2015年考研数学二

文| 李鹏飞欢迎关注：说教育张宇老师在山东传授考研数学最近，考研数学辅导界的张宇老师现身山东的烟台大学，他娴熟的解题手法，顺溜的口才让历届考研学子对其的教学方式产生了较为深刻的印象。这不，在大庭广众之下，宇哥又一声不吭地开了一躺车，车牌号上写的是三角函数中的正余弦和正余切四个函数。宇哥在考研界刚出道的时候，以泰勒公式的一些列简化的“狗”公式闻名，甚至还有一些铁粉直接调侃其为“狗老师”，宇哥也不会生气，他对人就是这么亲切！考研学子终身难忘的“数学段子”宇哥是怎么构建这个段子的呢？其实张宇老师特别喜欢用老婆和老公之间的一些生活小事来传达数学中的一些有趣的事情，比如泰勒变成“太乐了”那个段子就是这样的。对于数学的夹逼准则，宇哥用了一个非常经典的说法叫做“哪里跑”，这样就给人一种很强烈的画面感，也就是两个人夹攻一个人。两个人夹攻一个人不仅给初级入门的同学一个画面，还给了对高级段子有需求的考研同学一定的发挥空间！除此之外，宇哥还有一些关于指数函数的一些爱情故事，这里就不再回忆了。考研数学中的经典段子年年流传上面的同学吐槽宇哥的段子和之前讲的是一样的，其实经典的东西就只有这么多！在前年的时候，有一个数学二考满分的学生，他并没有看张宇最新一年的视频，仅仅只是看了2015年的一些“老课程”，却考出了大家无法超越的150分。这能说明什么问题？考研数学每年的变化并不大，数学高手往往先学方法，而后再通过刷题来改善自己的计算能力。有了数学思维和数学能力，何愁考不了高分呢？附：宇哥的段子仅仅是用来在课堂上活跃气氛，以及给研究生们找回忆的，考研人切莫沉迷其中！一定要抓住考研中的主要矛盾！

在研究生考试的所有科目中，考研数学对于很多考生来说都是一道很难逾越的坎。很多同学超过一半的复习时间都花在了考研数学上。即使这样，最终结果却不尽人意。在整个考研数学中高等数学所占比重最大，其中考研数学一和数学三达到了56%，超过了线性代数和概率统计两部分之和，考研数学二占比高达78%。研究生入学考试中数一、数二、数三分别对应不同的专业。这三类试卷中，数一的高数部分又是涉及范围最广，最不容易复习的一类试卷。甚至部分同学为了避开考研数学一，而选择跨专业考试，或者放弃学硕而考专硕，这种情况一定要慎重。为了帮助考研同学更好的规划复习研究生数学考试，小编整理过去十年的研究生考试真题。现将历年考试中常考知识点和部分考试形式总结一下，希望能够对正在考研复习的2020年考生有所帮助。一、2010年~2019年考研数学一高等数学中出现的主要知识点根据2018年最新出版的高教版2019年《全国硕士研究生招生考试大纲》要求，考研数学一考查的内容一共包含八章内容如图：这些内容仅仅从题目上去看，和我们大学一年级学过的高等数学没有什么区别。但是，关键在于在如此众多的知识点当中，哪些知识点是考研数学的重点？哪些又是常考的知识点？又是以什么样的形式来考查呢？篇幅所限，小编简要介绍常考知识点和侧重点。考研高数第一章，函数、极限、连续是整个高等数学的根基，只要谈到高等数学就一定会涉及到这三个概念。甚至可以说离开了这三部分内容，高等数学就无从谈起。本章知识点除了作为基础知识综合到后面各知识点中外，还有些知识反复出现在过去十年的考题当中。比如：求极限用到的等价无穷替换、罗必塔法则等方法，更多的时候是这两个方法相结合效率更高。另外间断点类型判定，应用零点定理证明方程根的存在性。考研高数第二、三章一元函数微积分学作为多元函数微积分以及后续各知识点的基础也是重中之重。当然，在过去十年考研中也是重点考查内容之一。求导数和导数应用是必考内容，并且题型多样，每年都会以不同形式出现不止一个题目。甚至在2013年考研数学一中出现了单独考查这个知识点的两个题目。另外，单调性，极值，凹凸拐点，积分上限函数等等都是一元函数微分学部分的常考内容。定积分定义及性质，积分上限函数、定积分计算、定积分几何应用等等这些都是一元函数积分学当中的常考知识点。在过去十年的考试当中，以上提到的这些知识点考查次数一般都在四、五次以上。考研高数第四章向量代数和空间解析几何，这一部分的知识点单独出现在研究生考试题目中很少见到。但是，这并不意味这一章的知识点不重要。在多元函数微分学的几何应用、多元函数积分学等题目当中都会涉及到空间解析几何知识。对于本章知识点，大家将重点放在空间解析几何的相关知识点与其他章节知识点相结合。考研高数第五、六章多元函数微积分学知识点也是历年研究生考试中必考内容之一。在本部分众多知识点中，二元函数偏导数与全微分的求法，方向导数与梯度计算，曲面的切平面与法线方程是考查的重点。二重积分计算在近三年没有考过，但是过去近十年考查了四次。三重积分应用求形心坐标，十年中考查了三次。第二类线面积分也是常考知识点，在过去十年中有五年都有考查，考察率达到了50%。考研高数第七章无穷级数主要考查点在：级数敛散性的判定，幂级数收敛域、和函数求法，把函数展开成幂级数。以上知识点每年都会考到，只是形式不同而已，一般情况下题目难度不是很大。考研高数第八章常微分方程这一部分知识点的考查主要集中在一阶线性和二阶常系数微分方程的解法。另外线性微分方程解的结构也是较常见考点之一。通常情况下，本部分知识点考查比较简单、直接，只要掌握基本解法就能够应对考试题目。说完了那些考试“热点”，再说说那些考试当中的“冷点”。经过小编的整理，我们发现：在过去的十年考试中，向量代数、高阶导数、柯西中值定理、定积分物理应用、伯努利方程、全微分方程从来没有出现在研究生考试中。