考研数学题的类型

大家好，我是老梁考研数学！今天老梁继续给大家推送《考研数学真题分类解析系列》第六期，精选了一道拉格朗日中值定理的中值极限问题。真题及解析【例006】（2001数1）【证明】（I）由拉格朗日中值定理，下面证明θ的唯一性。导数方程根的唯一性的证明一般有两种方法：函数单调法和罗尔定理法。【评注1】（I）问的证法二并没有利用到二阶导数“连续”的条件。（II）证法一：由（I）问，有【评注2】本法证明也没有用到二阶导数连续条件。证法二：由拉格朗日中值定理，由（I）问，又由泰勒中值定理，结合（*）和（**）两个式子，有【评注3】本法证明中用到了二阶导数连续这个条件。证法三：根据麦克劳林公式，故由（I）问，【评注4】本法证明也没有用到二阶导数连续条件。总结从本题第（I）问的证法二中和第（II）问的证法一、三中都可以看出，本题的条件“二阶导数连续”可减弱为“二阶可导”；一般来说，皮亚诺型余项的泰勒公式条件弱于拉格朗日型余项的泰勒中值定理的条件；在对函数在某个区间上（整体）考虑问题时，一般使用拉格朗日型余项的泰勒中值定理，而在求极限、极值点与拐点判定等局部问题中，用皮亚诺型余项的泰勒公式（麦克劳林）可能更简单，方便一些。方法总结 归纳题型奇思妙解 就找老梁往期回顾考研数学｜真题一题多解系列，精选005｜5种方法考研数学｜真题一题多解系列，精选004｜反用等价无穷小考研数学｜难点突破！递推数列单调有界原理方法之有界性证明考研数学｜真题一题多解，精选003｜∞-∞型未定式移位变形小技巧考研数学｜极限可用夹逼准则计算的n项和数列，就这3种类型！

经文都考研老师仔细与2020考研数学大纲对比后发现，2021考研数学大纲发生近十年以来的最大变动，数（一）、数（二）、数（三）变动达 48 处。第二，2021考研数学大纲在试卷题型结构方面，共 7 处变动。试卷总分不变，题型结构发生变动，提高了单项选择题和填空题的分值，同时降低了解答题的分值。单项选择题，由“8 小题，每小题 4 分”变为“10 小题，每题 5 分”，总分由 32 分变为 50 分，分值占比提高；填空题，题目数量不变，分值由“每小题 4 分，总分 24 分”变为“每小题 5 分，总分30 分”，分值占比提高；解答题，由“9 小题，总分 94 分”变为“6 小题，总分 70 分”， 分值不再像往年固定，而是根据6个解答的运算量与难易程度进行科学分配，线代概率各1个解答（数学二没有概率），最后的线代概率大题可能14分，分值占比降低。变化最大就是客观题80分，比原来增加有24分，主观解答题70分，比原来减少24分。考研

考研数学的复习离不开一题多解和多题一解的练习。通过多题一解的练习，能培养大家学会对某些方法或步骤的概括、归纳和总结。而通过一题多解的练习，可以让同学们思路更加开阔，发散思维得到训练，学会多角度分析和解决问题。从今天开始，老梁考研数学会陆续推出“考研真题一题多解系列”，精选真题并精妙解析。帮助大家学会多角度分析问题，提高大家综合分析和解决问题的能力。今天带来的是2020年数学三的一道真题，这是一道选择题。通过不同解法，体会不同的思维方法。【例001】（2020数三）【分析一】由于所求极限式中有函数差： 因此，提示我们可用拉格朗日中值定理。【分析二】由于是客观题，解法一求解会用去大量时间，因此可采用排除法，即选用不同的特殊的函数排除错误选项。本例当中，条件是个极限式，故函数在点x=a处不一定有定义，也不一定连续。【分析三】排除错误选项还可以使用“加强条件法”。所谓加强条件法就是：适当的加强题目中某一个条件，使之能用更方便的工具解决问题。【分析四】条件中，除了抽象函数f(x)之外，还有参数a，故可对a采取特殊值以区分选项。【总结】解法一是求解主观题的思路，对客观题来说不做推荐。解法二和解法四都是求解客观题常用的方法，只要有抽象函数和参数，都可以对函数或参数取特殊值。如果解法二和解法四不容易寻找特殊值时，也可采用解法三：加强条件法。特殊值法也可以看作是加强条件法的特例。对于本题，同学们还有什么新解法？欢迎在评论区留言！老梁考研数学永远是你的良师益友！

