考研数学傅里叶级数考吗

9102年了你现在还没准备数学？天哪，那你时间岂不是要来不及了！咳咳咳~（清嗓中……）当然这要看你的时间究竟要多来不及，如果离考试只有几天了，还不放弃挣扎的话，那就做几套真题吧，通过真题把你会的常考的知识点弄明白，搞清楚，把该拿的分拿到先拿到手，实在搞不懂的，就交给上天，希望命题老师可以这些地方少命题。如果你还有至少两个月的时间可以复习，那么我接下来要说的，就是重点了：首先，就是基础，建议至少20天的时间，每天至少3小时，其中高数的复习时间至少要占到1/2，线代和概率各占1/4（解释一下为啥要这样分配呢，因为在考研数三的考试中，高数、线代、概率三科的分值各占56%、22%、22%）。最初阶段，不管你数学成绩有多好，一定要重基础，教材建议一定要过一遍，重点的定义和知识点，如几乎每年必考的极限、中值定理、积分（重点二重积分）、微分（数三只考到二阶）等等一定要看一遍，实在理解不了的就先背过，以后碰到题目，结合理解。这个时候时间已经很紧迫了，看的时候一定要高效，一定要有重点，不考的就别看了，例如三重积分、曲面积分、级数中的傅里叶级数，概率中的置信区间，这意味的高数下册重点要看的内容只有多元函数（看到二阶即可）、重积分（二重积分）、级数即可，这可以节省你很多时间。其次，浓缩版的强化，也就是刷题时间，这段时间至少1个月，各科时间分配上，同样按照1/2、1/4、1/4的原则分配，刷题的意义在于加强理解、巩固强化。还有就是查漏补缺，这个很重要，刷题中最主要、最重要的就是动手去做，可能你没有时间把所有的题目都去动手一遍，但重点例题一定要自己去做一遍，先做再看答案，其他题目哪怕是实在没有时间了，在看答案之前，也一定要先想想思路，毫无头绪的这种题，在看完答案之后，一定要自己再梳理一遍，做好标记，这样的题目需要在考试之前再过一遍，因为它就是你学习中的漏和缺。刷题过程中，需要穿插做一下历年真题，至少保证每周一套，而且要从一开始就严格按照考场规矩来，提前适应考研考场环境。最后，考前，至少10天，复习时间安排可以结合自己各科复习情况来安排。最后这段时间要做只有两件事就是练真题、查漏补缺，真题严格按照考场要求来做。如何查漏补缺呢，就是按照刷题阶段你标记的题目来复习，自己再去做一遍，还不会做的就查一下，它是哪个地方的知识点，把相关知识点在复习一遍，理清楚，弄明白。考前最后一天可以稍微放松一下，精力充沛的话可以再刷一套真题。现在是5月下旬，从现在开始进行考研复习，时间还很充足，所以准备要考研的各位，如果已经下定决心要考研，现在就开始学吧，还犹豫啥！

考研数学一二三哪个难?有什么区别？这个问题很多考生都在问，下面就讲具体给大家分析一下，帮助考生了解科目特点、难度以便更好的备考。考研数学一和数学二针对的是理工科，数学三针对的是管理类的，难度对比为：考研数学一>考研数学二>考研数学三。也就是数学一最难，数学三最简单。考研数学一二三区别对比。考研数学一和数学三都考三科：高数、线性代数和概率;而数学二不考概率。考试内容占比也因此不同。1.数学一高等数学：同济六版高等数学中除了第七章微分方程考带*号的欧拉方程，伯努利方程外，其余带*号的都不考;所有“近似”的问题都不考;第四章不定积分不考积分表的使用;第九章第五节不考方程组的情形;第十二章第五节不考欧拉公式;线性代数：数学一用的教材是同济五版线性代数1-5章：行列式、矩阵及其运算、矩阵的初等变换及其方程组、向量组的线性相关性、相似矩阵及二次型。其中向量组的线性相关性中数一考向量空间，线性方程组跟空间解析几何结合数一也要考;概率与数理统计：1、概率论的基本概念2、随机变量及其分布3、多维随机变量及其分布4、随机变量的数字特征5、大数定律及中心极限定理6、样本及抽样分布7、参数估计8、假设检验。2.数学二高等数学：同济六版高等数学中除了第七章微分方程考带*号的伯努利方程外，其余带*号的都不考;所有“近似”的问题都不考;第四章不定积分不考积分表的使用;不考第八章空间解析几何与向量代数;第九章第五节不考方程组的情形;到第十章二重积分、重积分的应用为止，后面不考了。线性代数：数学二用的教材是同济五版线性代数，1-5章：行列式、矩阵及其运算、矩阵的初等变换及其方程组、向量组的线性相关性、相似矩阵及二次型。概率与数理统计：不考。　3.数学三　高等数学：同济六版高等数学中所有带*号的都不考;所有“近似”的问题都不考;第三章微分中值定理与导数的应用不考曲率;第四章不定积分不考积分表的使用;不考第六章定积分在物理学上的应用以及曲线的弧长。第七章微分方程不考可降阶的高阶微分方程，另外补充差分方程。不考第八章空间解析几何与向量代数。第九章第五节不考方程组的情形，第十章二重积分为止，第十二章的级数中不考傅里叶级数。一、英语考过研或者没有考过研的同学，应该都多多少少了解，考研英语是很变态的(有时候，它更像是在考语言学家，而不是语言运用者)。但是，这些不能成为我们认为英语难的理由。那什么才是难的理由呢?在这里我想先问几个问题，也许你们心自问一下，大概你也就这道英语到底难在哪里了。(用T or F来回答 )(1)大学的英语课我从来都没有逃过，上课认真听讲，课后习题认真完成都没有超过答案。(2)学过的每一篇英语文章，在课后都认真复习，每一句话都认真理解。至今，我都可以告诉别人，随便一篇文章讲的内容，同时可以用英语复述学过的文章。(3)在大学，我保证每个星期(月)有一定的英语阅读量，我读过xx本外文读物。(4)我每天读英语的时间有xxx个小时。(5)大学期间我的英语课外练习册除了四六级的，还有其他。(其他包括雅思，托福，GRE等，也许你会说，我又不出国，看了也没用~可是，我想说，你的英语到底再为什么学?)(6)我大学的英语目标就是四级，过了我就没有在碰过英语。(7)我曾经为了想学好英语买过语法书，并认真研习。(不要跟我说语法没有，要用语感做题。这都是在自我欺骗。语感只是说的好听的语法)(8)我坚持在大学期间定期用英语写作，并找人帮我改正。(9)我一有机会就参加英语角之类的活动。(你会说，我们学校没有英语角，我想问你，那么你试图了解过你的城市有没有英语角了吗?)一般来说，跨专业的难度从易到难可分为三个等级：一级学科之内的二级学科间跨越、一级学科间跨越、学科门类间跨越。