考研数学经典例题

大家好，我是老梁！今天继续推出《考研数学真题一题多解系列》第二期！本期为大家精选了一道2019年考研数学一、二、三试卷共同的一道题，是一道无穷小量比较的问题。无穷小量比较问题是考研数学高频考点之一，每一年都会考（尤其是数学二）。通常以客观题（多数选择题，少量填空题）的形式出现，也会以主观题的形式出现。经常出现的有两种题型：一是无穷小量关系的比较，即将若干个无穷小量(通常是三个)放在一起，比较谁是谁的高阶、低阶、同阶、等价无穷小量等，二是已知两个无穷小量的关系(例如高阶、低阶、同阶、等价等等)，然后把无穷小量中所含的参数反求出来。不管是哪种考法，其解决方法都是类似的，即洛必达法则法，泰勒公式法及无穷小等价公式法等。对于客观题，有时还可以根据函数、极限相关的知识点或技巧解决。先看真题，这是第二种考法。已知两个无穷小量的同阶关系，反求无穷小量中所含的参数的问题，难度并不大，利用常规方法就可以解决。【例002】（2019数一、二、三）【分析一】常用的方法就是定义法和无穷小等价公式法。（1）定义法根据无穷小同阶的定义写出下面的极限式然后利用求极限的方法：洛必达法则、泰勒公式等计算其极限。（2）无穷小等价公式法利用已知的无穷小等价关系，将两个无穷小都等价于同一个幂函数无穷小，然后再求参数。【分析二】上述两种方法都是常规方法，然而有时客观题常常需要根据本题条件及选项的特点采取非常规方法，如排除法。本题即可根据函数（无穷小）的奇偶性以及两个等价无穷小的性质排除掉错误选项，从而得到正确选项。【评注】本题难度不大，对于无穷小比较问题，解法一和解法二，洛必达法则，泰勒公式法及等价无穷小这三种方法最为常用，其中解法二简单，但要记住此等价公式。解法三，利用函数奇偶性质和两个等价无穷小之差一定高阶无穷小性质求解这类问题，则比较新颖。实际上，无穷小比较的本质上还是函数极限的问题，因此函数的性质（四大特性）及极限的性质（保号性，有界性等）都可以用来解决这类问题。同学们这些方法，都get到了吗？ 如果是你，会用哪些方法解题呢？欢迎留言分享。相关链接考研数学｜真题一题多解系列，精选001考研数学｜上岸985，等价无穷小要掌握到什么程度？考研数学，一文搞懂无穷小可以等价替换的5个情形考研数学｜变限积分函数无穷小的等价性

本文会解决你在考研过程中数学可能遇到的大多数问题，复习全书具体怎么用，怎么样科学的做全书例题、考研真题、如何高效的进行一章的总结复习等，相信读完你一定会有巨大收获。一、自我介绍二本理工科学渣一枚，在校期间期末考试基本靠着考前一周突击而过，高数下61低空飘过，四级考了三次，最终压线才过，六级至今…经过去年八个多月的备考，最终政治71分，英语一73分，数一141分，总分410。写下这篇经验贴，作为初试的总结，一来是为了回馈当初自己在考研论坛里得到各个大神的指点顺带为复试攒攒人品；二来希望后来者能在这条考研路上少走些弯路，考出理想的分数，考上自己心怡的院校。二、考研数学复习常见的错误做法及应对方法2.1以看代练，不求甚解。（1）刚开始准备考研之际：复习时应该倾向于注重知识的理解和对解题思路的积累；在使用选定的参考书过程中，应该优先对基础知识点有所把握以后，再进入习题的练习。（2）拥有一轮知识积累之际：复习时应注重培养切实的动手能力和做题思路；对每一个题目都至少应该保证自己能独立完整的推演一遍，切忌眼高手低不动手推演。2.2 老是盯着别人，就容易丢掉了自己！其实要做到不迷失也很简单！明白一个道理即可。考研的过程，就好像我们在用不同糖果填满一个糖果罐子，罐子的容积一定，只是先装什么糖果，后装什么糖果，何时装完，明确这个就解决了一半的问题，剩下就是这个填满的思路。很大程度上说你的对手其实不是别人而是自己，切记！美好的事情不是指你可以比谁牛逼，而是你在不断地比曾经的你更厉害，你最大的对手是自己。让自己不断看到自己的进步。三、考研数学复习全书学习使用及总结过程完整示例拿这本书刚准备进行复习时，身边有过同学曾调侃这种行为是一场赌注，所幸最后我赌赢了。被它圈粉的主要原因是接下来要给出的正式内容的一页，通常我们要对一个定义或者概念进一步掌握，寻常思路会采用做题的方式，但此书却独树一帜的以通俗白话的形式来解析概念的本质及扩展概念的深层含义，比如其中对于y=f（*）的独到解析！接下来说说看书用到的方法这部分我们以洛必达法则示例，洛必达作为经典的极限解题工具，因为涉及的解题步骤相对简单，只需要一步——上下同时求导，从而可以通过逐步求导简化表达式得出答案而被很多同学喜欢（当然泰勒公式也受到很多同学的青睐），既然喜欢，不妨看看命题人如何“投其所好”（以下这道题目请尽个人所能优先尝试自行计算）从这个题目我们大致可以了解到，命题人并不回避考生的喜好，“投其所好”正是他们在试题中最好的回应！他们回应了，可能我们就不会那么开心了 (T_T) ，怎么办呢，知已知彼方能百战不殆. 了解他们风格最好的方式就是独立演算完成所有的往年试题，因为那里，有他们全部的杰作（套路）！掌握好这些，不仅仅可以帮助我们理清数学复习思路单，它还可以帮助我们完成对于政治、专业课的章节梳理，让我们几倍以上增加复习的效率，理清思路。

