有更好的学习数学的机会了。在 20 世纪 70 年代，研究者在香港中文大学就为数学系一年级本科生开“逻辑-集合论”课作为学生学习数学结构与推理的基础训练。最近在北京的书店看看，逻辑书都是为计算机系、哲学系和社科院的学生写的。在买书网上想找一本莫绍揆先生的逻辑教科书也找不到。在国内出版用中文写给数学系学生学习的“范畴学”教科书还没有见过。暂时不要说要详细地教“范畴学”，但教 30 页的范畴学是会帮助学生理解更多结构性的问题。计算机系就常教“范畴学”，这本来是数学系的东西，数学系的学生反而不懂，是教师的错。Bourbaki 的数学系统就以“集合论”和“一般点集拓扑学”为起点。实数就在“一般点集拓扑学”内讲了。并不是说全国都要学 Bourbaki, 而是说占全世界五分之一人口的大国能容纳得起多种学习数学的方法，有一些人可以学的。Bourbaki 方法是帮助学生学习结构性强的数学方法的厉害工具。③代数拓扑学。中国有一套很好的、北大版的“代数拓扑学”教科书：江泽函《拓扑学引论》, 姜伯驹《同调论》, 廖山涛、刘旺金《同伦论基础》。现在没有多少人用这套书来教学生了。国内还未有人写过一本像 Godement 写的 Topologie algebriques-Theorie Faisceaux 的代数拓扑学教材。最近国外的同伦论教科书是有较大的变动。比如：Arkowitz,2011。如果看看 Brown (Annals,2012) 的 Deligne 的 Mixed Tate Motive 猜想的证明，他们用的同伦论的背境是 Bousfield-Kan。看看 Elmendorf 等人的书又是另外一种同伦论了。此外还有 Voevodsky 和 Lurie 两个人的同伦论。这样看来，中国学者在同伦论的基本课教学已经有很多事要做了。4 英才教育培育英才是教育工作者们的一个共同的希望。“数学英才教育”可以解释为：让部分学生“先富起来”, 就是说：让部分同学抽出部分时间提前学习比较先进的数学技术。不敢说所有人都是这样解释“英才教育”。比如有一种做法是把目前现有课程范围内的习题变为更难的题目，让学生不停地操练，以求在中学到大学的高考或大学到研究院的考研取胜。研究者建议，“英才教育”多走一条路。就是把部分内容向下移：中学的移向小学，大学的移向中学。在现有的课时容纳新的内容。不要只是在难题上下功夫，也可以在内容上下功夫。自古以来读书是为了找工作。戏曲里就常见穷书生上京考试为做官的故事。今日学生上大学主要是冲着文凭，希望毕业后拿着文凭找个高薪的工作。这是全世界的现象。这样的学生会经常问：老师你现在讲的东西跟我将来的工作有什么关系？如果是“术科”如医、工、法、舞，这样的问题还好答。如果是“学科”如中文、数学，除了说句“考研有用”就不好答了。正当学生迷失在学习与对工作的憧憬之间的时侯，上课的老师和做思想工作的便多了一份工作，改变“真想学的不多”这种现象，帮助学生相信，来到大学的第一件事是：学。这里所提出的“英才教育”可以帮助解决这个问题。以内容代替难题来增加学习的兴趣，把注意力引回到数学上。增加基本结构上的训练以减轻日后学习的困难，以便支持学习的兴趣，引起学生的好奇心，以激发学习的动力。过去 100 年数学里便有很多新概念和新想法。这些都不需要很多背景知识便可以透过关键例子说明。讲述和学习这些新的内容会比做难题更容易而且有趣多了。“英才”两个字引起一些老师的回应是：我系不是训练“数学家”的。陈省身就说过：中国不需要很多数学家。研究者的回应是：我所谈的内容传递与更新，不是说几个顶级的专家，而是说提高很多人的数学水平。举个例子，300 年前在欧洲会微积分的人已是数学家。今日莫说全球，单是中国会微积分的工程师就不知有多少。既然不知有什么数学有什么用，数学系帮更多人学更多数学是好的，数学系不单只是训练“数学家”的。正当大家在忧虑怎样把现有的新学问教给孩子的时侯又有教育家说觉得小学数学太难，应该把学校数学由难变为易。所以这里的困难是内外兼有的。这里所说的“英才”数学教育是建议把大中小学的数学水平整体提高到欧美比较好的学校的水平。不应该去学外国失败的经验或所谓平均水平而牺牲了中国最好的孩子，他们是中国科技工业的希望。容易从“英才”推出“不公平”——“为什么我的孩子不是‘英才’？”把学生的数学能力的分布看作一个谱，就像天虹是太阳光的光谱。公平的教育不是把这个能力分布谱强压缩为一点！弱智的有特殊教育去帮他们，超智的有英才教育去帮他们，这样把整个数学能力分布谱拉高。公平的数学教育是把所有的学生的数学水平提高，不同的学生的“高”是不同的。