第一类线、面积分很少涉及。二、近年考研数学一高等数学主要知识点的考查趋势及2020年那些知识点出现的可能性大？1）过去十年考研数学知识点考查趋势。通过对过去十年常考知识点的总结，从整体来看，小编认为研究生考试重点在于基础，基本概念的理解、基本计算，以及相关性质的熟练运用。考查重点还是在一元微积分学和多元微积分学，而空间解析几何和向量代数考查相对较少。常微分方程历年考查的题型，都是大纲当中基本类型。并且常微分方程这部分知识点过去十年每年都会考到一个题目，这一部分应该说是比较好复习的知识点。其中，一阶线性和二阶常系数线性微分方程出现比较多的。线积分2015年之前考查频繁，近几年没有出现在考题当中。2）哪些知识点会成为2020年考研数学的热点呢？极限、导数这样的知识点在2020年的研究生考试中一定少不了，唯一的区别只是形式不同而已。微分中值定理在2013年，2017年都以11分的大题出现，根据经验2020年考查是大概率事件。积分上限函数过去十年频繁出现，那么2020年会不会再来呢？小编预测，积分上限函数有很大可能结合求极限、导数应用、微分方程以一道大题的形式出现。重积分计算，尤其二重积分在研究生考试中作为一个重点内容，在过去十年中，前几年每年必现，但是近两年没有了踪影，今年会不会出现呢？可能性很大。作为重点考点，线积分与格林公式或斯托克斯公式相结合2015年之后没有再出现过，今年考查的可能性也是较大的。如何更好的应对研究生入学考试呢？小编认为：第一步，对于考研大纲中要求的知识点，注意基本概念、基本方法和基本定理的复习、思考。这些基本知识点，通过反复练习，加深理解。第二步，在对基本知识掌握熟练的前提下，考生还应该对于各个考点分类练习，提高认识。最后，通过真题的练习，寻找考研试题和平时学习中的差异，查漏补缺。　

2020考研再有十天左右就要开考，现在考研已经进入了最后复习阶段。很多考研学生都在担心今年的考研试题难度会不会变，怕试题难度加大自己考试成绩分数低过不了国家线，因此心理压力有些大。那么2020考研考试试题难度可能会哪些变化呢？作为老师，结合自己近几年对考研的观察，认为考生需要注意这四点变化。具体内容如下。第一，考研英语一阅读难度可能会提高。2019考研英语一的阅读理解和新题型的难度比2018年的难度相差无几，2019年全国英语一的平均分是48.59分，2018年的平均分是48.61分，因此二者难度持平。但是考虑到2019年的考研英语国家线很多专业已经提高了5分左右，而随着今年考研报考人数的继续增加，如果难度不变，那么考研英语国家线还会继续提高，因此意味着2020考研英语试题难度将会提高，以发挥考研英语的门槛作用。第二，政治选择题难度略有提高，材料题难度一般。从2019考研政治试题分析来看，单选题的难度并不大，而多选题的个别题有一定的难度，材料题难度一般，考生结合平时学习的内容就可以轻松得分。而从2020考研来看，考研政治更会侧重时事政治类试题的考察，这类试题内容多，考生不容易区分，因此在多选题部分难度会有所提高。而在单选部分政治经济学内容的考察可能会难度加大。而材料题的难度预计和往年持平。第三，数学难度可能会提高。从近五年的考研数学分数线来看，无论是数一、数二，还是数三，试题难度大概都是偶数年份难度略高，而奇数年份难度低一些。这一点可以从数学全国平均分可以看出来，2016年数学平均分比2015年低，2017年数学平均分又比2016年高，而2018年的数学平均分又比2017年分数要低，2019年数学平均分要比2018年数学平均分高。结合这几年的分数线变化来看，预计2020考研数学的难度将会略有提高，数学平均分将会比2019年的分数要低一些。第四，专业课难度呈现“两极分化”。回顾2019考研，可以看到一些自主划线的大学，他们的专业课分数线不是特别高，而且很多学生的专业课考试成绩甚至低于学校规定的分数线。但是反观一些普通大学的专业课考试，可以发现这些学校的专业课考试成绩都特别的高，而且随着招生难度的加大，预计2020考研普通大学的专业课考试难度不会太高，但是985等大学的考研专业课试题难度将会有一定的难度。对于2020考研，大家还有哪些问题和看法呢？

亲爱小伙伴们，最近复习的如何？对于看到数学就头疼的同学或者看不到专业前景想跨专业的同学，是不是心理还在犹豫“要不要换个专业考”？数学太难，想换个专业考研，还来得及吗？来得及！考研数学确实很难，如果这一门科目没有达到目标值，是会拉低整体分数的。小编当时遇到一位同学，他考本校北航的研究生，原本自信满满，结果分数出来后还不到300分。其中分数低的很大一部分原因就是失败在数学上。要问考研数学到底有多难？小编给大家总结了2015年-2019年数学一到数学三的平均分，大家看平均分后就会知道数学的大概难度了：数学分大小年，难度高的年份，平均分数可能只有60分，难度低的年份平均最多也不过81分。要知道考研数学满分为150分！小编曾经看一年考研数学的考生分数分布直方图，其中达到135分的数一、数二考生只有0.09%，数三考生稍微多一点，比例也不过0.25%。大部分同学的数学分数，还都集中在45-90这个分数带。对于理工科类考生，数学确实是一个很纠结的问题。有很多复习数学复习得痛苦的小伙伴，问小编8月份换不考数学的专业是否来得及。对于小编来讲，小编还是建议大家听从自己内心的选择，想换就多去了解别的专业吧！如果下定决心，其实还来得及的。