大家好，我是老梁！今天继续推出《考研数学真题一题多解系列》第二期！本期为大家精选了一道2019年考研数学一、二、三试卷共同的一道题，是一道无穷小量比较的问题。无穷小量比较问题是考研数学高频考点之一，每一年都会考（尤其是数学二）。通常以客观题（多数选择题，少量填空题）的形式出现，也会以主观题的形式出现。经常出现的有两种题型：一是无穷小量关系的比较，即将若干个无穷小量(通常是三个)放在一起，比较谁是谁的高阶、低阶、同阶、等价无穷小量等，二是已知两个无穷小量的关系(例如高阶、低阶、同阶、等价等等)，然后把无穷小量中所含的参数反求出来。不管是哪种考法，其解决方法都是类似的，即洛必达法则法，泰勒公式法及无穷小等价公式法等。对于客观题，有时还可以根据函数、极限相关的知识点或技巧解决。先看真题，这是第二种考法。已知两个无穷小量的同阶关系，反求无穷小量中所含的参数的问题，难度并不大，利用常规方法就可以解决。【例002】（2019数一、二、三）【分析一】常用的方法就是定义法和无穷小等价公式法。（1）定义法根据无穷小同阶的定义写出下面的极限式然后利用求极限的方法：洛必达法则、泰勒公式等计算其极限。（2）无穷小等价公式法利用已知的无穷小等价关系，将两个无穷小都等价于同一个幂函数无穷小，然后再求参数。【分析二】上述两种方法都是常规方法，然而有时客观题常常需要根据本题条件及选项的特点采取非常规方法，如排除法。本题即可根据函数（无穷小）的奇偶性以及两个等价无穷小的性质排除掉错误选项，从而得到正确选项。【评注】本题难度不大，对于无穷小比较问题，解法一和解法二，洛必达法则，泰勒公式法及等价无穷小这三种方法最为常用，其中解法二简单，但要记住此等价公式。解法三，利用函数奇偶性质和两个等价无穷小之差一定高阶无穷小性质求解这类问题，则比较新颖。实际上，无穷小比较的本质上还是函数极限的问题，因此函数的性质（四大特性）及极限的性质（保号性，有界性等）都可以用来解决这类问题。同学们这些方法，都get到了吗？ 如果是你，会用哪些方法解题呢？欢迎留言分享。相关链接考研数学｜真题一题多解系列，精选001考研数学｜上岸985，等价无穷小要掌握到什么程度？考研数学，一文搞懂无穷小可以等价替换的5个情形考研数学｜变限积分函数无穷小的等价性

考研之窗数学篇考研数学真是一门让众多考研er又爱又恨的科目了，作为相当一部分专业的统考学科，满分150分，是政治、英语分数的1.5倍，这正是用来拉开分数的“必杀技”，由此在考研圈也流行着“得数学者得天下”这样的说法。但是实际上，但每年全国数学的平均成绩却仅有70分左右，连及格分数（90分）也没有达到，这也证明要攻克这门学科确实存在不小的难度。看到这里，各位同学是不是已经开始着手寻找哪些学科是不考数学的了？考研数学确实存在难度，但它并没有大家想象中的那么难，下面就由小编带领大家走进考研数学：一、整体特点1.考纲稳定，题型固定近年来，考研数学的考试大纲变化较小，每一年的考点和前一年相比，不论是命题方向还是试题特点上，都存在较多的相似点，这一特点，考生的复习是有相当大的好处：不仅可以在本年度考纲出台之前着手开始复习；也可以在复习或考前冲刺中参考历年真题寻找方向；相关的课程和书籍也会十分成熟，学习体系科学完整。