考研数学一卷

大家好，我是老梁！今天继续推出《考研数学真题一题多解系列》第二期！本期为大家精选了一道2019年考研数学一、二、三试卷共同的一道题，是一道无穷小量比较的问题。无穷小量比较问题是考研数学高频考点之一，每一年都会考（尤其是数学二）。通常以客观题（多数选择题，少量填空题）的形式出现，也会以主观题的形式出现。经常出现的有两种题型：一是无穷小量关系的比较，即将若干个无穷小量(通常是三个)放在一起，比较谁是谁的高阶、低阶、同阶、等价无穷小量等，二是已知两个无穷小量的关系(例如高阶、低阶、同阶、等价等等)，然后把无穷小量中所含的参数反求出来。不管是哪种考法，其解决方法都是类似的，即洛必达法则法，泰勒公式法及无穷小等价公式法等。对于客观题，有时还可以根据函数、极限相关的知识点或技巧解决。先看真题，这是第二种考法。已知两个无穷小量的同阶关系，反求无穷小量中所含的参数的问题，难度并不大，利用常规方法就可以解决。【例002】（2019数一、二、三）【分析一】常用的方法就是定义法和无穷小等价公式法。（1）定义法根据无穷小同阶的定义写出下面的极限式然后利用求极限的方法：洛必达法则、泰勒公式等计算其极限。（2）无穷小等价公式法利用已知的无穷小等价关系，将两个无穷小都等价于同一个幂函数无穷小，然后再求参数。【分析二】上述两种方法都是常规方法，然而有时客观题常常需要根据本题条件及选项的特点采取非常规方法，如排除法。本题即可根据函数（无穷小）的奇偶性以及两个等价无穷小的性质排除掉错误选项，从而得到正确选项。【评注】本题难度不大，对于无穷小比较问题，解法一和解法二，洛必达法则，泰勒公式法及等价无穷小这三种方法最为常用，其中解法二简单，但要记住此等价公式。解法三，利用函数奇偶性质和两个等价无穷小之差一定高阶无穷小性质求解这类问题，则比较新颖。实际上，无穷小比较的本质上还是函数极限的问题，因此函数的性质（四大特性）及极限的性质（保号性，有界性等）都可以用来解决这类问题。同学们这些方法，都get到了吗？ 如果是你，会用哪些方法解题呢？欢迎留言分享。相关链接考研数学｜真题一题多解系列，精选001考研数学｜上岸985，等价无穷小要掌握到什么程度？考研数学，一文搞懂无穷小可以等价替换的5个情形考研数学｜变限积分函数无穷小的等价性

每年很多考研学生面对考研的时候，总是担心数学，因为数学确实是非常让人头疼的一门考研科目，尤其是里面的一些很难得知识点，比如双重积分，比如概率论等都有很多让人捉摸不透得东西在里面，所以历年来数学是考研学子中担心最多得科目，甚至很多学生因为害怕数学而被迫选择其它专业。因为数学拉分是非常凶的，成绩好的可能考140，成绩差的甚至连40都难，可见差距有多大，但是这门科目的成绩又很被导师看重，因为大部分工科专业中对数学的要求是很高的，而且研究生期间还需要学习相关课程。不过现在很多同学关心考研数学的一个问题是，考研数学到底有没有明确的单双年之分？所谓单双年之分，也就是说如果今年数学难，那么明年就必然简单，以此类推，很多同学都非常关心这个问题，因为通过历年的考试难度来看，确实有些试卷很简单，有些又特别难，所以大家自然关心有没有规律可循。那么木哥就告诉大家，很明显是没有明确的单双年之分的，但是每年的难易程度肯定是有差距的，所以不要把时间用来纠结单双年，有那时间还不如多去看会书。其实数学现在相对于前几年来说，难度上有所增加，的人个别年除外，总之有个特点就是现在越来越注重大家的基本功了，尤其是计算量上面有所增加，这对于一些眼高手低的学生来说，简直就是致命的，某些题目看上去都会，但是就是算不出来，那么你也就只能拿一部分分数，这些差距就出来了。所以不管数学怎么变，最终都是以基础为主，大家只需要脚踏实地，稳扎稳打，用血去领悟每个知识点，知其然知其所以然，更重要的是勤动手，这样几轮下来，必然就能打下坚实的基础，那么你肯定能考出好的成绩。所以对于20考研的学生来说，如果你们要面对数学的话，就应该马上开始去进行第一轮复习，最好是以课本为主，结合视频一章章解决，每个题目都动手去做，第一轮基础非常重要，以后木哥也会专门去写的。