小编根据周围人的例子，帮大家盘点一下此刻比较适合换的专业，为大家解忧：翻译硕士学科简介：翻译硕士学位获得者应具有较强的语言运用能力、熟练的翻译技能和宽广的知识面，能够胜任不同专业领域所需的高级翻译工作。考察内容：全日制翻译硕士初试是参加每年12月份的研究生考试，大部分学校不考二外(少数例外，如北京外国语大学)。政治是必考的，全国统一出题，其它三科都是专业课，分别是第二单元外国语考试《翻译硕士X语》(含英语、法语、日语、俄语、韩语、德语等语种)，第三单元基础课考试《X语翻译基础》(含英汉、法汉、日汉、俄汉、韩汉、德汉等语对)以及第四单元专业基础课考试《汉语写作与百科知识》。《翻译硕士X语》重点考察考生的外语水平，总分100分，《X语翻译基础》重点考察考生的外语汉语互译专业技能和潜质，总分150分，《汉语写作和百科知识》重点考察考生的现代汉语写作水平和百科知识，总分150分。小编点评：其实大部分院校的翻译硕士是鼓励跨专业考生报考的。因为对于翻译专业人才来讲，具有不同的学科背景，会对未来的发展有很大帮助。法律硕士（非法学）学科简介：法律硕士为专业型硕士，分为两种，一个是法律硕士（法学）；另外一个是法律硕士（非法学），今天我们介绍的是为跨专业考生准备的法律硕士（非法学）。考察内容：公共课的政治和英语与全国所有的研究生考试是一样的，命题和阅卷也是和全国研究生考试统一的。其中，法律硕士考察的是难度大一点的英语一。业务课一：考刑法和民法，刑法和民法各占75分。这两科内容侧重于理解，要求考生能够通过理论分析运用，这两科也是整个法硕考试中最难的部分。业务课二：考法理学、宪法学、法制史。法理学约占60分，宪法学约占50分，法制史约占40分，这两年逐渐出现了题型变动，分值会略微调整。这三门中法理最难侧重于理解，宪法和法制史侧重细节把握。小编点评：小编周围有很多跨专业考法律硕士（非法学）的成功案例。小编学弟当年7月份才决定报考北大法律硕士（非法学），经过几个月的学习后，成功考入目标院校，真的非常厉害。但小编还是很想提示大家，法律硕士还是要考察英语一的，对于英语成绩一般的同学，还是要慎重跨考。会计硕士学科简介：会计硕士专业学位（MPAcc）是一种技能类学位，是为了培养面向会计职业的应用型高层次会计人才。考试内容：（1）199管理类联考（2）英语(二)其中，管理类联考的内容包括：①初等数学 (算数、代数、几何、数据分析)；②逻辑推理 (形式逻辑、论证逻辑、分析推理)；③写作能力运用(论证有效性分析、论说文)。考察能力包括：数学思维、数字运算、语文理解、语文转换、语文知识运用、写作水平等，因此语文与数学能力的高低对于该科目而言能起到举足轻重的影响。小编点评：很多同学对于会计硕士考研还是有些发憷，一方面担心会计硕士也是考数学，另外一方面担心未来是否有发展前景。小编想说，会计硕士考察数学为初等数学，也就是大家初高中学过的内容。别紧张！大学毕业生学习初高中数学内容，简直就是降维打击，用心准备是没有问题的。关于就业，大家更不用担心。未来对会计要求也越来越高，不仅是单纯记账，还要更高阶的能力。可以预测会计硕士的前景和钱景都很好。如果觉得会计硕士竞争压力大的小伙伴，可以考虑新增加会计硕士专业一两年的学校，这类学校压力小很多。悄悄说一句，因为是统考，会计硕士择校期长，可以一直考虑到报名前，这也是考会计硕士的隐形福利哟！怎么样，听了介绍后，是不是对不考统考数学的专业有了新的认识？考研择校，特别是要考虑跨专业的问题时，一定要谨慎。当选定好后，更要拿出破釜沉舟的勇气。当然，无论最后做出什么决定，小编都会支持大家的。加油！

今日，多名网友发微博称，2018 考研数学出现“神押题”，考生怀疑发生泄题。教育部考试中心工作人员表示，已经了解到信息，正在核实信息，如若属实警方将介入。“考前押中【超纲题】26 日凌晨，多名网友在微博中发博称，2018 年全国硕士研究生统一招生考试数学科目出现“神押题”，一名名为“李林”的教师在考前押题视频中举的例题与实际考试试题十分相似。来自考生数学三的考纲要求掌握一阶差分方程，对二阶差分方程只需了解即可，基本上绝大多数辅导老师都是这样教的，可是这个老师在他的辅导班中不仅讲到了二阶差分方程，讲的题跟原题很接近，还有些题基本上就是数据变了下，如果说这是巧合，怕是难以服众吧。事件爆出后，有考研名师发布微博博文，不过很快被删除。网传押题视频“ 2018 李林押题班”共 4 段，总时长大约两三小时，课堂背景带有“中试考研”机构的字样。该机构实体为南京研道教育科技有限公司，注册资本 200 万元。公司法定代表人参股的另两家教育科技类公司此前曾被吊销。“中试考研”网站的“名师团队”栏目显示，李林系“考研数学大纲的制定者之一”，并且，“从事教学和考研辅导多年，具有多年数学考研教学经验”。据中试考研负责人刘老师称，李林是大连理工大学教师，双方系合作关系，授课材料均为李林方面提供，是其核心教学研究成果。大连理工大学数学科学学院官网载明，李林是该校数学研究所教师，研究方向为常微分方程。目前，考前押题授课视频已在视频网站删除。“考试中心回应：已在核查教育部考试中心工作人员表示，已经了解到信息，也觉得考生非常不容易，接到举报第一时间整理了相关视频的原件、截图和 PDF 文件，都提交给了教育部的相关业务部门，相关部门正在紧锣密鼓地进一步检查。如果是事实的话，警方将介入。“是否会想起16年最大泄题案2015 年 12 月 26 日是 2016 年研究生考试的第一天，有考生反映，就在英语考试开考前一个半小时，一份手抄的英语考题答案就已经流传在考研 QQ 群、微信群当中。事后经过核对，答案和考题竟完全一致。