2.突出基础，难度适中从历年的考纲可以得出，考研数学的重点在于对基本概念的理解以及以及运用数学的基本方法和基本理论，解决数学的基本问题的能力，这也就决定着考研数学的题目难易程度适中，以基础知识为主，也就是说如果学会，学懂考纲中的大部分基础知识，就能达到相当理想的分数。3.考察全面，重点突出考研数学考察的知识点十分全面，涵盖高等数学、线性代数、概率论与数理统计三门课程的大部分知识，这就对考生在基础学习中提出了较高的要求，对于基础一般甚至较差的学生来说，自学难度较高，报名考研班是一个不错的选择；同时由于考纲稳定，历年考试考察的重点知识较为统一和集中，参考历年的重点可以较为准确的寻找重点知识和集中难点进行攻克。4.考点交差，综合性强在考研数学中，往往是一道题目综合多个考点，题目的综合较强，在解题过程中，一个知识点的缺失就会导致解题失败，这就要求大家在复习的过程中既要全面覆盖，又要系统串联，这也是考研数学的高分难点所在。二、学习技巧俗话说“知己知彼，百战不殆”，我们已经洞悉了考研数学的特点，下面就介绍我们攻克它的方法了！按照考研复习时间的推进，我们将考研数学复习分为四个阶段，逐一攻克难点，取得高分！1.复习前期：研读大纲-知己知彼（考研倒计时一年）考试大纲准确的决定了本科目的考察范围，在复习前期时要仔细研读考试大纲，吃透考察范围，大部分的考生在本年度考试大纲出台前就已经开始着手研究复习了，考研数学的大纲稳定性优势凸显，可以用前一年的考试大纲制定学习计划，严格各阶段时间安排，稳步推进学习；根据考研大纲选择合适的书籍，考研之窗数学名师团队表示，在考研数学命题过程中，所有命题专家大都会参考三本书：同济大学《高等数学》，清华大学《线性代数》和浙江大学《概率论与数理统计》 必备用书；在购置参考书籍的同时，也可以注重购置合适的教辅用书。1.复习初期：夯实基础-筑牢“三基”（考研倒计时前半年）根据考试大纲以及历年考试的特点，决定着这一时期至关重要，要练成考研数学绝世武功就要筑牢“三基”-基本概念、基本理论、基本方法。在这一时期，要集中精力把大纲要求的知识点结合教材对应章节全面复习掌握，吃透书本上的基本概念、基本理论和基本解题方法，不留下知识”盲区“，在学习的过程中要坚持“知新”和“温故”相结合，在考研复习过程中，知识量较大，学习强度高，如果不及时“回头看”就会导致“边学边忘”。课后练习题是这一时期学习的不二法宝，是串联起“三基”发挥合力的催化剂，课后题是针对当前章节学习的练习题，难度较低，知识点清晰，在学习完理论知识后，及时弄会，弄懂课后题对掌握知识事半功倍，在二轮、三轮复习过程中，可以将课后题作为检验知识点的类型题，重复做，反复做，加深记忆。2.复习中期：活用知识-打通解题“任督二脉”（考研倒计时6个月-2个月）进入到复习中期，在掌握基础之上，就可以脱离书本，开始着手实战，在本阶段学习中“题海战术”无疑是唯一之选，但也要注重方法，应该选择不同阶段的题型开始，首先要进行章节练习，然后进行单科练习，巩固和活用基础知识，解决门类问题，最后进行综合练习，建立错题集，反复训练，培养解题能力，打通“任督二脉”，需要注意的是在本阶段中，尽量不要过早接触太综合的题目，尤其是拔高题，太难的题目会影响考生的学习热情，降低学习信心，一定要注意节奏，循序渐进。3.