首先说一下，我是19年考研数学一，考了135+。对于数学学习复习有着独特的见解，我相信只要基础按部就班一点一点学，加以大量做题总结，不论题目难度130+总是可以的，不论题型怎么变，你积累的实力就就在那里。首先第一点，基础一轮复习一定要扎实，一定要全面，一定要弄懂。第一轮复习是让你对整个考试大纲的全面解读，个别难点疑难点像定积分的物理运用，曲线曲面积分等可以放二轮解决，其他基本知识点结合网课和少量的题目一定要搞懂，不然你到后面二轮，别人都在强化提高，你还在补基本知识点，这是万万不行的。下面是在一轮复习的常见的几个问题如下:Q1:我一轮复习很慢，别人都看到概率论了，我高数还没看完，是不是没救了？A:立即推放弃考研…。哈哈开玩笑，每个人的进度都是不一样的，每个人自身情况不同，有的人可能准备的时间很长，所以进度相对快。所以大家一定要根据自己的实际情况，制定计划，只要能完成任务的计划都可以。不要让别人的计划影响你，这一点在其他科目也适合，千万不要拿别人的量尺去量自己的身材。Q2:我一轮复习只看网课，复习全书。看完然后一起做题行不行？A:不行！！！千万不要这样做，一旦你这样做你就会发现去做题时还要再去看一遍网课。这样效率是极其低的，你应该看完一个章节或者模块然后立马去做题，你看一个知识点1个小时，你做题要花2-3小时才能基本掌握，做题在数学里是非常重要的，只有通过题目你才知道你是否掌握了这个知识点。题目和知识点一定要齐头并进。Q3:我一轮复习先看概率论，再看线代最后看高数可以不可以？A:最好不要这样做，因为高数的知识点会穿插在概率论和线代中，所以如果你按这样的顺序复习，效率会很低，一般都是高数线代概率论。（问题还有好多好多，等你自己实际行动起来就会发现，当然也欢迎留言，我也会积极回答你的问题）在考研数学一轮复习过程中最重要的一点就是总结，笔记非常重要，这可能决定了你以后数学的高度，附上我的一张笔记:笔记是你以后复习的一个重要工具，知识点，知识盲区，易出错点，常用公式等等都可以在笔记中记录。学长我喜欢做总结，我一般在做完题目都会做个总结，针对不会的点，出错的点等等，这个在二轮复习做练习，以及冲刺做模拟卷非常重要，也希望大家能养成一个习惯，有意识的去做总结，这并不会浪费你太多时间，反而它的收货却是巨大的，它让你不会一而再再而三的掉进同一个陷阱，极大地提高你的效率。最后关于一轮复习就先说到这里，我有点饿了，去吃饭了，如果大家有什么问题都可以留言咨询，我一定会回答你。希望大家能给新人一点支持订阅一下我，我以后会分享一下关于学习疑难点的有效解决视频，和研究生的日常。谢谢大家支持！！！

2020年全国研究生考试，对于众多参考学生而言注定是一个煎熬的过程。先不说今年341万创纪录的报名人数，光是政治、英语、数学就让众多考生纷纷留下了辛酸的眼泪。近几年，研究生参考人数呈大幅上升的趋势，究其根本原因还是因为现在本科学历的贬值，以及就业单位对于学历的高要求。所以大多数参考学生是为了让自己获得更高学历便于找到一份好的工作，获得比较可观的薪资。所以真正想考研走学术道路的人，少之又少。当然这种想法也是无可厚非，毕竟是大势所趋。但是随着研究生参考人数的大幅增加，高校研究生录取名额却没有同步增加，那这就意味着竞争会更加激烈。尽管大家在参加考试之前都做了充足的准备，确实付出了努力与汗水，但是不得不承认肯定会有部分考试发挥并不理想。而且今年无论是政治、英语、数学难度都不低，对于广大考生而言，这次考研经历无疑是煎熬的。