考研疑似泄题，一时间引起轩然大波。教育部通过官方微博通告，已经接到举报，报请公安机关调查。法院审理后查明：曹某是河南省第一监狱八监区三分监区分监区长，其所在的第八监区，长期承担印刷国内各类考试试卷的任务。而李思源、罗银山是在河南省第一监狱服刑的罪犯。李思源当初入狱，就是因为组织考试舞弊被判非法泄露国家秘密罪，罗银山则是因销售赃物、盗窃罪、聚众斗殴罪和非法持有枪支罪“三进宫”。服刑期间李思源发现，罗银山参与劳动的印刷厂内有“高考试卷”字样的档案袋，之后得知一些重要考试试卷在此印刷。于是他和罗银山多次商议，决定将来出狱后从第一监狱窃取试卷，对外招生组织培训挣钱。受刑满获释的罪犯百万报酬的诱惑，河南省第一监狱八监区三分监区分监区长曹某从负责印刷 2016 年度全国研究生考试试卷的第八监区偷拍了综合能力、政治、数学（一）、数学（二）、数学（三）、英语（一）、英语（二）、西医综合 8 张考卷，通过弹射装置将存储卡弹射到监狱外，最终造成 2016 年度研究生考试外泄到全国各地。2016 年全国硕士研究生招生考试泄题事件，是我国刑法修正案（九）作弊入刑施行以来，警方首次破获的大规模有组织考试舞弊案。在公安部指挥下，此次事件中处于窃题、传题、解题、招生、培训、组织作弊、替考各个环节中的全国各地多个考试舞弊团伙被破获，最终分别获刑。“千万不要 以身试法根据刑法修正案(九)新增的规定：在法律规定的国家考试中，组织作弊的，处三年以下有期徒刑或者拘役，并处或者单处罚金；情节严重的，处三年以上七年以下有期徒刑，并处罚金。为他人实施前款犯罪提供作弊器材或者其他帮助的，依照前款的规定处罚。为实施考试作弊行为，向他人非法出售或者提供第一款规定的考试的试题、答案的，依照第一款的规定处罚。代替他人或者让他人代替自己参加第一款规定的考试的，处拘役或者管制，并处或者单处罚金。其中，为他人实施考试作弊提供作弊器材或者其他帮助的，最高可判处七年有期徒刑并处罚金，惩罚力度明显加强。教育部考前声明：确保2018年研招考试安全平稳顺利研究生考试期间各地违规违法行为举报电话本文整合自：中青在线《考研数学被指出现"神押题" 教育部考试中心:已在核实》、法制晚报、中国青年报、央视新闻、微博

2021年考研数学（一）题库【历年真题＋章节题库＋模拟试题】第一部分历年真题2019年全国硕士研究生招生考试考研数学一真题及详解 2018年全国硕士研究生招生考试考研数学一真题及详解 2017年全国硕士研究生招生考试考研数学一真题及详解 2016年全国硕士研究生招生考试考研数学一真题及详解 2015年全国硕士研究生招生考试考研数学一真题及详解 2014年全国硕士研究生入学统一考试考研数学一真题及详解 2013年全国硕士研究生入学统一考试考研数学一真题及详解 2012年全国硕士研究生入学统一考试考研数学一真题及详解 2011年全国硕士研究生入学统一考试考研数学一真题及详解 2010年全国硕士研究生入学统一考试考研数学一真题及详解 2009年全国硕士研究生入学统一考试考研数学一真题及详解 2008年全国硕士研究生入学统一考试考研数学一真题及详解 第二部分　章节题库 高等数学 第一章　函数、极限、连续 第二章　一元函数微分学 第三章　一元函数积分学 第四章　向量代数和空间解析几何 第五章　多元函数微分学 第六章　多元函数积分学 第七章　无穷级数 第八章　常微分方程 线性代数 第一章　行列式 第二章　矩　阵 第三章　向　量 第四章　线性方程组 第五章　矩阵的特征值和特征向量 第六章　二次型 概率论与数理统计 第一章　随机事件和概率 第二章　随机变量及其分布 第三章　多维随机变量及其分布 第四章　随机变量的数字特征 第五章　大数定律和中心极限定理 第六章　数理统计的基本概念 第七章　参数估计 第八章　假设检验 第三部分　模拟试题 全国硕士研究生招生考试考研数学一模拟试题及详解（一） 全国硕士研究生招生考试考研数学一模拟试题及详解（二） 全国硕士研究生招生考试考研数学一模拟试题及详解（三） 更多资料2021年考研数学（一）考试大纲解析2021年考研数学（一）全套资料2021年考研数学（一）考前冲刺班找学习资料就上畅学苑学习网，助您乘风破浪一次通关！

数学历来都是考研成败的关键，今年就更是如此，原因大致如下：1. 历年的难度趋势：2014难-2015简单-2016史无前例的难-2017史无前例的简单-2018难，所以2019年大概率是要简单的；2. 近几年，好学校的专业课的难度逐年递增。过去很多前辈靠着往年的真题就可以轻松130+，现在的考生已经不太可能复制他们的辉煌了。所以，专业课对总分的贡献明显不如以前，重任自然落到同为150分的数学上；高数不比高考数学，高数分数可以在短期内显著提高。好的方法和一定的努力，高数完全可以拿110-130（110分不算少，18届清华复试很多考生数学不到110分，不过也是因为去年的数学比较难的缘故）。高数有100左右的基础题，这些题基本都是“送分题目”，但是前提是要把辅导资料按部就班的学好。关于辅导资料，我认为贵在精而不在多，大家完全可以认准一个老师的全程资料一直用到考研结束。像“宇哥”的18讲系列，或者李永乐、王世安的复习全书（李王）或者双李的复习全书（我认识一个用这本资料考149的），考生凭感觉选择自己顺眼的就行。不过，我个人还是推荐微积分（张宇）、线性代数（李永乐，李老师的辅导视频很好）、概率论（汤家凤或王世安，其实张宇的视频也不错）。