复习后期：高手进阶-“百战成神”（考研倒计时2个月-1个月）进入到这个阶段，相信不用我说，屏幕前的考生们已经能感受到那时摩拳擦掌的情景了，没错，到了这时候我们就要进入到高手进阶环节了，在这个阶段，我们要进行高强度的冲刺题训练，渐进考试状态，达到考试要求，尤其是遇到综合性强的，难度较高的题目，可以在这段时间弄通弄懂，拓宽解题思路，增强解题能力，提升所学知识的综合应用能力。4.考前阶段：决战在前-“养精蓄锐”走到这一阶段的考生，小编已经提前恭喜你距离成功仅有一步之遥，在经历了漫长的学习过程中，已经从一名数学小白进阶为解题达人了，在考前的最后阶段，小编希望你能保持状态，从高强度的冲刺状态中解脱出来，着眼错题集，深化弱项知识点的学习记忆，差缺不漏，总结重点题型，运筹帷幄，运用历年真题或权威模拟题进行实景模拟应考技巧训练，“养精蓄锐”待考场亮剑！考研数学历年来确实是众多考生的一块“心病’,也有相当一部分考生对其“望而却步”，但其实看到这里各位考生也逐渐清晰，只要准备足够，功夫下到，任何问题都是“纸老虎”迎刃而解，如果心里还存在疑虑，考研之窗也为各位考生提供个性化学习计划制定服务，根据考生的学习基础，数学能力等方面制定详细的科学的学习计划，并提供相关辅导，我们也能成为大家考研数学高分的“屠龙刀”、“倚天剑”，最后希望各位考生能在考场中“得数学，得天下！”。考研之窗数学推荐用书：《考研之窗内部讲义》《高等数学》同济大学版【基础阶段用书】《线性代数》同济大学版适合基础不好的学生；《线性代数》清华大学版适合基础比较好的学生《概率论与数理统计》浙江大学版金榜图书《李永乐数学复习全书系列》每位考数学学生必备，不过请区分数一、数二、数三及其它单独要求的数学。考研之窗的数学授课教师团队是由资深线下授课老师寇兴权领衔。他辅导考研数学达17年之久，擅长考研数学，精通高等数学，线性代数，概率论与数理统计，授课经验丰富，对于考研数学启蒙，进阶授课具有独特见解，在执教生涯中曾多次实现执教班级学生考研数学平均分110以上，在线下数学考研教学界广受好评。

在这之前再强调一点，没有什么十全十美的考研数学习题集，只有适合自己的。至于以下没有提及的考研数学的习题和老师，并不是说他们不好，而是我没有看过。如果妄下判断，实在欠妥，我能做的就是所言不多于所知。希望能帮你少走弯路，少踩坑，把更多的时间和精力用在学习上！1、《1800题》 —汤家凤1800题分为基础篇和拔高篇，难度按梯次分配适中。其中基础篇的题目尤其好，非常适合基础阶段拔高的同学，这也是老汤的特色，而且每个章节包含了入门和基础，囊括了选择、填空和解答等多题型，题型的覆盖范围非常广，能帮助大家在考研数学复习初期打下扎实的基础，不用担心强化阶段基础不牢地动山摇的情况出现。提高篇则更加针对强化阶段的复习，着重对基础概念的深度剖析和灵活运用，对原理的巩固和拓展，目的是为了提高大家解题的分析能力、计算能力和速度，总的来说1800是比较全面的，适用于绝大多数人。不过1800的题量是比较大，需要抓紧点时间，而且不要想着一刷就完了，一刷只是让你把理论、概念落地运用，要想增强你的理解能力和计算能力，必须要二刷，二刷的提升效果才最为显著，至于需不需要三刷，则看你对知识点的掌握程度，因为三刷更多是着重于查漏补缺。至于有很多同学在纠结是否需要配合视频课一起学习，我的建议是需要，考研数学需要书搭配视频看，效果立竿见影，看视频可以帮你系统梳理框架，对概念知识点有大体印象，看了视频再看书，能更好地掌握知识点。图片来源于网络，侵删2、张宇《1000题》特点：宇哥现在的1000题可以说是非常用心了，从选题到解析都有了很大的改善，和1800他不同的是，1000题现在是把每个知识点按A、B、C进行精心分类，把同一类型整合在一起，难度按组逐渐提升，较比之前的笼统排版来说，适应性很强，题型部分也比较全面，包含了选择、填空和解答。