如此“英才”教育便是大众教育的一部分了。有些外国大学对本科生开 Advanced Program。每个年级抽最好的 20% 参加。在这些 Advanced Program 中数学内容就加强很多。比如常见在本科一年级上学期以 Dieudonne 的 Foundation of Modern Analysis 来教微积分，这本书的微分是在 Banach 空间上来讲的。多变元微积分是用普林斯顿大学 (Princeton University) 的 Nickerson, Spencer, Steenrod 写的 Advanced Calculus, 这本微积分书已讲层论 (sheaf theory) 了。到四年级下学期学生已经学过交换代数，所以可以用 Hartshorne 的 Algebraic Geometry 来教代数几何了。相比之下国内能够开出 20 世纪 50 年代翻译的斯米尔诺夫五卷工程数学的数学系已不错了。硕士班只能开出读导师的论文的预备役。至于拓扑群、交换代数、范畴学、层论和同伦论恐怕只有一小部分的系能全开出来。大学本科生很难得到一个全面的 20 世纪数学教育。国内外都有优秀的中学，它们培养出多名出色的科学家，想非偶然。也许他们是不自觉地理行了上面所提出的“英才教育”。例如，浙江嘉兴的秀州中学，人才辈出，孕育出了陈省身、李政道、顾功叙、谭其骧、周廷儒、周廷冲、钱俊德、方怀时、潘文渊和程开甲十名院士。美国纽约市的 Bronx High School of Science 是另一个例子。这所公立中学的毕业生中有 7 个人获得了诺贝尔物理学奖，1 个人获得了诺贝尔化学奖及 29 个美国科学院院士。在美国麻省的 Andover 有一所古老的著名私立中学 Phillips Academy 的毕业生就有 3 人获得了诺贝尔奖。在德国长期以来中学分为两种：Gymnasium 和 Schule。科学家大都是念 Gymnasium 毕业。这些学校的数学课的内容和水平都比较高。他们的老师常是有博士学位，甚至会是著名的数学家。比如 Grassmann 就是一位 Gymnasium 老师！在巴黎大学苏邦 (Sorbonne) 校区旁边有两所著名的中学：Lycee Henri IV 亨利四世中学和 Lycee Louis Le Grand 路易大帝中学。他们开办 Classes preparatoires aux grandes ecoles (简称为 CPGE 或 prepas) 特别训谏巴黎地区最优秀的中学去投考 grandes ecoles(高等学校)。这些班当然不只教“线性代数”和“微积分”了。他们就这样理行研究者上面所提出的“英才教育”。在法国很多数学家都是巴黎高等师范学校 (ENS) 的毕业生。这所高师是法国所谓 grandes ecoles(高等学校) 的其中一所，这些 grandes ecoles 在法国被认为是比大学高一级的更好的大学。巴黎高师的老师是由全法选出当时最好的年轻数学教授轮流当的。每个老师教了 3 年到 5 年后便回到他自己原来的学校。如此法国把精力最旺盛的，在想象力最丰富年纪的数学人才聚在一起发挥无穷的威力。法国有 11 个菲尔兹奖。河南省的人口大概是法国的两倍。如果按人口的比例，河南省应有 20 个菲尔兹奖。如果说“自己训谏出来”的意思是指“中学、大学、研所、博后”都是在本国完成的，那中国还未有一个“自己训谏出来”的菲尔兹奖。可以说这不是有多少人的问题，也不是没有好的学生。研究者相信问题在于教育投资分布与选项及制度。当然一个人得了菲尔兹奖只是反映了把他培训出来的国家的数学能力以至工业实力。请看只有河南省一半人口的法国出口 Airbus 民航飞机，出口 Lafayette 级稳形护卫舰，出口 Mirage 战斗机，出口发电用的核子反应堆，制造高涵道比涡扇发动机，制造欧洲宇航局所用的 Ariane 火箭，制造美国以外唯一的核动力航空母舰。一个占人类五分之一的全球第二大的经济大国对人类知识文化的贡献和在数学的投资比起德法二国相对低了很多！5 新内容的问题假如大家支持中国在 21 世纪多教一些 20 世纪的数学，则立刻会有因为执行而产生的许多问题。相信大家一直在讨论这些问题。(1) 学生的能力。首先要考虑学生的能力。要同时照顾有数学能力的学生及其他的学生，建议在高中成立选科制，让有数学能力的学生选读比较先进的课题。暂称此为：中学数学课多渠道化。应该接受的事实：到高中时每个学生都会有不同的能力，有些科学，有些会说话，有些会跳舞，学生各有所长，老师各育所长。