大家好，我是老梁考研数学！这两天学校期末事情多，使得《真题一题多解系列》断更时间较长，抱歉！今天老梁继续给大家推送《考研数学真题分类解析系列》第008期，选择一道幂指函数极限计算的客观题，对于客观题，除了通用解法之外，特殊值法也上常常采用的方法，除了对函数采用特殊值，也可对参数采用特殊值。真题及解析【例008】（2010数1）【分析一】这是一个1的无穷幂指型未定式极限的计算，常用下列简便公式：【解法一】【分析二】将极限式中分式项倒数变形、再利用乘积的四则运算，简化计算。【解法二】【分析三】由于是客观题，且极限式含有参数，因此可对两个参数取特殊值排除错误选项。【解法三】【评注】特殊值法，选取特殊值的原则是能区别选项，如本题也可选b=-a=1。总结（1）解法一是解决幂指函数未定式极限的通用方法，在本题的三个解法中是最费时的方法；（2）如果一个极限式所含分式“头重脚轻”，即分子为单项式而分母为几个单项的和，这时一般可采取倒数的方法简化计算；（3）若客观题含有抽象函数或参数，则可使用特殊指法，对函数或参数取不同的值来排除错误选项（选择题）或直接得到结果。方法总结 归纳题型奇思妙解 就找老梁往期回顾考研数学｜两类含有限加和幂指型未定式极限计算｜无穷大(小)替换考研数学｜真题一题多解系列，精选007｜已知极限反求未知参数考研数学｜真题一题多解系列，精选006｜中值问题考研数学｜真题一题多解系列，精选005｜5种方法30年考研数学真题分类解析｜专题三：极限基本理论

由于考研数学每年第一道大题，往往会是求极限，偶尔是求不定积分值。在统计极限题目的计算中，我们发现考生很多时候利用导数计算，结果往往使得计算变得非常复杂，同时，导数过程中会出现分母少提了一下系数，结果导致整个大题10分被扣——这是非常可惜的！今天在考研复习的黄金暑假，我和大家一起来针对考研真题中出现的求极限大题，一起来分析一下，帮助同学们掌握正确、高效的解题思路！首先，我们看看是哪8个泰勒公式。在实际解题中，公式1、2、4出现的概率比较高，我们通过网友的一道解题来讲解一下：这道题网友采用了导数的基本计算规则，结果计算错误而且过程繁琐，系数非常容易提错。那么，如果用泰勒公式之后，是什么效果呢？解题如下：显而易见，通过泰勒公式的代入计算，过程变得清晰明朗，并且 不会出现因为提系数导致的出错！简单、清晰的拿满分这才是我们做题的目的！下面，我们通过2019年数一考试大纲，来一起回顾一下，看看大纲中对这部分是怎么要求的。另外特别提醒大家一句：很多时候，我们都是直接拿着全书开始复习，忽略了大纲，实际上所有全书都是以考研大纲为主，我们抽时间对照大纲看全书是非常有必要的！一定要切记、切记！以下附带部分为考试大纲针对极限要求部分：一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法　函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性　复合函数、反函数、分段函数和隐函数　基本初等函数的性质及其图形　初等函数　函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质　函数的左极限和右极限　无穷小量和无穷大量的概念及其关系　无穷小量的性质及无穷小量的比较　极限的四则运算　极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则　两个重要极限：函数连续的概念　函数间断点的类型　初等函数的连续性　闭区间上连续函数的性质考试要求1．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．2．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系．3．掌握极限的性质及四则运算法则．4．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．5．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限．6．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．7．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．二、导数和微分 1．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．2．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．3．理解并会用罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理和泰勒（Taylor）定理，了解并会用柯西（Cauchy）中值定理．4．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法．希望大家2020年考研调整心态，努力冲刺，抓住该抓住的满分大题！