调查中，考生的跨考比例也随着难度的增加而递减。一级学科之内的二级学科间跨越：47%不论考研还是就业，在一级学科内的二级学科间跨越，都犹如将左脚支撑变换为右脚支撑，几乎没有任何难度，比如同属于工商管理一级学科下的工商管理、旅游管理、市场营销、人力资源等专业彼此之间跨考难度较低，同属于应用经济学一级学科下的金融学、国际金融、保险学等专业跨考成功率较高。一级学科间跨越：35%在一级学科间跨越，一般可借助一级学科之间的交集拓展跨越。比如，由 0802 机械工程的080202 机械电子工程跨专业至 0811 控制科学与工程中的 081103 系统工程，原机械电子工程专业中也有一定的系统工程理论与相关知识，因此可利用交集进行跨越。学科门类间跨越：18%理论上，在学科门类间跨越是相当冒险的，比如由 07 理学的一级 0710 学科生物学，跨专业至 08 工学中的 0813 建筑学，如果没有足够丰盈的天资与足够强大的勤奋自学能力很难成功。但选择跨学科门类考研的考生在调查中居然超过了 18%。我们并不能就此得出这些考生“盲目考研”的结论。事实上，这 18% 的考生被三大专业所瓜分——新闻传播学、金融学和法律硕士。新闻传播学一向欢迎不同专业背景的考生，金融学则青睐有理工科背景的学生，而不限专业、不考数学的法律硕士（非法学）更堪称跨专业考生的盛宴。其实跨专业考试是不难的，只要准备充分，上线不是问题。难点在于复试时老师的歧视，目前潜规则是老师首先挑选本专业而且是211和985的学生，其次选择本校的。如果又是跨专业，又不是211或者985的学生，还打算考名校的，我劝你慎重考虑。除非你已经得到了导师的同意，否则你就是所谓的炮灰。

今天小编整理了下考研数学一的试卷题型以及知识点，在准备2021年研究生考试的可以认真看下。数学一是高等数学、线性代数、和概率论与数理统计都要考，下面分三个部分来讲解。一、高等数学部分高等数学部分呢，试卷一般是有8个小题左右属于高等数学的范围，也就是选择填空，随机分布。常考的知识点有以下部分，大家可以参考下，有助于复习时寻找侧重点。1. 每年数学第一题通常都是已知极限求参数或者求另一个函数的的极限，这个多练拿到分通常不是问题。2. 下一道题，一般考函数的间断点，连续性，或者无穷小量阶的比较。3. 导数，导数这块小题出题通常是考求导，考导数的定义，或者导数的特性，诸如极值点拐点等，既有纯文字额出题形式，也有图形题。比如给出一个二阶导数的函数图像，判断拐点，极值点，单调性等。这个选择题一般不难，但很容易出错，主要是极值店和拐点的定义一定要仔细弄清楚。4. 方程的根，通常问方程根的个数。5. 积分，积分这块知识点多，出题的类型也比较多，有考求原函数、变限积分求导、比较定积分的大小，积分的敛散性（包括反常积分），积分敛散性这一块有很多人拿不到分，主要是敛散性很多判别方法，你购买的资料不一定会全部罗列出来，所以这个知识点一定要去看一下原课本（推荐同济高等数学第七版）6. 方向导数、梯度、旋度、散度。这个知识简单，出题也不难，但历年出现次数不多，但只要出现，一般都可以拿到分。7. 多元函数，这块出题也比较多，比重也大，一般会考求复合函数、隐函数的偏导数或全微分，然后就是重积分，重积分的比大小，交换积分次序是常考的类型。偏导数的连续性，是否可微、是否存在是个难点，要仔细区分和一元函数相关性质之间的区别与联系。8. 级数部分，通常考敛散性，收敛半径、收敛域、和函数、函数的展开以及傅里叶级数。9. 微分方程，一般考方程解的结构和性质，注意是解的结构，有很多人一看到题就先去解微分方程，有时候还解不出来，浪费时间，一定要先从结构上面下手，可能一下就出来了答案。接下来是数一高等数学部分的大题部分，一般是5个大题属于高等数学范围。1. 函数极限的计算，数列极限，极限的四则运算，夹逼准则，单调有界以及用定积分定义求极限，都是历年常考的点，单调有界这块比较难，往年会出在证明题中，难度系数较大，需要多做练习。2. 微分中值定理，主要就是罗尔定理，拉格朗日中值定理，泰勒方式是常考的点，柯西中值定理也出现过，但考的次数较少。几个常用的泰勒公式需要背诵。出题的时候经常是综合性的需要多个定理同时用，比如证明摸个等式的时候，既要用到罗尔定理也要用到拉格朗日中值定理。当然还有个积分中值定理是大家比较容易忽略的知识点。3. 一元函数积分学，主要考使用换元法，分部积分法，积分变限函数求导，证明某个积分等式或不等式以及定积分的应用，考定积分的应用题可能会有难度，尤其是非理工科专业又要考数学的同学们，因为这类应用题中会涉及到型心、质心等概念，不过只要掌握微元法，也是很容易理解的。4. 多元函数微积分，多元函数的微分学部分会比较容易，主要包含复合函数、隐函数、极值和最值等函数特性，求偏导数，方向导数和梯度。方向导数和梯度大家不要不重视，往年也经常出现，不过一般只考一道小题。积分部分就复杂多了，二重积分、三重积分、曲线和曲面积分都是常考点。5. 微分方程，主要包含一阶微分方程，可降阶的高阶微分方程，常系数线性微分方程，和微分方程的应用。微分方程的应用会较难，但只是难在列出微分方程，只要方程一列出，一切问题迎难而解。6. 无穷级数，包含数项级数、幂级数、傅里叶级数，这块是数一要考的，数二不考，难点也在幂级数中的收敛半径收敛域，求和函数等。二、线性代数线性代数部分的题通常不会很难，小题3道，大题2道。先看小题部分。1. 行列式的计算，抽象行列式是难点。2. 矩阵的运算，加减，相乘，求n阶，矩阵的逆，伴随矩阵等。3. 判断线性相关、无关或者线性表示，这个得分不高，要多注意。4. 矩阵的初等变化，以及矩阵的秩、向量组的秩、等价向量组。5. 判断两个矩阵是否相似、合同。6. 已知相似求参数，求线性方程组的解。7. 二次型，判断是否正定（涉及正负惯性指数）大题一般两道1. 方程组或者矩阵方程，通常是含参数的，求参数，线性表示。2. 相似形，通常也是2到3问，求秩，求相似形，求n阶，注意实对称矩阵。3. 二次型，用配方法化二次型或者判断是否正定或者合同。三、概率论与数理统计通常是3个小题和2道大题1. 概率计算，包括常用分布和常用的概率公式。2. 互不相容、互相独立、不相关，包含常用的期望和方差公式3. 随机变量的分布函数、概率密度。4. 数字特征、切比雪夫不等式、大数定律和中心极限定理。5. 抽样分布x、t、F的典型模式6. 区间估计和假设检验，这块考的极少，也经常很多人不怎么复习，目前只有08年考过一次假设检验，选择题最后一个。大题部分1. 随机变量的函数分布，包括一维和多维，一维比较容易掌握，多维主要考的有离散型、连续型、或者两者综合。2. 数字特征，一般都是求期望、方差、协方差、相关系数等。3. 参数估计，包括矩估计和最大似然估计。但通常也是结合分布和数字特征一起出题。好了，三大部分就总结到这里，这主要是数学一的，当然线性代数部分数学一二三都通用，概率部分只有数学一三有，希望这份整理对大家有帮助。