以我用的李王的复习全书（微积分是张宇的18讲，但是为了方便描述，下面都叫做复习全书）和660题为例，给大家说一下我当时学习高数的一个规划：1. 第一遍复习全书，知识点不留死角；2. 第二遍复习全书，学完每一章节之后练习660相应的题目；（开始时间大概就是现在8月份上旬）3. 第三遍复习全书和660（只做错题），每星期做一套或两套历年真题（用的是张宇的，我的做题顺序是1989，2015，1990，2014…，这样依次错开。用老题目巩固知识，用新题目模拟实战，只留近两年的真题），全书和660做完之后差不多就到了11月。4. 接下来一直到12月上旬只做真题（配合全书，查漏补缺），在保证质量的前提下，把真题多做几遍。5. 之后直到考试：合工大五套、张宇四套（找虐），复习错题（全书，660，真题）。现阶段的主要任务是巩固提高阶段，大家做一些好的题目（660题、1000题任选一本）是很有必要的。时间是足够的，所以不要贪快贪多。

每一个考研人都知道，考研大纲对于考研来说非常关键，正确解读考研大纲是考研成功的前提。小编为大家精心准备了考研数学大纲发布后的复习要点，欢迎大家前来阅读。考研数学大纲发布后的复习重点了解对这样的概念、这样的公式和这样的理论，我们只要知道它是怎么样的概念和公式、理论就够了，不需要对它进行更多的讨论，它是怎么来的，用它怎样解决什么样的实际问题的，这个可能应该在以后的问题来讨论，对了解只是知道这个概念它是怎么样的概念，这个公式是怎样的公式，这样的理论是什么样的理论就够了，比方说提到了这样的概念，你就能知道这是在哪个地方的，是哪个问题当中的概念，达到这样的程度就行了，这叫了解。理解这要比了解高一个层次了，我们不仅仅要知道这个概念，而且要知道来龙去脉，这个概念为什么要提出来，从哪一个方面提出来的，这是一个方面，再一个方面对这个概念提出了之后将来要解决什么我要知道，我要达到利用这个概念能够解决我们什么样的问题的目的，就要把这个概念真正做到理解。掌握是所有要求中级别最高的，我们不但知道这个概念、公式或定理，而且要知道它们的来龙去脉，如何推倒出来的，对于这些概念、公式或定理应该不但知道将来能解决什么问题，而且在出现不同题型考察这个知识点时要回灵活运用，达到熟练解决问题的程度。会用这样的词出来之后，这主要是对于某一个概念会用，对某一个结论会用，对某一个公式会用，只要会用这个结论、概念、公式就够了，而对这个概念是怎么来的，对结果是怎么推来的，不追究它的来历，只要会用就可以了，比方说这个公式只要会用了，可以拿它解决问题就可以了，至于是怎么来的不关心。考研数学高数必看的定理证明1、微分中值定理的证明这一部分内容比较丰富，包括费马引理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒中值定理。除泰勒中值定理外，其它定理要求会证。费马引理的条件有两个：1.f'(x0)存在2. f(x0)为f(x)的极值，结论为f'(x0)=0。考虑函数在一点的导数，用什么方法?自然想到导数定义。我们可以按照导数定义写出f'(x0)的极限形式。往下如何推理?关键要看第二个条件怎么用。“f(x0)为f(x)的极值”翻译成数学语言即f(x) -f(x0)<0(或>0)，对x0的某去心邻域成立。结合导数定义式中函数部分表达式，不难想到考虑函数部分的正负号。若能得出函数部分的符号，如何得到极限值的符号呢?极限的保号性是个桥梁。费马引理中的“引理”包含着引出其它定理之意。那么它引出的定理就是我们下面要讨论的罗尔定理。若在微分中值定理这部分推举一个考频最高的，那罗尔定理当之无愧。该定理的条件和结论想必各位都比较熟悉。条件有三：“闭区间连续”、“开区间可导”和“端值相等”，结论是在开区间存在一点(即所谓的中值)，使得函数在该点的导数为0。该定理的证明不好理解，需认真体会：条件怎么用?如何和结论建立联系?当然，我们现在讨论该定理的证明是“马后炮”式的：已经有了证明过程，我们看看怎么去理解掌握。如果在罗尔生活的时代，证出该定理，那可是十足的创新，是要流芳百世的。闲言少叙，言归正传。既然我们讨论费马引理的作用是要引出罗尔定理，那么罗尔定理的证明过程中就要用到费马引理。我们对比这两个定理的结论，不难发现是一致的：都是函数在一点的导数为0。话说到这，可能有同学要说：罗尔定理的证明并不难呀，由费马引理得结论不就行了。大方向对，但过程没这么简单。起码要说清一点：费马引理的条件是否满足，为什么满足?前面提过费马引理的条件有两个——“可导”和“取极值”，“可导”不难判断是成立的，那么“取极值”呢?似乎不能由条件直接得到。那么我们看看哪个条件可能和极值产生联系。注意到罗尔定理的第一个条件是函数在闭区间上连续。我们知道闭区间上的连续函数有很好的性质，哪条性质和极值有联系呢?不难想到最值定理。那么最值和极值是什么关系?这个点需要想清楚，因为直接影响下面推理的走向。结论是：若最值取在区间内部，则最值为极值;若最值均取在区间端点，则最值不为极值。那么接下来，分两种情况讨论即可：若最值取在区间内部，此种情况下费马引理条件完全成立，不难得出结论;若最值均取在区间端点，注意到已知条件第三条告诉我们端点函数值相等，由此推出函数在整个闭区间上的最大值和最小值相等，这意味着函数在整个区间的表达式恒为常数，那在开区间上任取一点都能使结论成立。拉格朗日定理和柯西定理是用罗尔定理证出来的。掌握这两个定理的证明有一箭双雕的效果：真题中直接考过拉格朗日定理的证明，若再考这些原定理，那自然驾轻就熟;此外，这两个的定理的证明过程中体现出来的基本思路，适用于证其它结论。