政治考完之后，因为后面还有英语、数学、专业课，尽管发挥不是特别理想，但是对于大家而言，至少还有希望，毕竟还剩下3科，可以发挥的空间还很大，还有扳回一城的机会。然而随着英语考试的结束，大家的心态开始崩了。尤其是考一卷的同学，太多的生词，很多不常见的词出现在试卷中，导致众多考生有苦说不出。比如文艺复兴对应的单词Renaissance，很多网友均表示没见过，最后只能猜，结果猜成了一个人名。英语考试结束后，不少考生均表示没有做完试卷。这下可好，政治考完心态渐崩，英语考完，心态到了崩溃的边缘。然后咬着牙硬着头皮来到了第三场，数学考试。对于数学考试，相信大部分学子还是很有信心的。毕竟不像英语有语言上的障碍，至少数学考试能看懂题。再加上大家之前做了大量的模拟题、真题，对于数学的考试套路已经有所研究或者说已经做好了相应的准备工作和应对措施。尽管大家都知道考研数学会有一些难度，但是进了考场之后才明白，还是低估了此次数学的难度。就像网友的一句发自内心地感叹：“我知道它难，但是不知道它这么难！”据网友反馈，进场前他以为考研数学是这样子的：“至少会让你感觉能做，但是做不出来。至少内心还有个念想，还能去思考的欲望。”然后看了卷子以后，事实是这个样子的：“题完全看不懂，压根没有做下去的欲望，更别说思考了，一点考试体验都没有。直接被拒于千里之外。”但是再难的数学，也有硬核学霸。据网友反馈，考试结束后，学霸们开始估分，不少表示保守估计130+（满分150）没问题，但是反观自己不保守估计59分。这差距，不得不说数学的确是超级拉分的一个科目，尤其是难度较大的时候。这个时候学霸和普通考生之间的差距就被明显拉开了。所以考完数学之后，很多考生都是带着崩溃的心态很不情愿地参加了最后的专业课考试。至于最终结果，他们似乎不再关心，只知道这一次的考研体验很不好。每一场考试都无比煎熬。转眼间，考研大战已经结束。但是希望同学没放宽心态，不要过于气馁。水涨船高，水降船低。由于今年的考研试题难度较大，对应的分数线也不会太高。所以要难大家一起难，就别有过多的心理包袱。也别盲目地和学霸去比，不然你的内心会遭受极大的打击。其实近几年全国考研的平均成绩都不是很高。去年也才六十多分。所以，如果此次数学估分能有70分，那么你几乎已经超过一半的人了。也别过于自责。当然，给还未参考的同学们一些建议，以当前考研出题形势来看，想遇见原题的概率越来越小，考试的知识也越来越活，那么就不能单纯地靠刷题来保证获得高分，更重要的是要明白那道题为什么要那样做，要明白题目中的求解原理，而不是单纯地记住了解题步骤。不管题目怎么变，原理是不会变的。深刻理解解题原理，并灵活运用才能做到以不变应万变。不然就算你刷了几十套真题，到头来也起不到让你满意的效果。所以，多看一些有趣味的书，多培养一些数学兴趣，明白里面的原理，而不是单纯刷题就显得更为重要。

正如高考一样，考研是一场没有硝烟的战争，思想上容不得半点松懈必须身体力行不懈努力才能胜出，从这个意义上讲考研的难度并不亚于高考但将二者相提并论并无多大意义，这点仁者见仁智者见智，并非行文重点在此不作细说。不知道大家听没听过这样一句话，考研失败的某学长学姐说，如果再来一遍，我会从大一就开始准备考研数学。这句话回想起来真的对吗？考研数学真的是越早开始越好吗？今天启航考研周老师就跟大家分享一下学员的考研数学复习规划。考研数学分为一二三，都是150分的试卷。开始的十月份，之前是慢慢把高数和线代课本一字不漏地看了一遍并穿插着课后题一题不落地做了一遍。接近着就到了暑期，在空调教室里听课成了一种享受，数学张宇老师讲的超级赞，有时间可以看看张宇老师的高数十八讲据说往年常命中过真题。九月的复习安排是：数学精做李老师的线代；十月份的复习安排是开始全面出击！