2021考研数学大纲整体变动情况与去年大纲对比，2021年考研数学大纲发生近十年以来的最大变动，数（一）、数（二）变动达48处，接下来从题型结构、内容结构、考试内容三个模块详细分析。一、试卷内容结构变动，共5处。试卷整体提高了高数的分值占比，同时降低了线代和概率的分值。1.数（一）内容结构中，高等数学分值比例由“56%”变为“约60%”，线性代数和概率论与数理统计比例由“22%”降为约“20%”。2.数（二）内容结构变动中，高等数学分值比例由“78%”提高到了“约80%”，而线性代数分值比例由“22%”，降为“约20%”。二、试卷题型结构变动，共7处。试卷总分不变，题型结构发生变动，提高了单项选择题和填空题的分值，同时降低了解答题的分值。1.单项选择题，有“8小题，每小题4分”变为“10小题，每小题5分”，总分有32分变为50分，分值占比提高。2.填空题，题目数量不变，分值有“每小题4分，总分24分”变为“每小题5分，总分30”，分值占比提高。3.解答题，有“9小题，总分94分”变为“6小题，总分70分”，分值占比降低。三、考试内容与要求变动，共36处。其中高等数学变动29处，线性代数变动7处。第一部分 考试形式和试卷结构1.试卷内容结构调整2.试卷题型结构调整第二部分 考试内容和考试要求1.数学（一）考试要求变动情况第一篇 高等数学一、函数、极限、连续（无变化）考试内容函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形。 初等函数函数关系的建立。数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系，无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质。考试要求1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系；2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念；4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念；5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系；6.掌握极限的性质及四则运算法则；7.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法；8.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限；9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型；10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。二、一元函数微分学（无变化）考试内容导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线、导数和微分的四则运算、基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性、微分中值定理、洛必达(L’Hospital)法则、函数单调性的判别、函数的极值、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线、函数图形的描绘函数的最大值与最小值、弧微分、曲率的概念、曲率圆与曲率半径。考试要求1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系；2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式.了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分；3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数；4.会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数；5.理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解并会用柯西(Cauchy)中值定理；6.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法；7.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用；8.会用导数判断函数图形的凹凸性(注：在区间内，设函数具有二阶导数.当时，的图形是凹的;当时，的图形是凸的)，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形；9.了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。三、一元函数积分学（有变化）考试内容原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质定积分中值定理积分上限的函数及其导数牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分反常(广义)积分定积分的应用考试要求1.