以拉格朗日定理的证明为例，既然用罗尔定理证，那我们对比一下两个定理的结论。罗尔定理的结论等号右侧为零。我们可以考虑在草稿纸上对拉格朗日定理的结论作变形，变成罗尔定理结论的形式，移项即可。接下来，要从变形后的式子读出是对哪个函数用罗尔定理的结果。这就是构造辅助函数的过程——看等号左侧的式子是哪个函数求导后，把x换成中值的结果。这个过程有点像犯罪现场调查：根据这个犯罪现场，反推嫌疑人是谁。当然，构造辅助函数远比破案要简单，简单的题目直接观察;复杂一些的，可以把中值换成x，再对得到的函数求不定积分。2、求导公式的证明2015年真题考了一个证明题：证明两个函数乘积的导数公式。几乎每位同学都对这个公式怎么用比较熟悉，而对它怎么来的较为陌生。实际上，从授课的角度，这种在2015年前从未考过的基本公式的证明，一般只会在基础阶段讲到。如果这个阶段的考生带着急功近利的心态只关注结论怎么用，而不关心结论怎么来的，那很可能从未认真思考过该公式的证明过程，进而在考场上变得很被动。这里给2017考研学子提个醒：要重视基础阶段的复习，那些真题中未考过的重要结论的证明，有可能考到，不要放过。当然，该公式的证明并不难。先考虑f(x)*g(x)在点x0处的导数。函数在一点的导数自然用导数定义考察，可以按照导数定义写出一个极限式子。该极限为“0分之0”型，但不能用洛必达法则，因为分子的导数不好算(乘积的导数公式恰好是要证的，不能用!)。利用数学上常用的拼凑之法，加一项，减一项。这个“无中生有”的项要和前后都有联系，便于提公因子。之后分子的四项两两配对，除以分母后考虑极限，不难得出结果。再由x0的任意性，便得到了f(x)*g(x)在任意点的导数公式。类似可考虑f(x)+g(x)，f(x)-g(x)，f(x)/g(x)的导数公式的证明。3、积分中值定理该定理条件是定积分的被积函数在积分区间(闭区间)上连续，结论可以形式地记成该定积分等于把被积函数拎到积分号外面，并把积分变量x换成中值。如何证明?可能有同学想到用微分中值定理，理由是微分相关定理的结论中含有中值。可以按照此思路往下分析，不过更易理解的思路是考虑连续相关定理(介值定理和零点存在定理)，理由更充分些：上述两个连续相关定理的结论中不但含有中值而且不含导数，而待证的积分中值定理的结论也是含有中值但不含导数。若我们选择了用连续相关定理去证，那么到底选择哪个定理呢?这里有个小的技巧——看中值是位于闭区间还是开区间。介值定理和零点存在定理的结论中的中值分别位于闭区间和开区间，而待证的积分中值定理的结论中的中值位于闭区间。那么何去何从，已经不言自明了。若顺利选中了介值定理，那么往下如何推理呢?我们可以对比一下介值定理和积分中值定理的结论：介值定理的结论的等式一边为某点处的函数值，而等号另一边为常数A。我们自然想到把积分中值定理的结论朝以上的形式变形。等式两边同时除以区间长度，就能达到我们的要求。当然，变形后等号一侧含有积分的式子的长相还是挺有迷惑性的，要透过现象看本质，看清楚定积分的值是一个数，进而定积分除以区间长度后仍为一个数。这个数就相当于介值定理结论中的A。接下来如何推理，这就考察各位对介值定理的熟悉程度了。该定理条件有二：1.函数在闭区间连续，2.实数A位于函数在闭区间上的最大值和最小值之间，结论是该实数能被取到(即A为闭区间上某点的函数值)。再看若积分中值定理的条件成立否能推出介值定理的条件成立。函数的连续性不难判断，仅需说明定积分除以区间长度这个实数位于函数的最大值和最小值之间即可。而要考察一个定积分的值的范围，不难想到比较定理(或估值定理)。4、微积分基本定理的证明该部分包括两个定理：变限积分求导定理和牛顿-莱布尼茨公式。变限积分求导定理的条件是变上限积分函数的被积函数在闭区间连续，结论可以形式地理解为变上限积分函数的导数为把积分号扔掉，并用积分上限替换被积函数的自变量。注意该求导公式对闭区间成立，而闭区间上的导数要区别对待：对应开区间上每一点的导数是一类，而区间端点处的导数属单侧导数。花开两朵，各表一枝。我们先考虑变上限积分函数在开区间上任意点x处的导数。一点的导数仍用导数定义考虑。至于导数定义这个极限式如何化简，笔者就不能剥夺读者思考的权利了。单侧导数类似考虑。“牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之一。它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科。”这段话精彩地指出了牛顿-莱布尼茨公式在高数中举足轻重的作用。而多数考生能熟练运用该公式计算定积分。不过，提起该公式的证明，熟悉的考生并不多。该公式和变限积分求导定理的公共条件是函数f(x)在闭区间连续，该公式的另一个条件是F(x)为f(x)在闭区间上的一个原函数，结论是f(x)在该区间上的定积分等于其原函数在区间端点处的函数值的差。该公式的证明要用到变限积分求导定理。若该公式的条件成立，则不难判断变限积分求导定理的条件成立，故变限积分求导定理的结论成立。注意到该公式的另一个条件提到了原函数，那么我们把变限积分求导定理的结论用原函数的语言描述一下，即f(x)对应的变上限积分函数为f(x)在闭区间上的另一个原函数。根据原函数的概念，我们知道同一个函数的两个原函数之间只差个常数，所以F(x)等于f(x)的变上限积分函数加某个常数C。万事俱备，只差写一下。将该公式右侧的表达式结合推出的等式变形，不难得出结论。