【分析】这是一道极限的反问题，已知极限存在，求极限式中函数或参数的相关值。这是的0/0型未定式，一般来说，常用方法有等价无穷小替换，泰勒公式，洛必达法则，根式有理化，约分等方法与技巧。本题可用多种方法。【解法1】等价无穷小替换方法。根据无穷小等价公式，【解法2】式中含有二次根式，故可采用有理化方法。【评注】“加强条件法”与“特殊值法”只能用于客观题。这些解法大家觉得怎样？大家还有什么新的解法？有什么建议和意见，欢迎一起交流。

数学在考研中是极其重要的，既是最容易在短期内取得突破的一科，也是最容易被人甩开的一科。很多学生明白这个道理，因此会去刷很多题，但是有的人刷完李永乐的660题，又刷完汤家凤的1800题，成绩提高幅度还不如那些只把复习全书做了一遍的人。刷题真的有用吗？为什么刷完660题还是不能很快提高成绩？为什么刷题时看答案也能看懂，上了考场自己瞬间懵了？刷题肯定是有用的，但是要科学刷题，要讲方法。首先，刷与考研相关的好题，刷名师的题。无论是李永乐的《660》题，张宇的《1000题》还是其他名师的复习全书，这些题目与考研数学最相关，而且经过了很多考生的检验，是复习考研数学时必须要看的书。而复习数学一般会从教科书开始，教科书的有些题与考研题目出题角度有很大差距，自己要学会辨别，不能在这些与考研关联不大的题上消耗过多时间。还有就是现在辅导班泛滥，各种辅导老师层出不穷，水平难以辨别。别人都在刷名师的题，你去听信了一个十九线数学老师的话，跟了他的班，买了他的书，考上研究生的几率会大打折扣。为什么刷完《660题》还是不能很快提高成绩？因为你很可能刷了张三的假题《660》。其次，前期多刷，后期挑着刷。考研数学复习前期，必须大量刷题才能领悟某些知识，锻炼出自己的解题方法。而到中后期，很多题目都是重复的了，扫一遍题目，如果大致能明白它在考察什么，就不必花时间去细究。要挑选那些没见过的题型，去拔高自己的解题水平，成绩也就自然提高了。最后，刷完题要总结规律。考研数学复习前期，必须大量刷题才能领悟某些知识。但是切不可刷完就不管了，很多题目反反复复考察的是同一类知识，只是用了不同的出题角度，从多个方面对母题进行了变异。多反思自己刷过的题又和内在联系，总结他们之间的规律，才能触类旁通。为什么，很多人刷完《660》题，成绩进步不大，因为他盲目追求数量，忽略质量，这本质上刷的也是假题。而那些用同样时间只做复习全书的学生，将例题吃得很透彻，做题质量更高，上了考场自然能得心应手。小结：要想提高考研数学成绩，离不开刷题，但在注重数量的同时，也要注重题目质量和自己的做题质量，按方法科学刷题才能提高成绩。