具体：十一这一学习黄金周内将数学全书和线代讲义第一遍干掉，尔后将暑期数学笔记细细消化吸收到最后甚至能背下来；金秋十月收获颇丰，十一月我干劲十足，卯足劲按照既定计划坚决执行数学全书看第二三遍，然后开做真题，用得是李老师《历年真题解析》即二李真题，先总合做再分类做；时间安排是每天12个小时，下午数学2~6点抽整块时间做真题，从后往前一套套的做，起初可能会受到打击，不间断地在痛苦中总结和改进，直到后来做起来游刃有余为止，依照我的经验，如若会做的都能得分，则数学考120问题不会太大。日历便翻到了十二月数学真题分类做完注意由于时间所剩无几只做当时真题做错的题这在对答案时已经标出了；倒属第三周我的安排是：数学真题看完第二遍后开始做《考研突破135》;专业课继续真题第二遍并做完。倒属第二周我的安排是：数学不再做《考研突破135》因为其后几张卷子偏难，我感觉不适合我做便不再做了，开始做张宇的《最后八套卷》;最后一周的安排是：数学继续做张宇的《最后八套卷》，由于后来实在时间就只做了张宇老师所画的重点题目。选择考研是人生的一大幸事，经历考研全程则是人各个方面从量变到质变的飞跃，考研成功更是人生的一场华丽逆转，犹如蝶之破茧凤之涅盘人之脱胎换骨一般。 一路所经历的困苦必将成为今后人生的一笔宝贵财富。考研是一场真正意义上的修身养性，她能使我们涤荡心灵磨练意志、打磨青春的棱角、发人奋进促人成长使人走向成熟！青春不能重走，人生没有彩排，做事我们只有一次会，只有把握得住才能做到极至！

记得在2018年考研的时候，数学太难荣登了热搜榜，2019年考研数学结束的时候大家反应平平，莫非2019年考研数学不难？其实有部分同学表示做了好多题目，可是还有不会的题目。你觉得2019考研数学难么?1、2019考研数学不难？考试结束后，有网友发感慨：“看来今年考研数学不是很难嘛，都没有出现考研数学难的热搜。还比不过隔壁英语debate和rural的两个热搜，希望明年的考研数学也不要难，感谢！”、“都在说数学简单，就我一个觉得数一难吗？”从微博热搜来看，2019考研数学反应平平，大家对今年题目应该是没有什么太大的感觉，看来2019考研数学不是很难。2、拉开分数考研数学是考试中最能拉开分数的科目，考研数学150分，得分高的同学可以考140+，而得分刚刚过线的同学可能只有70+，这样一来直接导致分数相差60多分。而按照大家的水平，政治一门科目差不多也就是60多分，相当于比别人高出一门课的成绩。所以，如果你考研的考试科目有数学，那么一定要认真复习。3、数学一、二、三难度日趋相同考研数学分为数学一、数学二和数学三，随着近几年出题的改革，这三种试卷的题目难度也日趋相同，甚至线性代数的题目在数一、数二、数三都能出现。由于不同专业对于数学要求不同，所以考研数学又细分了三种，大家在报考的时候一定要看清楚自己考试科目。4、学渣：数学不会就只能写个解尽管我们都知道在作答的时候不要空着，但是数学跟政治、英语不同，政治不会的可以把自己觉得对的都写上 ，英语作文不会的可以抄一下阅读理解，数学不会的真的就只能写个“解”。有的同学表示可以把题目抄上，其实阅卷的时候，老师不会因为你抄了题目就给分，反倒觉得是在浪费时间。数学题目不会的就只能把自己记得的公式写上，尽可能写一下推导过程，其他的也没办法，毕竟数学不会就真的不会。考研数学是考试科目最能拉开分数的科目，大家一定要重视对数学的复习！