理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念；2.掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法；3.会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分；4.理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式；5.①“了解”反常积分的概念”。变为“理解反常积分的概念”，加强对概念的要求；②了解反常积分收敛的比较判别法”。变为“增加”了解反常积分收敛的比较判别法。6.掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等)及函数的平均值。四、向量代数和空间解析几何（无变化）考试内容向量的概念向量的线性运算向量的数量积和向量积向量的混合积两向量垂直、平行的条件两向量的夹角向量的坐标表达式及其运算单位向量方向数与方向余弦曲面方程和空间曲线方程的概念平面方程直线方程平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件点到平面和点到直线的距离球面柱面旋转曲面常用的二次曲面方程及其图形空间曲线的参数方程和一般方程空间曲线在坐标面上的投影曲线方程考试要求1.理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示；2.掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积、混合积)，了解两个向量垂直、平行的条件；3.理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运算的方法.4.掌握平面方程和直线方程及其求法；5.会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系(平行、垂直、相交等))解决有关问题；6.会求点到直线以及点到平面的距离；7.了解曲面方程和空间曲线方程的概念；8.了解常用二次曲面的方程及其图形，会求简单的柱面和旋转曲面的方程；9.了解空间曲线的参数方程和一般方程.了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求该投影曲线的方程。五、多元函数微分学（无变化）考试内容多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限与连续的概念有界闭区域上多元连续函数的性质多元函数的偏导数和全微分全微分存在的必要条件和充分条件。多元复合函数、隐函数的求导法二阶偏导数方向导数和梯度空间曲线的切线和法平面曲面的切平面和法线二元函数的二阶泰勒公式多元函数的极值和条件极值多元函数的最大值、最小值及其简单应用。考试要求1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义；.2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质；3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性；4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法；5.掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法；6.了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数；7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程；8.了解二元函数的二阶泰勒公式；9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。六、多元函数积分学（无变化）考试内容二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用两类曲线积分的概念、性质及计算两类曲线积分的关系格林(Green)公式平面曲线积分与路径无关的条件二元函数全微分的原函数两类曲面积分的概念、性质及计算两类曲面积分的关系高斯(Gauss)公式斯托克斯(Stokes)公式散度、旋度的概念及计算曲线积分和曲面积分的应用。考试要求1.理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理；2.掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)，会计算三重积分(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)；3.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系；4.掌握计算两类曲线积分的方法；5.掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数；6.了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，掌握用高斯公式计算曲面积分的方法，并会用斯托克斯公式计算曲线积分；7.了解散度与旋度的概念，并会计算；8.会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量(平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、质心、形心、转动惯量、引力、功及流量等)。