可以对高中学生的数学水平有一个起点的要求，但不应要求所有的学生的水平是一样的。否则便扼杀了突破的机会。给以时日，慢慢地渗透，数学水平高的学生把其余的学生的水平也拉高，这样便进步了，这是一个缓慢的过程。不应该因为小部分落后了，就把全队停下来，甚至后退——把数学课的水平越拉越低，要接受长的战线，让部分学生在前面作战！现在的孩子是在一个知讯稠密的环境 (Information dense environment) 下长大的。他们有强烈的求知欲，他们对世界有自我发现与表达的愿望。让大家以新的数学内容帮帮这些孩子健康地成长！(2) 中小学老师的水平。在职的老师在师范念书的时候不一定学过这些新的材料。研究者相信会有老师乐意接受新材料带来的挑战。但是他们去那里学习怎样教些新材料呢？除了新的数学内容，怎样做习题，怎样设计习题呢？还有当老师学了，教了这些新的内容，怎样奖励他们呢！不要忽然有 3 年全国中小学老师都去念个硕士学位，师范大学做了 3 年生意又什么都没有了，而这些“3 年忽然硕士”，会有太多是没有料子的。怎样把这个变成慢慢进行的可控过程呢？(3) 师范大学剩余产能。自 2000 年后，大学扩招，很多地方的师范大学数学系的毕业生人数已超过本地区的新增教席数目。师范大学是有剩余产能的，如果师范大学利用剩余产能为在职老师开设硕士课程，帮助在校老师学习教新的材料，这样一方面解决了老师水平不高的问题，并且使用了师范大学的剩余产能。在中国台湾，一些师范大学没有处理好剩余产能，只好转型为法商学校，开办医、工科要太多经费了。在国内一些师范学院的舞蹈学系的办公楼是十倍数学系的办公空间，早就看不起数学系的产能价值了。(4) 执行程序。绝对不建议由教育局一纸命令全面执行。建议用渗透式，慢慢地增加内容，慢慢地增加地区。由大城市扩展到小城市，再扩展到乡村。由最好的中学传到其他中学。由一本大学传到其他大学。还有一个执行的问题：就是教纲问题。因为教纲的确定，教师只会按要求讲授内容。大部分老师不愿意教授更高阶的内容：①因为他得不到便宜；②家长投诉；③学校评分压力；④地方教育局反对。所以当要改变这个数学一一知识传递链的时候，不单单要教师出力，还要管教师的支持，真难。(5) 考试。不可低估考试对英才数学教育的明显意义。不考试的东西是没有人要学的，没有校长和党委支持去教的。所以内容的革新便会引起可考科目的改变，以至考试的形式。比如要引入考试选科的形式。也就是说，除了基本数学科之外，还要增加进步数学科，让部分学生选考。就是说新内容要纳入高考命题范围内。美国的一般大学入学考试 (SAT) 数学部分就分两个级别：Level 1 和 Level2。英国伦敦的一般文凭考试 (GCE) 是中学毕业生的考试。GCE 有普数 (General Mathematics)、高数 (Advanced Mathematics) 和进数 (Further Mathematics)3 层的考试给学生选择。所有学生都考普数，要到大学念理、工、医、经的学生加考高数，只有那些有兴趣，有能力去念数学系、物理系的学生才会全考普、高、进 3 卷。这样对一般的中学生只考普数压力不会很大。把考试的内容分开也分散了对学生的压力，对家长给老师的压力，是很值得借鉴的。下面谈谈“学”与“考”的矛盾。国家对于各级升学（小学→初中，初中→高中，高中→大学）只能采取考试的办法，这是目前最公平的录取方法。小老百姓只能尽全力让孩子考高分，进入好大学，改变贫苦的命运。老师为了帮助学生，为了本人的业绩只好加强作业，课后作业，甚至开补习班。学生便“忙死”了。在这样的情况下，内容多样化，新内容，新考试，对整个制度有新增压力，学生更惨了。最近一两年，教育部强令“减轻学生负担”，小学生不许留课外作业，明确宣布各级升学不许与各学科的竞赛挂钩。但老师们以变相的方式大留作业，学生家长让孩子参加各种课外班的热情不减，因为这样才能使得学生面临各种考试中胜算较大。这个“学”与“考”的矛盾是不可以由教育工作者解决的。国家办学为了提高人民的知识水平，以保护人民在现代科技社会的生产力。当听说电视报导说本地大学毕业生的平均工资是每月 4000 元时，人们就认为在大学坐四年便等于每月 4000 元，这是很大的误会，这是社会问题，不是数学教育问题。(6) 教材。新内容需要新教材。在美苏用的不一定适合中国用。在研究所用的不一定适合大学本科用。一个好的例子是：在数学科非常重要的出版 Springer 就有两个系列：Graate Text in Mathematics, Undergraate Text in Mathematics(Universitext)。