为什么要做模拟题？再好的模拟题也比不了真题，做模拟题的主要原因是真题不够用，真题也就30多年，做完了就没了，那怎么办？可以拿模拟题练手！模拟题都有什么特点？一.题目新颖，灵活，难度大。做惯了真题可以适当做做模拟题，因为模拟题的难度要比真题要大，正所谓见多识广，适当的提高题目难度，有利于提高自己的解题能力。同时能提高抗挫折能力，培养自己如何在许多题不会做的情况下坚持把题目做完而不心态崩溃。比如2016年，2018年考研数学很难，很多人平时没做过这么难的题，考场上越做越崩溃，最后该会题也不会做了导致发挥失常，这就是心态问题。二.计算量大别看考研数学时间有三个小时，有80%的人做不完题。为什么？因为考研数学计算量很大，方法不对，一道积分能让你算半天，可能最后结果还是错的。所以要想考场上做完题，平时必需进行大量的练习，确保计算能力过关。最好的方法就是做模拟题，模拟题的一个特点就是计算量大，如果做模拟题都能确保三个小时内做完，再去做真题可以缩短时间到两个半小时。怎么做模拟题？即然是模拟一定要考场的要求，算好三个小时，期间不上厕所，不查公式，到点停笔，做模拟题的目的是查漏补缺，因此不要太在意分数！数学常见份模拟题有张宇的四套卷，八套卷，这个难度很大，供想要冲击130分以上的同学练习。《李永乐6+2》难度和真题接近，题目很经典，但题目较老，有许多二级公式可以学习。《汤家凤八套卷》和真题接近，但比真题略简单，临考前2周拿这个练手，保持手感。最后，模拟题毕竟是模拟题，复习时间晚的同学还是以真题为主，做完了真题可以尝试做做模拟题。考研数学是个系统性的工程，最好每天都学，切忌不可间隔两天以上不复习。

考研数学主要有三类，数学一、数学二、数学三，其中数学一、数学二的难度较大，也是理工科考研的必考科目，数学三的考试难度较低，主要是针对金融学、统计学之类的学科。不管是哪一类数学，想要考的高成绩，都不容易。2019年考研数学初试成绩在全国的平均分是：数学一65.69分，数学二71.87分，数学三76.80分。在考研数学的真题中，中档和中档难度以下试题占大多数，难度由适中偏大，所以平均分在70分左右。考研数学考多少分好？因为理科和工科大多数专业会考数学，所以就按照这两类学科的分数线进行分析。2019年理学学科的国家分数线是62分，工学学科的数学国家线是59，就根据全国平均分而言，考到70多分还是有希望进复试的。但是如果说考多分比较好？那肯定是越高越好，因为对于理工科而言，研究生导师会更加喜欢数学分数高的同学，因为数学分数高的同学，计算能力也会很强。考到数学平均分的位置还是比较危险的，说明在这个分数段的考生人数比较多，竞争压力自然就大，如果总分再不高，就很有可能被挤出进复试行列，所以对于刚过国家线的同学来说，有进复试的可能，但是具体情况还是要根据所报专业和院校而定。就拿34所自划线院校来说，北京大学2019年理学学科院线是310分，其中单科分数线是90分，工学也是一样；清华大学2019年理学学科院线是320分，其中单科分数线是80分；华南理工大学2019年单科分数线是80分，电子科技大学2019年单科分数线是70分。所以，如果只是刚刚过国家线，报考的院校是34所自划线院校的话，基本上就没有录取的可能性了。每年都有考到130+的大神出来分享学习经验，大家可以在多学习他人的优秀之处，改善自己的不好习惯，但是还是要注意，3分看、7分做，在练习中找到自己的不足，而不是在冥想中。大家在复习考研数学的时候，前期做题不用很快，用6个小时搞完一套卷，从开始写题到对答案、再到总结思考，但是到了复习后期，一定要注意加快速度了，如果还是用6个小时才能写完一套题，就像研友说的，就算得140分，但是实际得分只有70分。大家在平时复习中，可以参考当年院校考研数学分数，然后以此为目标刷题练习，不能只以国家线为终点，在进复试和录取人数时，看的还是考研分数的高低。考研加油！考研王老师祝愿所有考生都能驰骋考场，金榜题名！