七、无穷级数（有变化）考试内容常数项级数的收敛与发散的概念收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件几何级数与级数及其收敛性正项级数收敛性的判别法交错级数与莱布尼茨定理任意项级数的绝对收敛与条件收敛函数项级数的收敛域与和函数的概念幂级数及其收敛半径、收敛区间(指开区间)和收敛域幂级数的和函数幂级数在其收敛区间内的基本性质简单幂级数的和函数的求法初等函数的幂级数展开式函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数狄利克雷(Dirichlet)定理函数在上的傅里叶级数函数在上的正弦级数和余弦级数。考试要求1.理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件；2.掌握几何级数与级数的收敛与发散的条件；3.①掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法。变为“增加”会用积分判别法。②“会用”根值判别法。变为“掌握”根植判别法，加强对根植判别法的要求”；4.掌握交错级数的莱布尼茨判别法；5.了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系；6.了解函数项级数的收敛域及和函数的概念；7.理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；8.了解幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和；9.了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件；10.掌握 的麦克劳林(Maclaurin)展开式，会用它们将一些简单函数间接展开为幂级数；11.了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和函数的表达式。八、常微分方程（无变化）考试内容常微分方程的基本概念变量可分离的微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程伯努利(Bernoulli)方程全微分方程可用简单的变量代换求解的某些微分方程可降阶的高阶微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程简单的二阶常系数非齐次线性微分方程欧拉(Euler)方程微分方程的简单应用。考试要求1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念；2.掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法；3.会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程；4.会用降阶法解下列形式的微分方程：5.理解线性微分方程解的性质及解的结构；6.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程；7.会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程；8.会解欧拉方程；9.会用微分方程解决一些简单的应用问题。

距离2019考研已经只有不到200天了，同时这也是考生产生问题的高发时期，考生一定要找到方法及时解决，避免造成恶性循环，影响复习成果。下面是中公考研分享给考生的16个易产生问题及解决办法。1、早晨7点钟还起不来【解决办法】把闹钟放到桌子上，远离自己手臂所能控制的范围。2、对考研期间将会遇到的困难估计不足【解决办法】有句话说：考研的人过的是猪狗不如的生活。虽然我不那么认为，甚至还有点怀念那段很单纯的生活，但是这句话至少说明了作为一个考研的人，压力是很大的，困难是很多的，生活是很单调的，总的来说是很吃力的。3、自习室里静不下心来，缺乏效率【解决办法】这个主要还是一个要钻进去的问题，“一心只读圣贤书”是必须的。4、那本又大又厚的数学复习全书【解决办法】最好9月份之前要把它啃掉，最晚千万别超过10月份，不然后面很被动很被动，切记切记。5、不注重劳逸结合【解决办法】硬性规定每周的休息时间(以半天为宜，这半天你想干啥就干啥，千万别去复习，千万别想复习)。6、不舍得放弃一些看似有用其实没用的东西【解决办法】想一下你为什么要考研，考研需要哪些东西?其实考研只需要2样东西：①认认真真的复习;②大学毕业证(据说学位证都可以没有)。怎么样?很简单吧。7、不通情达理专门挂考研学生的老师【解决办法】先跟老师打个招呼说你要考研，要是他不理你的话，你也别理他。大不了挂了就是，没什么好怕的。8、忽视真题狂做模拟题真题永远是最值得我们下苦功研究的，不管是数学真题、英语真题、政治真题还是专业课真题，因为模拟题的命题思路永远跟真题是有很大差别的，你做了就知道。9、背了又忘的英语单词【解决办法】最好是每天抽出一点零碎时间背单词，本人推荐睡前记单词，然后早晨起来之后马上复习一遍，很灵的喔。10、盲目跟风缺乏主见【解决办法】制订一个好的计划，严格按照计划执行。再不行的话，放弃研伴，找一个没人的教室一个人自习。11、一份还算不错的工作的诱惑要是工作实在不错，就签了吧。毕竟现在研究生这么多了，而且国家还在扩招。要是工作比较一般，还是考研吧。12、缺乏一个轻松愉快的心情迎接每一次自习【解决办法】要学会自我安慰：我又一次战胜了自己，来自习了!多上一次自习，到时候又可以多考几分，成功又多了一份把握啊!13、老是有意外情况出现，经常完不成制订的计划【解决办法】先具体看是些什么情况，是计划订多了还是自己的闲事散事太多了——终极办法：校外租房关掉手机大隐隐于市。14、喜欢给自己找不去自习的借口【解决办法】在心里狠狠的骂自己一顿——怎么这么多借口啊!还想不想考研了?多上一次自习，到时候又可以多考几分，成功又多了一份把握啊!15、不善于合理的预判，导致做无用功【解决办法】有些题目虽然出现在了参考书上，但是是根本不会考的，比如说很简单的知识点却出了很难的例题、去年刚刚考过的偏僻考点，记得08年数一考过一道傅里叶级数的大题，而此前15年只出过一次选择、一次填空，于是我就断定：09年绝对不考傅里叶级数，而大题肯定会考每年的热门——幂级数的展开或者幂级数的求和，因为已经3年没考过了而以前几乎年年考，基本上是今年求和明年就展开。于是我傅里叶级数那节根本就没看，重点看的幂级数的展开或者幂级数的求和。结果我就不多说了，有09真题为证。这就是合理的预判之威力所在啊!16、缺乏一定要考上的决心与斗志【解决办法】多想想考上之后是如何衣锦还乡的，多想想考不上是如何吃苦受累的，自己要学会安慰自己啊!