不过宇哥的考研数学更看重概念和技巧，所以基础不算好的同学会出现跟不上宇哥思路的情况，而对于基础好的同学来说，非常有利于拓宽视野和思维，省去很多无用功，从而学到一些独特的解题思路。另外解析方面也有了很大的改善，以前的1000题严重高估了大家的考研数学水平，很多题都没有解析，经常会面临拿着错题干着急找不到解题思路的情况，分分钟能把人搞崩溃。但现在每个题下面都加了详细的解析，注释也更具体，对我们考生来说算是非常友善了。不过宇哥的脑洞比较大，所以时常会有同学吐槽说宇哥出的题偏、刁钻和超纲，不过我想说这也是他的优势，也正是如此，宇哥才产出一些很经典的题型，另外，宇哥的思路跳跃的比较快，基础不好可能会跟不上节奏。总结一下，就是基础差的建议跟老汤，基础好的建议跟宇哥。图片来源于网络，侵删3、李永乐《660题》660题已经风靡很多年了，李永乐也被大家封为永乐大帝，整理来说660还是挺不错的，尤其是部分，有些思路很新颖，涵盖了很多经典的题目。另外660虽然说是基础660，但是一点也不基础，大家千万不要被基础两个字蒙骗了，这里面基本都是概念考察，相当有难度，说是基础阶段的书，但更适合于强化，需要有一定的基础再进行练习，如果基础不好的话，会产生很严重的挫败感。但每年还是有很多考生不信邪，做着做着就放弃了。660真的建议要有一定基础后再去练习，有基础你才能更还有理解思路整合方法，其实刚开始做660可能会比较卡，但适应以后就好多了。其次660如果只做一遍效果是很有限，需要多刷。4、李林《880》李林是2018年考研后才开始火起来的，虽然有争议，不过880高数部分还是挺不错的，贴近真题，题目的综合性也比较强，高数部分的习题值得一做，线代则更有难度，概率论则相对比较偏基础，另外880的题目思路真的很不错，难题都比较新颖，新意，排版方面也非常优美，总体来说还是挺不错的。

大家好，我是老梁考研数学！今天老梁继续给大家推送《考研数学真题分类解析系列》第007期，精选了一道已知极限反求未知参数的问题，也叫作极限的反问题。一般来说，不同类型的问题（如0/0型，∞/∞型，∞-∞型等）采取的方法也有所不同。总体思路是根据已知极限利用极限存在性质、运算性质以及相关的计算方法（洛必达法则，泰勒公式，无穷小等价替换等）推出未知参数应该满足的条件，进而求得未知参数。真题及解析【例007】（1994数2）【分析一】这是个0/0型未定式，可利用洛必达法则以及下列性质分析： 【解法一】由洛必达法则，继续使用洛必达法则，选（A）。【分析二】极限式除了对数函数，就是幂函数，因此宜采用泰勒公式求解。【解法二】由泰勒公式，选（A）。【分析三】仍采用泰勒公式，但将极限式变形。【解法三】由题设，由泰勒展式的唯一性，选（A）。【分析四】由于是客观题，且带有参数，故也可采用排除法。【解法四】排除法。选（A）。总 结对于0/0型带有参数的极限式，通常有三种处理方法：利用已知极限式分母（或分子）的极限，推出分子（或分母）的极限，从而确定参数满足的方程；利用洛必达法则，泰勒公式，无穷小等价替换等处理极限；利用分类讨论法，对参数选取不同的值，使之满足已知极限式或排除错误选项。对于其他类型的带有参数的极限式处理方法，后文陆续推出。方法总结 归纳题型奇思妙解 就找老梁往期回顾考研数学｜真题一题多解系列，精选006｜中值问题考研数学｜真题一题多解系列，精选004｜反用等价无穷小考研数学｜难点突破！递推数列单调有界原理方法之有界性证明考研数学｜方法总结，递推数列单调有界原理方法之单调性证明考研数学｜真题一题多解，精选003｜∞-∞型未定式移位变形小技巧