考研数学概率复习指导在文字叙述题上下功夫考生一方面多做些题目，尤其是文字叙述的题目，逐渐提高自己分析问题的能力。另一方面花点时间准确理解概率论与数理统计中的基本概念。考生在复习过程中可以结合一些实际问题理解概念和公式，也可以通过做一些文字叙述题巩固概念和公式。只要针对每一个基本概念准确的理解，公式理解的准确到位，并且多做些相关题目，再遇到考卷中碰到类似题目时就一定能够轻易读懂和正确解答。会用公式解题概率论与数理统计中的公式不仅要记住，而且要会用，要会用这些公式分析实际中的问题。我在这里推荐一个记忆公式的方法，就是结合实际的例子和模型记忆。比如二向概率公式，你可以用这样一个模型记忆，把一枚硬币重复抛N次，正面朝上的概率是多少呢?这样才是在理解基础上的记忆，记忆的东西既不容易忘，又能够正确运用到题目的解决中。对概率论与数理统计的考点整体把握考研中，概率论的重点考查对象在于随机变量及其分布和随机变量的数字特征。所以对于第一条中所讲的古典概型与几何概型这部分，只要掌握一些简单的概率计算就可，把大量精力放在随机变量的分布上。数理统计的考查重点在于与抽样分布相关的统计量的分布及其数字特征。心理上要重视考研数学试题中有关概率论与数理统计的题目对大多数考生来说有一定难度，这就使得很多考完试的同学感慨万千，概率题太难了!同时也为学弟学妹们传达了概率题目难的信息。所以同学们在复习之前就已经有了先入为主的看法：概率比较难!但同学们没有注意到，在自己复习之初做得准备都是关于高等数学(微积分)的，在概率上的时间本身就不足。而且如果你的潜意识中觉得一件事情难的话，那么那件事情对你来说就真的很难。我一直认为，人的潜力是非常巨大的。这也与“有多少想法，就有多大成就”的说法相合。如果你相信自己，那么概率复习起来是简单的，考试中有关概率的题目也是容易的，数学满分不是没有可能的。那么，从现在开始，在心理上告诉自己：概率并不难!在认真熟悉教材上的原理与概念，深刻了解基本概念、基本性质。在同学们以后的复习过程中注意以下几个问题，通过做题来检验自己的复习程度。概念不清，只会背不会运用;不能正确地选择概率公式去证明和计算;不能熟练地应用有关的定义、公式和性质进行综合分析、运算和证明。分析有误，概率模型搞错。

新闻聚焦2017年12月25日，2018年全国硕士研究生招生考试结束后，有网友指出，考研数学出现“神押题”，南京中试考研“命题专家”李林“押中”题目达80%，“甚至连超纲的二阶差分都反复强调。”一时间，“考研数学疑似泄题”事件迅速发酵，这位考研机构宣称的“数学名师”引发热议。12月26日，李林通过微博“辟谣”称：“押中”的题目我已讲授多年，自己也从未参与考研命题及考研大纲制定。同时，他声称，自己从未在线下对任何学生进行收费的考研辅导。而大连理工大学发出《通报》称，将对李林参与社会考研辅导活动的行为进行严肃处理。当晚6时29分，教育部新闻办通过官方微博发布消息：确认李林所举例题均与实考试题不同。同时，李林并未参与2018年研究生招生考试数学科命题工作。“神押题”事件很快平息，而李林就此爆红。李林终于成了“名师”。但此次事件发生后，南京中试考研随即将他的资料从官网撤下。▲李林资料已从中试考研官网撤下这位54岁的大学讲师常年被宣称为 “考研数学大纲制定者”。在对李林的介绍中，考研机构会着重强调这几个字，或者放大、加粗、置前。但现在，这个“称号”已被教育部证伪。十多年间，李林被考研机构包装成“押题圣手”、“王牌名师”、“知名985院校数学系主任”甚至“考研数学命题组大组长”。但这位“名师”，在大连理工大学内，却只是一位“处在淘汰边缘的讲师”。“神押题”事件后，李林告诉红星新闻，“我没什么好说的”。而网友关于李林的讨论仍在继续，有人力挺，有人责骂。真实的李林到底是怎样一个人？风华正茂的押题“名师”● 海报最中间的“大佬”54岁的李林在迈入考研辅导领域后，成了海报最中间的“大佬”。在2017年12月26日的《个人声明》中，他曾提及，自己是2015年开始参与考研辅导的。只是，一开始，他仅被称为“老师”。2005年1月5日，考试前，他受搜狐网邀请，为考生释疑。▲2005年1月，李林受邀为考生释疑一年后，李林以北京导航考研辅导专家的身份参加了腾讯及新浪关于考研数学的访谈节目。组织方在介绍李林时，称其“长期在北京导航考研担任数学主讲老师”，是“数学教授”，并“参与考研大纲命制研究”，“屡屡命中考题”。▲2006年，李林应腾讯教育邀请点评2006年考研数学答案此后多年，“考研数学大纲制定者”成了李林最显眼的标签。连续数年，考试前后，李林都会受腾讯、新浪等邀请，对当年的考研数学进行考题预测或分析。▲2007年，李林（右）作客腾讯网分析当年考研数学试题有人称，在考研辅导领域，李林“一出生”便风华正茂。相对“考研数学大纲制定者”，部分考研机构更愿意强调李林在“押题”方面的成绩。因此，除了“基础”“强化”等阶段性课程，李林的“押题班”极为抢手，在考研机构的宣传语境中，一般以“重磅”加以强调。在中试考研官方微信中，红星新闻看到，2017年12月11日，中试考研曾发布《喜大普奔，中试考研独家发布李林老师18考研数学终极押题班视频录播》，文中称李林曾多次押中考题，并附上多张照片以作佐证。课程名则更为直白：《李林老师考研数学终极押题班，去年命中60分以上》。在福建某考研机构的宣传海报中，李林被冠以“押题圣手”的称号。他的个人照片登上巨幅海报，被挂在校园多个角落，像明星一般。这家辅导机构的工作人员向红星新闻证实，李林确曾在福建亲授“考前数学押题班”。