【摘要】从大三开始，考生便开始关注与考研政策、择校择专业有关的信息以及考研大纲的消息。了解考研大纲的内容，对初步了解考研很有必要。百优整理了考研数学大纲解析，供考生参考。2019新大纲尚未发布，不过没关系。根据以往经验，大纲的大部分内容是不做大的改动的，所以目前情况下，我们可以参考一下以往的大纲内容，为2019考研备考复习助力!本文通过近年大纲数据进行分析，为考生复习指点迷津。下面根据往年同学备考情况提出一些复习上的建议。2018年考研数学大纲与往年考研大纲保持稳定，根据考研大纲及真题，高等数学是数一、数二、数三中地位最高的，比重最大的科目。从2005年后高数在数一、数三中占比稳定在56%，在数二中占比稳定在78%，因此考研数学的重头戏在高数。下面将基于近年考研大纲及历年真题帮助考生找到高等数学高效的学习方法：1.高数中比较难的有微分中值定理和不等式的证明题，这一部分题目技巧性比较强，难度比较大。2.数一曲线积分和曲面积分在考试中得分率不高，而数二和数三在多元函数微积分里的要求虽然比数一低很多，但得分率也不高。导致这个现象出现的根本原因在于大多数考生对这一部分重视程度不够，基本的积分计算不过关。3.不按照常理出牌。如数三的差分方程，以往出现的频率极低，2003年至2016年没出过，但2017年出了一道小题，4分虽小，但三道小题就是一道大题。又如数一的傅里叶级数，以往出现的频率很低，大概四五年才会出一道小题，但是在2008年，考了一道傅里叶级数的大题，11分，这是任何人事先都没有想到的。又比如说多元积分考查，数一的大题大多出在第二类曲线积分或是第二类曲面积分上，因为这里有一些很重要的公式和定理(格林公式和高斯定理)，题目比较好出。但2010年，数一却是一道第一类曲面积分的题目; 2011年也只考了一道二重积分的题目，这在以往的考研中都是很少见的，但是这些题的知识点又是在大纲范围之内的，不能说它超纲。通过以上的分析，考生们要清醒的知道考试大纲只是指明了考试出题的范围，告诉了我们考试的具体内容以及每一部分内容的考试要求，并没有规定哪一部分内容考的高哪部分考的低。基于此，建议广大考生在复习的时候尽可能地全面，不要因为某一个知识点在真题中出现得比较少就不重视。也不要去相信什么押题，数学考的是基本功，不是靠一两套模拟试卷就能抓得起来的。基本功靠什么?靠做题。现在，同学们脑中一定存在两个疑问，怎么做题?题量究竟多大?就这两个问题，根据往年学员备考情况，给出如下一些建议。众所周知，考研题目的一个特点是综合性较强，在基础扎实的前提下，提高解决综合题目的能力。这个阶段考生可以练习一些综合性较强的题目，可以在市面上选取合适的参考书。辅导材料千千万，适合自己才是真。这里要特别提醒一点真题很重要!很重要!很重要!比如如下两题：大家是否有似曾相识之感。考研数学的题量究竟多大为宜?王国维在《人间词话》说——古今之成大事业、大学问者，必经过三种之境界："昨夜西风凋碧树。独上高楼，望尽天涯路。"此第一境也。"衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴。"此第二境也。"众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处。"此第三境也。由于考研数学不同于数学竞赛，考研数学考察基本运算能力。考研数学题量是可以大致估计的。正如王国维做学问有三境界，考研数学做题也有三境界：第一境界，借助辅导材料(如李永乐复习全书)梳理考点脉络，题目以单一考点题目为主，题源来自教材或基础阶复习材料，题量约1000题。第二境界，在第一境界基础上，根据强化阶材料总结的真题题型及方法，训练解决综合题型的能力，题源首选2003至2017年十五年真题(数一、二、三相关题)，题量约1000题。第三境界，在第二境界基础上，注意一些数学概念细节，合理处理考试细节，对做过的题进行总结分析，查缺补漏，题源为以前做过仍有问题的题及1987至2002的真题，题量约1000题。首先，一定要用手“做”题而不是用眼“看”题，正所谓“眼过千遍不如手过一遍”;其次，最好规范做题，“误以题小而不做，误以题简而不为”;最后，要养成刻苦钻研、独立思考、独立做题的习惯，“眼高手低”要不得。百优 希望同学们 既然走上了这条考研路，就勇往直前，相信明年的这个时候，你会感谢今年的自己！PS：（有的童鞋问百优，公众号的免费资料还更新吗？ 答：更，会持续更的，只是前一段时间各个官网给百优投诉了，555...，所以后面文章都不让加人家机构的东西，所以没有发文章 ，但是资料是都更新了的，同学们还在汇总的那个连接里保存即可）本公众号除了“百优拼课”下面的拼课版块外，其他的都是免费下载的，我们为大家整理了2019年考研复习资料汇总页面，具体详情关注微信公众号（百优学习网）在干货菜单中找到。

学过信号处理的伙伴，是否还记得傅里叶这三个字在学习资料中随处可见，其应用影响深远。从天体运行的规律出发，地球 月亮 太阳 三者的运动地球和月亮看作质点，他们的运行轨迹就是上述地球 月亮太阳三者的的运动规律，就包含着傅里叶级数最基本的含义先看一个单一的正弦函数的运动轨迹，右边是在坐标轴上的图示再加一个圆，两个圆的合成运动图示再增加一个圆，三个圆的合成运动图示5个圆的合成运动图示：叠加的圆越多，图形越稳定真实。前面已经介绍圆上的旋转就是：运行半圈就是：3是频频，3t就是旋转的圈数，4是运动的振幅，如果用复数表示就是：运行一圈的面积：就可以得到上面所说的圆的合成运动公式：写成通用的格式就是：化简乘以其中一个负的指数幂积分：就得到傅里叶指数情况下的系数：简单明了，伙伴们是不是很直观。