数学备考是个让人头痛的过程，公式难理解误区多，稍有不慎就会入坑。今天小编为各位考研人总结了数学基础阶段备考过程中一些典型问题的复习方式和态度，帮助大家在艰难的数学备考之旅中适度缓解一些压力。1.中值定理和不等式章节第一轮不要看这是因为第一轮的时候你的知识储备还很少，而且数学思维还没有到一定的水平。这两部分本来就是考查一个人的综合数学思维，现在看中值定理会很吃力。这部分可以在第二轮的时候做一个专题复习，把这个部分的题型集中训练，找出出题的风格、思路、习惯。现在就是要踏踏实实做基础知识的复习。2.做题毫无思路有时考研人会觉得视频看了，讲义看了，定义也理解了，就是不会做题，而后开始怀疑自己的复习方法，质疑自己的能力。这种情况很正常，如果只经过一两个月的基础公式积累就能做题，那就有些小看考研数学了。数学需要一定量的题目练习，你现在应该庆幸有这么多搞不懂的题目，好好静下来思考为什么不会做，是概念没有掌握吗？那就好好理解一下概念。是思维没转过来吗？那就多品味他的思维方式。总之，遇到不会的题目，做好标记，认真思考，实在不会的，也不要钻牛角尖，第二轮再来看这些难点。3.是否做了合理的复习规划为什么复习一段时间感觉没有提高，甚至出现不知道如何下手，心里没有底的情况？首先，检查做出的复习规划是否合理，自己是否按照计划按部就班地进行；其次，问自己是不是复习的时候达到了效率的最大化，看书不过脑，其实是在浪费时间。4.记得温故知新定期的回忆，复习学过的知识，温故而知新。由于线代的知识点比细碎，有很多小的条款，还伴随着解题思维的考查，不建议过早复习，否则容易遗忘，其实可以在数学第二轮的时候同步复习，如果考生还有概率论的学习任务，线代复习时间自行提前。5.错题很正常，心态不要乱受了打击，开始怀疑自己了怎么办？别慌，每个考数学的考研人都经历过这一关，不受些打击考研人如何会踏踏实实静下来复习。微笑，稳住，你一定能赢！要有信心，才会得心应手，不要把时间花在质疑自己的能力上，而要想着怎么不断地提高自己。最后，适当的休息还是很必要的，前期不要把自己搞得太累，复习强度不要太大。不想学的时候适当休息，该学习的时候全身心投入，为暑假强化好好打基础。不要只注重速度，不要赶进度，踏实积累总会迎来质变。

数学是众多考研群体的噩梦，它可以说是很多文科同学最难的一科。但是，如果要考好专业的研究生，数学几乎是必不可少的。考研数学难度大数学一和数学三的区别，其实就是数学一涉及微积分证明题、重积分和线积分等。其他内容，数学一和数学三没有什么区别。我开始准备考理科，复习的是数学一，中途改考文科数学三，最后考研数学146分。数学最烦的是内容非常多，一共四本教材：高等数学两册，概率论与数理统计一册，线性代数一册。我考研数学的学习顺序是第一遍搞教材，主要是工作几年后，数学忘记得差不多了，必须要把基本的概念和基础题搞头侧。买了同济大学高等数学和线性代数，概率论和数理统计买的是浙江大学的。第一遍很老实的把教材认真复习了一遍，所有的例题，练习题都用作业本做了一遍。这个过程还是比较愉快的，因为难度不大。从简单的基础入手会愉快一些第二遍就是做陈文登的考研数学。在第一遍的基础上，这一遍基础题没有大问题，难题还是很困难。最头疼的是，整个数看过一遍，做过一遍之后，再来看书，还是有好多题不会做。而且，自己还是感觉稀里糊涂，做题没有清晰的思路。第三遍我决定研究以往的考题，根据考题来决定复习思路。我把近10年的考研数学研究了一遍，基本上明白了出题人的出题方向和思路，这样，自己怎么复习就更加清晰。我把每一个考点都研究了一下，那个考点有哪些可能类型的难题，都记上笔记本。这一遍下来之后，自我感觉考研分数120分有望。根据自己的复习思路复习效果第四遍就是研究一些难题怪题，根据自己总结的考研出题人思路，对某些考点的难题集中突破一下，虽然说还有好多题不会做，但这些考点的常规难题，经典难题基本都搞定。考试前一个月基本上就是做一些模拟考题，并且练习做题速度，跟随考试大军的步伐，一步一步走进考场。考试过程几乎没有什么记忆，在紧张的2个小时之后，稍作休息，准备下一科的考试。考研完毕，蒙头睡了2天的懒觉，然后该干嘛干嘛。3月分数出来，竟然考研数学得了146，总算是天道酬勤，一分努力一分收获。告诫考验人，考研数学内容很多，陈文灯李永乐都不可能给你高分，复习必须有自己的复习思路，自己的复习方法，他们的资料只能给你提供参考。

根据高等教育出版社消息，2021全国硕士研究生招生考试大纲在9月9日正式发布上市，9月10日大纲内容公布!考研大纲是指由教育部考试中心组织编写，高等教育出版社出版的，规定当年全国硕士研究生入学考试相应科目的考试范围、考试要求、考试形式、试卷结构等政策指导性考研用书。本文整理分享“2021考研数学大纲变动汇总!相关内容，总结与分析，校正备考范围。　来源于：高教社