考研数学过程中，哪些题一定要做呢？请看下面：李正元李永乐复习全书　反复做吧，２遍以上基础过关６６０　　专门攻克小题的经典之作　１－２遍线代辅导讲义　比复习全书的线代框架清晰些，可以先做线代讲义，再做复习全书线代　１－２遍全真模拟经典４００题　经典的难题，强推　２－３遍最后冲刺超越１３５分　　以５０多个专题的方式回顾了下基本知识点　难度与复习全书类似，很多题直接照搬，有时间可以做做数学三往年真题　真题是最贴近考试的，到了１２月份那些依然在４００题和复习全书中遨游的同学应该反复做往年真题了。研究真题很有必要，李永乐的往年真题解析或者数学三大纲解析都可以，最后面也有真题的分类解析，效果相当不错，２－３遍。TIPS：数学就是一个体力活，不断做题，总结错题和不会的题，反复做，直到会为止。到后期基本做成条件反射，考场上看到题都知道怎么下笔。后期好好总结真题，你会发现题型都是固定的，就是那几种。尤其是线代，概率，就２到３种题型，年年反复考。微分中值定理的证明，文登笔记高数这块很不错，基本是复习指南这本书的精华。可以不用报班，找上一届同学借下笔记复印就好。不推荐全程班，太浪费时间。最多报一个暑期强化班。数学要长期做题保持状态，三天不做手就生。“长流水、不断线”。后期我是头天上午定３个小时做题，第２天对答案。切记眼高手低，只看不做。　考试时遇到不会做的也要把步骤写上，有步骤就有分。比如我今年数学错的那个证明题，答案是４步求导，开始我求了三步，后面脑袋一热用笔划了，就白白少了６分。

数列求极限一般在考研数学中属于难题，很多同学要么不会做，要么做不完整。其实原因有很多，可能是你做的题目类型少；也可能是你对这样的题目没有形成自己的解题套路。今天笔者来给大家分析几种数列求极限的考题类型，当然我也是受某为名师的启发，大家想看就看，不喜勿喷。1.用单调有界准则求数列极限。这种方法比较常用，也是求极限的方法之一。说到这里给大家来个小插曲吧，求极限的方法包括夹逼准则、洛必达法则、等价无穷小代换、泰勒公式以及单调有界求极限。一般情况下洛必达和等价无穷小代换出现的比较多或者洛必达和泰勒公式结合，而夹逼准则和单调有界准则更多会出现在数列求极限。回到主体，用单调有界准则求数列极限可以说是很常规的考法，但是考题难度不一。如果题目简单会给大家一些提示，比如先让大家求数列对应连续型函数的零点或者单调性等等；如果不简单的话，题目可能直接让大家证明极限存在和求极限。18年数二就是个很好的例子，题目直接让证明极限存在并求极限，所以难倒了一大片考生。所以在考前大家还是最好去接触接触这种题型。2.结合定积分定义求数列极限。本来是有图的，但由于我忘记带那本书，所以在这里就不给大家看例题了。这种题目好像在十八讲中有所涉及，在夹逼准则那里作为特例出现的好像，大家可以翻书看一看。主要问题在于，你在做这种题目时，大家看着也许都像是要用夹逼准则就可以做出来，但是做了之后左右两边极限不相等，所以这个时候就可以考虑用定积分定义来做这样的题，所以同学们要牢牢掌握定积分定义的用法。3.“隐性”夹逼准则求极限。为什么说是“隐性”呢？就是说题目中没有明显说怎么求，这里有张图可以给大家看一下。这种题是有一定难度的，所以会首先给大家一个台阶让大家证明一个不等式成立，也算是在给大家指引解题方向在哪里。但是这种类型的题目就怕出难了，不给任何提示就让大家求，可能大家会没有思路不知道方向和不知道怎么放缩……但是这类的题目已经有十多年没有出现了，大家还是花点心思了解一下比较好。主要解题步骤就是去证明让证明的不等式成立，再用证明过的不等式结合夹逼准则求极限。希望以上几种题型大家予以重视吧。