大家好，我是老梁！计算n项和数列极限是考研数学一个常见的考点。就其计算方法来说，主要有下面5种方法：(1)公式法：先利用数列求和公式求和，然后再求极限；(2)定积分法：n项和转化为某一个函数特殊积分和的形式，利用定积分计算该积分和；(3)夹逼准则法：先利用和式数列或部分数列的单调性，将和式分别放缩成两个极限相等的n项和数列，这两个数列的极限就是所求极限；(4)幂级数法：将数列求和转化为幂级数求和，求出和函数后再代入相应点的值（数一、三）；(5)傅里叶级数法（数一）：类似幂级数法。其中定积分法与夹逼法则法是考研数学的重点方法。用夹逼法则计算n项和数列极限，同学们的难点大概有两个：一是怎样判定某个n项和数列能否利用夹逼法则计算；二是如何将数列合理的放大和缩小，以便使用夹逼准则。今天老梁就解决这两个难点。内容主要包括：（1）数列极限的夹逼准则及其推论；（2）夹逼准则应用步骤及放缩原理；（3）适用于夹逼准则计算的n项和数列的条件和类型及其计算方法。一、 夹逼准则及推论1. 数列极限的夹逼准则2. 推论二、应用夹逼准则步骤和缩放原则1. 应用步骤如果用夹逼准则计算某个数列的极限，则必须将该数列适当地缩小和放大，“造出”两个新的数列，这两个新的数列的极限必须相同，一般情况下，这两个数列的极限还得都容易计算。2. 放缩原则三、适用于夹逼准则计算极限的n项和数列的3种类型1. 类型1由n个非负单调且等价的数列之和构成的n项和数列2. 类型2n项和数列的每一项都是两个正的单调数列之比。3. 类型3n项和数列的每一项都是两个正数列之比，且分子和分母数列有且仅有一个为等价、单调数列。一般情况下，求该类型的极限需要将夹逼准则与其它方法一起使用。下面通过三个例子来说明这个类型的n项和数列极限的计算方法。【评注】本例的方法是定积分与夹逼准则的综合。关于定积分方法，拟另文推出。【总结】能应用夹逼准则计算极限的三个类型的n项和数列都符合下面两个条件：（1）数列或由各项分子组成的数列或分母组成的数列都是正的单调数列；（2）该数列的任意两项当n趋于无穷时都是等价的。今天老梁介绍到这里欢迎关注老梁！归纳总结 思维定式奇思妙解 就找老梁往期回顾考研数学｜一文搞懂渐近线抓大头法，你不可能真的很了解！考研数学，一文搞懂无穷小可以等价替换的5个情形考研数学｜上岸985，等价无穷小要掌握到什么程度？考研数学｜无穷小阶的比较：这些方法和技巧，你一定要掌握！

摘要考研四科如四人翘。四人高度差太大易出事故。四科成绩不均衡易瘸腿。应坚持：“单科过线，总分最优”的八字方针！插叙我有写日记的习惯，喜欢总结反思，也喜欢写文章。这篇文章，叫做考研日志更确切些，是之前考完后就写好的，只是当时只分享给了本校的内部群中，当时还没有写博文的习惯。虽然距离我当时考研已经过去了几年，但是思想精髓都是一样的。相信看到我这篇文章的，都是即将要开始准备备考的人，下方写的巨细，因此里面如果涉及到一些书名，卷子名，考研名师，可能目前有所更新，请大家灵活变通，因地制宜。学长简介专业：一本机械荣誉：四项国家奖、四项省奖、两项专利任职：班长、校科协会长面貌：党员（说明我经历丰富，经验靠谱一些）一战：2016报考：211南航专硕科目：数二、英一、政治、理力成绩：57+59+64+145=325研友：（录取）一名华科、一名上交、一名重大推免、一名北航（我们曾经并肩作战，我了解他们的复习套路，学习了他们的复习经验）二战：2017报考：985北理学硕科目：数一、英一、政治、理力估分：130+65+65+120+=380+研友：（待录取）一名北航、一名合工大、一名上大（二战要在学校复习，最好有研友陪伴，考研尽量避免孤军奋战）引子（主要讲我16怎么跪的）2016年据说是数学最难的一年，二战复习时我第一次做16年数学一真题，也只得了108分，马虎失误掉18分，哪怕没有马虎失误也只能拿到126分。因为有24分的题确实不会做。我一战是数学二，虽然卷子难，但是我只考了57分，确实也说明了我基础不好（决定了该年我正常水平应该80多）外加心态不好（这又导致了我少考了30分）。由此可见，基本功和心态都是起到决定性作用的！理力145可以看出我不是一个不学无术的人，那究竟是什么原因导致我数学惨败，因此满盘皆输呢？此处我不就不赘述，大致就是心理素质不好，高考备考期间崩溃过，考研一战期间由于种种原因吧，又崩溃了。当时暑假60天，我在家休息了一个月，在校调整状态了一个月。这致使我数学全书一遍都没看完。因此建议大家要保持运动，尤其是心累的时候焦虑的时候。身心都在线，才能考的好。心理压力真的大的人建议取信咨询室找老师聊聊天，每个大学都有的。然后再自己读写心理学书籍，你会发现大有裨益。众所周知，数学难度大，内容多，最重要的阶段便是暑假全书复习。因为暑假没有上课困扰，每天有大把的时间，而且一般此时专业课还未开始，仅学习英语和数学，因此每天有70%的时间来学数学，这决定了一个人的数学基础。而数学这个科目，基础决定你的最终分数档次！关键（主要讲我17的复习经验）我在身旁见证了我院最优秀的考研者们如何一步步走向成功的，我也亲身经历了失败与光明。所以我这里所说的经验，不仅是我亲身经历的经验，还包括我对我身边优秀学子的成功事例的总结，我这里所谈到的经验具有绝对的客观性与实践性。我将我一战自己的失败教训和身边好友成功经验的总结应用于了我的2017二战生涯。规划总论：8字目标方针：单科过线，总分最优。16字复习方针：政治随意；英语坚持；数学关键；专业学好。16字应试方针：政治随意；英语过线；数学不拉；专业课飚。解释说明：每科时间应该根据其重要程度分配，重要科目多分配，次要科目少分配。因为我们是人，精力有限。因此我们不可能在有限的8个月时间里把四科全部学精，那是不现实的，也是最容易出问题的，最终结果就是总有一科失误（英语、数学或专业课考砸，无缘复试）。因此我们首先要了解自身情况（自己的优势科目与劣势科目），要分清层次，抓主要矛盾，不要胡子眉毛一把抓。政治就像高中的语文，放松性质的，大家都是60多，高分70多，大差不差，不起决定作用，所以只要不放任不管就行。应将主要精力放在数学与专业课上，学累了就看会政治放松一下。