考研数学复习大致可以分为三个阶段，分别为基础阶段、强化阶段和冲刺阶段。以上三个阶段的总体安排和具体任务又是什么呢？错过了基础阶段的最佳复习时间又该怎么调整呢？完成每一阶段要达到怎么样的复习效果呢？相信在今天这篇文章可以解答你的疑惑。【基础阶段的总体安排】 数学基础阶段按理从3月初到6月底，错过基础阶段意味着无法完成和之前同学一样多的任务，所以减少任务量是必须的。这个时候不要犯强迫症，认为自己少学了就考不上之类，毕竟来得晚，时间紧，任务又重。具体哪些内容调整，需要根据自身水平和考试重点和难点具体调整。第一，【数学基础阶段的3大任务】（1）理解基本概念；（2）记住基本公式（基础阶段不要养成边做题边翻公式的坏习惯，而是要先搞透公式再愉快的做题，这样效率高，还有利于锻炼数学思维）；（3）会做经典题型（数学的基础阶段没有必要大量的做题，而是应该花时间在理解基本概念、记住基本公式上。数学不是靠做越多题，就能学得越好。基础阶段要求做经典题，而不是做偏题、难题、怪题，切勿钻牛角尖，这不是数学竞赛，而是考研。基础阶段能做完典型例题和每节的测试题以及阶段模拟题就已经足够了，最重要的还是要在基础阶段形成举一反三的能力）。第二，【数学基础阶段的具体学习安排】每天安排时长5-6小时，一天平均要完成1~2节的课程，灵活调整，避免中断。但是无论完成几讲，都是完成一讲的视频——讲义——习题后再进行下一讲。（1）视频课程的看法：复习时间早的话视频一讲一讲得看，看视频讲解的时候老师讲什么就记什么，不会的点记录下来，听完课程后再回头看这个点，不懂反复看，如果还是不会不要纠结进群问别人。（2）复习讲义的用法：看完视频后，将讲义上的基本概念，公式熟稔于心，到能够讲出来的程度，一遍达不到两遍，两遍达不到就三遍。讲义上的例题亲自动手计算一遍，无论简单还是复杂，一定是完整的写出步骤及最终答案。 （3）习题的做法：如果有时间，需要认真做，具体做和对答案的方法参照之前的文章。如果没有时间，至少要做一半，就把习题册和习题册的参考答案放一起浏览，答案一眼就能看明白的简单题不用做，只需做答案一眼看不明白的题。（4）每周必须要有用来反馈复习情况的模拟测试，做之前复习所有学过的知识。对于模拟测试结果要认真对待，总结错题和原因。【强化阶段的总体安排】数学强化阶段需要你完成基础阶段任务后，及时安排强化阶段任务。务必抓紧，快的同学的强化阶段从7月到9月底，如果复习的晚，就更应该抓紧一切可能利用的时间复习，前提是不能三心二意、吊儿郎当、断断续续。先不不用关心赶不上的问题，因为关心也没有什么用。全身心地学习、努力，专心致志才是高效学习的基础，而不是吃着碗里瞧着锅里！【数学强化阶段的三大任务】（1）知识的结构化（基础阶段把数学的主心骨学习完毕后，在强化阶段要做的就是将数学知识按照考研命题的规律梳理成“一块一块”的，这样你们看到题目是才能做到随机应变）；（2）知识的交叉应用（考极限时用到积分的精确定义怎么办？这些问题，就是强化阶段梳理的重点。考研的题目，很少有单纯的题目，而这说白了就是考查同学们的知识交叉应用能力。）；（3）培养超强的计算能力（再聪明的头脑，如果没有良好的计算能力，考研要想取得高分基本上是不可能的。基础阶段要会做经典题型，而强化阶段则是要在综合题的基础上进一步锻炼出超强的计算能力。做到“一做就会，会做必对”）【冲刺阶段的总体安排】数学的冲刺阶段是从10月初一直到考研，先不用关心这个。趁着这段时间好好跟着复习补上进度，那冲刺阶段完全就不需要赶进度了。【数学冲刺阶段的三大任务】（1）回归基础，系统化知识结构（对于数学的基础知识要做到谙熟于心，灵活应用。要能做到：闭起眼睛能够把所有的知识点以及对应的经典题型、错题在脑子里想出来）； （2）搞透所有考研真题（不论是数1、数2、还是数3，冲刺80天，两天一套卷，一天做题一天总结规划，稳步提升）；（3）精准把握“三遍做题法”（数学的“三遍做题法”是保证数学在考场中完美发挥最重要的保障。“三遍做题法”说起来很简单，但是要做到根据自己的水平精准把握没有20-30次的仿真模考训练是不可能！）