▲某考研机构将李林宣传为985院校数学系主任、“押题圣手”而在另一家考研机构的海报中，李林成了“2018考研数学救命稻草”：亲临，限招50人，3800元，“两天真题密训，最少提高30分。”▲李林被考研机构冠以“押题圣手”2017年12月25日，2018年全国硕士研究生招生考试一结束，“考研数学疑似泄题”的消息就开始在网上扩散，但很快被辟谣。不过，实名认证为“知名读物博主”的@我不是谦哥儿 对李林“神押题”视频中提及的知识点及例题与真题做了详细对比，结果显示：在150分考卷中，李林“押中”分数分别为数一72分，数二80分，数三68分。泄题事件很快平息，但李林却一夜爆红。● 学生眼中的“热门老师”在声名鹊起的同时，李林备受争议，甚至连他任职的大连理工大学也背上了骂名。虽然官方已经辟谣，但不少考生聚集在李林实名认证的微博下评论，“多少考生的未来被无辜改变？”尽管如此，李林的学生却为他抱不平。大连理工大学建设工程学部毕业生杜飞（化名）就是其中一人。他告诉红星新闻，自己虽已毕业，但看到曾经的老师被人质疑，“心里很不舒服。”2009年至2010年，李林曾是杜飞高等数学老师。杜飞回忆，2009年10月，他第一次见到李林，和蔼、沉稳、认真，“板书很厉害，一节课，四五个黑板。”在杜飞眼中，李林总是一副形象：灰色西服、衬衫配着马甲。他说，在大连理工大学内，李林的数学课较为抢手，“挨着的两个教室，两个老师同时开课，一开始选课人数差不多，但上到后来，李林班上有100人，而另一班仅20人左右。”同时，张清（化名）也力挺李林。她今年大四，也参加了这次研究生入学考试。她告诉红星新闻，在考试前，大连理工大学城市学院曾组织一次考前拓展，李林教的“高等数学、线性代数、概率统计”，共计80个学时。“这是一次免费的考前辅导，毕竟选拔性考试并不容易。”张清回忆，李林会强调些许未考的题目。李林极为朴素，旧西装，掉了色的茶杯，有点破烂的手提包，这是他的“标配”，“他爱抽烟，下课后，同学们就围上去，他没法休息，但也耐心地为同学们解答问题。偶尔在食堂遇见，他也只是吃个快餐。他值得被尊重。”一位低年级的同学也“替老师抱不平”。他说，李林曾是自己的工科数学老师，“他是那种温文尔雅、很有风度的人，上课全是手写板书，讲得细致且认真，主要是，都能听懂。”在大连理工大学西山学生生活区内，红星新闻找到李林现在的学生。在他们眼中，李林朴素、认真，一副老学究模样。他的口碑极好，选课时，他是热门老师，“并不容易选上。”“处在淘汰边缘的讲师”● 他是办公室的“稀客”▲学校官网关于李林的教师信息在大连理工大学数学科学学院内，李林只是一位普通讲师。在办公室铭牌中，他的名字和其他6位老师挤在一起，铭牌后则是一间约20平方米的小屋。在中国知网上，甚至很难检索到李林发表的数学论文，他的著作也无非《考研数学真题分类解析》之类。近些年，李林活跃在考研机构的海报上，却是自己办公室的“稀客”。连续两天，红星新闻都未等到李林的出现。同一办公室的一位老师告诉红星新闻，他和李林并不熟悉，“很久没见他了……”他指着斜对面的两张办公桌，“其中一张是他的，到底是哪张，我也不清楚。”他直言，李林基本不在办公室，有课直接就去了，下下周考试，他会回来监考。而李林办公室对面的办公室里的数位研究生助管，如果不是这次泄题事件，他们甚至不知道李林的存在。而另一位与他“共事”多年的同事则称，其与李林并不熟悉，很少见到他。事实上，他们的办公室仅距约百米。一位不愿透露姓名的教授自称是整个学校最了解李林的，但也有很久没见到李林本人了，“具体多久，我记不清了，一年一次吧。他就是这么一个大家都不认识的老师，就是这么奇怪。”● “他的科研几乎为零”李林涉嫌泄题事件发酵后，这则消息很快传到了他所在的学院。在教育部辟谣前，该学院一位负责人曾告诉红星新闻，李林并非出题人，“有啥本事泄题？他只是个讲师，资历浅，没有泄题的基础。再说，他这么多年，搞教学，能押到知识点很正常，如果连百分之三四十都押不到，那就不合格了。”“押题圣手”没本事？网友们纷纷质疑，“没本事的”李林如何能在一所教育部直属的全国重点大学中任教？但在另一知情人眼中，李林是“全院最不知名的人。”他说，虽然自己不知道李林是何时开始参与考研辅导的，但他肯定，“（李林）没有背景，只是普通老师。在学院内，他没有任何地位，处在被淘汰的边缘。他没有科研，校内外的名声是两回事。”他强调，李林只是个讲师，“大多数人都不知道他的存在，怎么可能是个名人?（他）是最没名的，在这儿混不下去了。外面无论怎么包装，都是商业行为。”“说他科研是零，有点武断，但客观说，可以忽略不计，你在网上搜不到他的科研成果。”该知情人士称，李林系北师大毕业，平时不坐班，曾隐约听到他在参与考研辅导，但完成了每年的工作量就好。他告诉红星新闻，考研和研究没有任何关系，那是专门训练，为应付考试，“他一天不想别的事，只想一件，10多年就琢磨哪些会考，哪些不会考，历年题目倒背如流。”所以，押到题也正常。“他就在那个被淘汰的边缘上，只能说幸运。有一次淘汰了3个人，而他就在那个位置。”不过，他也认可李林有自己的“强项”：他讲课还行，比较稳定，又没出现教学事故。“我感觉，他对科研投降了，就专门吃（考研辅导）那碗饭。”“神押题”事件被曝出后，大连理工大学通报称，将严肃处理李林。但截至目前，8天过去，处理结果尚未公布。在该校党委宣传部办公室内，一位工作人员告诉红星新闻，对李林仍在调查中。该校一位老师回忆，事发后，李林未在办公室内出现，但仍在正常上课。