考研英语比较难，但是只要每天坚持，成绩基本六十左右，75+是优秀了，很少有人能拿到，因此也拉不开差距，只要能过院线，英语对是否录取不起决定性作用。虽然不建议大家每天花大量时间学习英语，但是必须提醒大家每天都要坚持学。数学成绩就像瀑布，落差大。16年数学难，基础好能120+，基础一般80+，基础差的60-。17年数学简单，数学好的能130+，数学一般的100+，差的90-。数学分数落差极大，对于是否能过过单科线线，或者对于能否高分录取都起到决定性作用。所以大家应该每天把最好的精力最多的时间奉献给最难攻克的数学。专业课难度因学校专业而定，不过显然任何理工科专业课难度都小于数学一的复习难度。所以相比较数学，专业课是复习时稍显轻松的科目，对于这样一个简单，但是分值大的科目，大家显然明白怎么做，那就是把分数尽可能往高处飚。飚高分是相对的，不是非要满分才是高分，只要比同专业的大多数分高就可以了。理工科应将专业课放在仅次于数学的第二位，相对应的复习时间也应该有所偏重。举个例子：我一战数学二57，专业课145，英语政治60左右。所以我二战总时间中将：60%时间给了数学（拔高）；15%时间给了专业课（保持优势）；20%时间给了英语（稳住过线）；5%时间给了政治（随意考考）。最后对完答案预估结果就是：数学一上升约70分，英语政治略有上升，专业课略有下降，总分上升超过60分。这就是好钢用在刀刃上的同时，刀背和刀柄也别忘了下料，最后保证单科过线，总分最优才！数学规划★★★（目标高分的请借鉴）暑假前：按照三步走把数学一三科基础过一遍：看一章课本（课后习题不做）；听一章汤神强化视频（笔记要记录完整）；做一遍汤神强化讲义（习题全做）。暑假间：把李正元全书（高数和概率部分）、李永乐线代讲义完全做一遍。10月中旬前：把李永乐基础过关660题做一遍（25天），做全书与讲义第二遍，仅做错题（高数12天、线代6天、概率3天）。11月前：真题一天一套，近十年真题就行，15年足矣，做更多也无害。12月前：两天一模拟，张宇八套卷或汤神八套卷，合工大五套卷（必做）12月至考前：660错题，真题错题做一遍。然后合工大五套留两套，考前几天要做套卷保持感觉。考前一晚：看自己做的复习笔记，这个笔记可能就只有两三页，但是却包含了你不熟悉的知识，如：个别积分公式，傅里叶级数表达式等。英语规划（目标60的请借鉴）暑假前：早上背单词暑假间：早上背单词或读真题文章。自习时，精做一两篇真题阅读，所有不认识的单词全部文中标出，待日后早晨背诵。暑假两个月要将真题约80篇阅读精做完。11月前：早上背单词或读真题文章。自习时，粗做快做张剑黄皮书150篇，练习阅读技巧。12月前：早上背单词或读真题文章。自习时，主要是利用王江涛的高分作文一书，以及各种作文班视频，整理出自己的一篇作文模板。另外是做真题中其他题型，关键是做七选五，完型翻译因人而异。12月至考前：早上背单词或读真题文章，熟记作文模板。自习时，做何凯文六套卷考前一晚：熟记作文模板与关键词。政治规划（目标65的请借鉴）开学前：无事11月前：每天学习累了就学政治，肖秀荣精讲精练+1000题，时间来不及者就风中劲草+1000题。两个月，拿下1000题。12月前：早晨熟读石磊保命35（保命35是选择），熟背石磊保命32（保命32是分析）上的34题马克思原理和36题近代史模板《1840年》。自习时，做肖秀荣八套卷。12月至考前：早晨熟背肖秀荣四套卷分析题的35、37和38题（34和36题已经用石磊模板搞定了，所以不用背，熟悉即可）。自习时，做肖四、任四、蒋五选择题部分。做完后将1000题、肖八、肖四、任四、蒋五的错题再看一遍（看政治错题这至关重要，决定了你选择题是35的水平还是40+的水平）考前一晚：翻阅保命32上34题马原原理和36题《1840年》，以及肖四35、37、38分析题关键点。专业课规划（因科制宜，因人而异）11月前：打好基础12月前：真题两遍12月至考前：整合归纳，并反复钻研真题与相关题型。理工科专业课大多与数学复习差不多，是注重实践的，因此考前阶段一定要动手算，算错题或者真题，避免手生。考前一晚：翻看自己总结的几页真题笔记，上面记录了自己反复失误的地方，与注意事项。附录——我的实际执行情况大家不要学我，我不是一个有强执行力的人。因为我是二战，有了一定的基础，所以我时间安排不是很紧凑，虽然我很懒散（“懒散”是为了避免压力过大，导致心态崩盘，那样得不偿失），但是规划也完成了六七成，算是勉强及格。基础不好的应届考生应该严格遵守作息安排，这样才能完成上述规划的六七成，当然，全部完成更好，除非你考清北或者专业排名第一的985院校，否则其他任何985都稳走！3月8日：在经历过一个月的调剂与二战的选择纠结后，前天因为一件不愉快的小事使我下定决心二战！在接下来的两个月中我全天懒洋洋的进行了考研数学基础复习。我每日学习懒散。5月1日：发小儿携女友来洛看牡丹，我陪他们渡过了两天。心态有了浮动，外加毕业论文要交稿了，所以就终止了数学的复习。截止于暑假前，高数下册还有级数和曲线曲面积分没看。7月8日：经历了毕业事宜以及短暂沉沦，终于在这一日伴随着考研自习室开门，我和研友们一起开始了暑期强化。每天都是8点左右起床，9点左右才能到达自习室，背背英语，学会儿数学，11点半就早早回住的地方自己做饭吃了。下午2点半到达自习室，学三个小时数学加英语，5点半去吃晚饭，吃完打会台球，7点半开始学习3个小时数学，10点半回家，玩手机然后12点睡觉。每天学习时间约8个小时。9月8日：开学后去了一趟泰山祈福，然后就开始了正规的复习。每天8点半到达自习室，读英语真题上的阅读文章半个小时。9点学数学，11点半餐厅吃饭。2点半开始学英语和专业课。5点半吃晚饭，7点左右开始学习数学，累了就学会政治。这样悠闲的作息习惯一直到了考前一个月。每天学习时间约9个小时。考前一个月：每天7点起床，8点到达自习室背英语作文和政治，9点半学数学。11点半下课。两点半学专业课和英语。5点半吃饭，6点半学会英语政治热热身，然后开始学习数学到10点半。回家睡觉，11点半前入睡。最后附上一张我的演草纸图片，95%是数学演草纸，大小A4，张数500+，不到1000张。由此可见，再好的规划，再多的经验，如果没有脚踏实地的付出，都只是竹篮打水，水中捞月！图：A4对折、A4三折、B5对折