在写教材之前，第一便是背景资料没有充分散播在学校内。比如参考文献所引的关于数学基础的文章书籍在中国就不容易找到。即便找到那种介乎哲学与数学之间的德语、法语的书籍亦不是容易懂的。远一点可以问：为什么网络上的云端技术不是在中国发起呢？为什么美国有全世界最好的计算机编程人材呢？除了经济原因之外，可以说因为过去 100 年，中国无论工业界、研究所和大学都是要产品，只要学造成品，管理的领导都要“讲得出，看得见，卖得出去”的东西。但发展编程技术是有文化背景的，如数学基础→同伦论→函数式编程→以计算作为数学基础（Voevodsky）。不可以只教最后一步，比如微积分只教初等函数的微分和积分，但完全忘掉微积分的力学历史文化背景。按中国出版社的现行制度编辑的工资与新书出版数目有关。这样过去 60 年来出版过的好书现在都找不到了，出版社不重印了。电脑资讯是日新月异的，10 年前印的关于电脑的书今日可能不大有用。但数学是有累积性的，新是建立在旧的上面，从前出版过写得好的数学教科书今日还是可以用来学习的。但是，去哪里找这些书呢！比如在国外，像 Bourbaki 的书不会因为它旧就找不到。举个例子，不可以说在北京国家图书馆找到廖山涛的《同伦论基础》就可以，作者在肇庆学院就找不到！从广州坐普通的慢火车一个小时便到肇庆！远一点的如甘肃的武威，云南的临沧，黑龙江的佳木斯更就不敢说了。为了让偏远地区的学生都可以学，让每一代学生都可以买来念，建议科学出版社、上海科技出版社、高等教育出版社、人民教育出版社联手成立一个联合重印社，从他们有版权的旧书中选出一套基本数学好书系列，经常保持印刷，平价卖出。研究者支持用中文写关于基本数学的书籍。因为：第一，对大多数中国学生来说，用中文学习新的概念是比较容易的；第二，一个民族没有自已数学语言是没有希望的。(7) 选课。华罗庚先生说过数学生要学多个外语。当然不是每个人都有很多学外语的天分。研究者曾向一位系主任建议要求数学系本科生每学期念一门外语课。他笑说：不可能！第一，学生已经有很多数学之外的课，没有时间了。第二，外语系不愿意教。熟识中国高校行政的当然了解这件事。研究者亦不想在此讨论解决策略。但是在英美加学生跨系选课的自由度大得多了。在欧洲研究生甚至可以到别的学校，别的国家选课。这跟数学有紧密关系。第一，外语对学数学的人非常重要。在目前的结构下，数学系学生的外语只好自学自教了。第二，举个例子。大家关心 CLAY Institute 的 Millenium Prize。其中一个问题是关于 Navier Stokes 方程。也许学点流体力学会帮助解决这个问题。如果数学系不开办此课，只好去物理系或工程学院了。在目前的结构下，这是不可能的！那么大力推举支持交叉科学怎样实现呢？(8) 资源。大城市的教育局有更多的资源，大城市的父母有更强的经济能力，大城市的孩子的数学教育比城外的孩子好。在统一考试，在数学竞赛里大城市的孩子便脱颖而出。不是每一个大城市的数学成绩好的孩子真的对数学有兴趣，真的有天分，离开了这个“吃维生素”的环境便转业了。同时小地方的有天分的学生没有办法接触到一流的老师，前沿的教材，优良的学习资源和环境。在教育资源的不平衡下很可能埋没了小地方有数学天分的学生，牺牲了国家宝贵的人力财产。这和新的数学内容传递有什么关系呢？虽然不能希望老师离开大城市跑去乡村工作，但是希望大家慷慨地把大城市的资源所产生的新内容免费传到城外的教育系统内。例如在网上发布录像或制成 DVD 分发。大城市的教育局支持大城市的老师去小地方的学校交流。要小地方的老师变为考试教练可能难，也许请他们学点新的数学内容教给学生会比较易吧！6 结语回顾过去一世纪的科技成就，无论是电话、电视、电脑、雷达、火箭、人造卫星、天气预测、人体血液力学、人脑扫描、人口控制、银行利息定价、财经产品设计，等等，都离不开数学。相信在 21 世纪也会是这样。新的数学为新的科技提供表达和计算的平台。所以，有必要把新的数学传入中国的教育链，以免又落后他国一步。研究者提出的是数学教育知识链上新知识的传递问题。研究者的建议是：中学数学课多渠道化，大学数学课基本化。希望引起群众为文讨论，定计实行这一项数学教育工程。改革是牵一发则动全身。大家都知道这是“说易行难”之事。不是两三个老师的事，是一个需要有足够多的老师和干部的认同、参与和支持的事，是我们的梦。参考文献[1] Arkowitz M. 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