考研级数题目

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大家好，我是老梁！今天继续推出《30年考研数学真题分类解析》专题三：极限基本理论。极限理论是考研高等数学最不容易掌握的内容，定理繁多，扩展性较强，出题点基本上是理论的扩展部分，如四则运算、复合函数法则的扩展，极限性质的扩展等。由于这部分真题题目较多，篇幅过长，因此知识链接部分只列出了与题目相关的部分，其它部分可参考老梁的其他文章。知识点链接一、极限的性质1、收敛函数（数列）的有唯一极限。2、极限保序性：二、极限四则运算一些扩展三、归结原则四、连续函数极限复合运算五、夹逼准则六、单调有界原理单调有界数列必收敛；数列收敛必有界；收敛数列不一定单调.真题及解析【评注】极限理论是高等数学的基础，后续所有部分，如连续、导数、积分及级数等都建立在极限的基础之上。极限理论知识点掌握的牢固与否直接影响后续知识的掌。而且极限理论在考研数学中是高频考点，既以选择题的形式单独出现，又常常和其它知识点结合起来，因此同学们一定要重视极限理论的复习。下期预告：30年考研数学真题分类解析|专题四：函数极限计算（一）

距离考研初试仅有6周了，你的考研数学复习怎么样了？考研数学可以说是非常难的一门科目，而2021考研又出现重大改革。试卷结构、分值、内容均发生变化，高等数学所占分值比例增加了，考生关于数学备考中心应转为高等数学。近日，张宇老师针对高等数学冲刺复习进行了针对性指导。提到张宇，你第一印象是不是歌手张宇。那只能说你不是考研人，如果你有备战考研第一个想到的应该是数学老师张宇。张宇老师可以说是考研数学辅导中实力派之一。本人至今还能想起张宇老师的一句话：立即推、放弃考研。或许张宇老师这是在激发考生逆反心理，你叫我放弃，我偏不。当然也有不少考生被这句话打击到，本人当年在图书馆备考时，就有考生因为这句话，将桌子掀翻，弃考了。言归正传，一起来看下张宇老师划的重点题型吧。如果考生用的正是张宇老师编写的高数18讲，那就恭喜了。如果不是，本人建议考生借用下别人的，如果想买也可以。（1）函数与极限函数极限与连续，考生重点看14页的例题1.24和25。数列极限，考生重点看27页的例题2.7、28页例题2.9、37页习题2.7、31页例题2.14、33页例题2.17、29页例题2.10、30页例题2.12。（2）一元函数微分学一元函数微分学的计算，考生需注意第59页的例题4.12,202页例题11.13。一元函数微分学的应用一，135页的例题8.14，考察最值问题。79页的例题5.18，考察值域问题。一元函数微分学的应用二，第97页例题6.12，第99页例题6.15和6.16。主要考察中值定理、微分等式和微分不等式。（3）一元函数积分学一元函数积分学的概念与性质，第132页的例题8.10。一元函数积分学的计算，考生需注意第156页的例题9.24。一元函数积分学的应用一，第185页的例题10.22、190页的例题10.30。一元函数积分学的应用二，第199页的例题11.9和200页例题11.10。202页的例题11.13和204页的习题11.8。这部分主要考察积分等式与积分不等式。一元函数积分学的应用三，第212页的例题12.5和6、214页的例题12.9。这部分属于物理应用和经济应用。个人认为，数一和数三的需要学习，数二考生可以根据自己情况自行决定。（4）多元函数多元函数难度非常大，本人当初考数一，差点被三元函数弄崩溃。还好最后调整心态，选择性放弃一部分三元函数的知识。宇哥本次画的重点不多，但是本人还是建议数一看看三元函数微积分，数二看二元函数就可以了。第240页的例题13.29。无穷级数。本部分考数一、数三的考生需要复习。主要是掌握几种变形方式。第329页的例题16.37。如果考生觉得和别人用一本教材不方便，考生还是自己买本较好。最近一段时间，快递一定非常忙，越早点击购买，书籍越早能够到底你手中，毕竟只剩下最后42天了，还要犹豫错失时间吗？以上就是张宇老师针对考研数学冲刺重点针对性地划题，主要还是一元函数的微积分，考生如果能够拿到这部分分数，过线将会变的简单许多。希望考生能够抓紧掌握，预祝大家顺利上岸。

考研从这里开始今天逸凡说考研给大家分享一下考研数学三150分满分学长的考研经验贴，附上学长的一些备考小启示。数学：这个是我最擅长的。数学三我一直觉得是一门很神奇的科目，因为它让很多人失望，却又是很多人成功的关键，可以说数学应该算为数不多的如果你很厉害就可以打满分的科目吧，所以对于数学好的同学，强烈建议选择考数学的专业，这样可以为英语政治、专业课减轻不小负担，比如我公共课是297，即使专业课刚及格，总分也有390了，也算够高了吧。下面来分享下我的复习经过： 考研进行时7月份：数学必须一以贯之，我本科高数都是90+，在大三的上学期的3月份开始初步有了考研的打算时，那时我就把大一大二的课本做了一遍，然后看看英语，正式复习是7月开始的，基础不好的话必须提早些。由于数学是上午考，我就每天上午8点到11点都在看数学，以保持状态用了40-45天看完的，千万记住里面每一道习题都得动手做，把不会的题号记下来，以备下次重点复习，大致方针是按这样的进度：1、极限2天，2、一元函数微分5天；3、一元函数积分5天；4、多元函数4天；5无穷级数2天；6、微分与差分方程2天；线代各章2天，概率前4章各2天，后3章1天。 8月中旬：李永乐做完了，这时我就开始做李永乐的《660题》，这里面的题目比较难，做起来有点心灰意冷，不过重点还是掌握里面的方法，而不在于题目本身，真题是完全没有这个难度的，就这样，每天40道，一共刷大概20天，就刷完了，恰好暑假也过去了。总的来说，基础差的别急，多花时间放宽期限，不过最多也要60天搞定。 9月—10月：这是到了提高成绩的关键期，因为9月到10月是离考试既不近也不远的时间，这里我想推荐几本大家可能没有听过的书，叫做《微积分解题方法与技巧》（北大出版社刘书田）、《概率论与数理统计解题方法与技巧》（北大出版社张立卓）（为什么没有线代？不是没有而是我不推荐，虽然我也做完了但感觉一般，线代用李永乐的《线代辅导讲义》是最好的），我2次考试概率论部分都是满分，因此尤其推荐概率论这本书，有很多灵活的方法非常实用，其中有一道例题，基本囊括了整个数学三的概率论知识，看懂这本书基本可以保证你考研概率论部分满分（想当年大二的时候，那时太懒了，我基本从来不早起去赶第一节高数课，考前一个星期找到这本书看了一个星期，直接96，全班最高分），微积分这本有点难，做不出也没关系，但概率论这本真的是很好很好！！大概从9月10号到10月20号，以上3本书都做完。同样不会的题目把题号标出来。不过注意，太偏太难的不用管。 复习进度10月20到11月，这10天，我把真题每天做了一套，并且认真对了答案，这是也大概知道自己的水平，那是我基本上在120-140波动，不太稳定，接下来的任务就是求稳了。11月：我听过来人建议，把陈那本蓝色特别厚的复习全书挖出来看了看，感觉就高数部分写的好，有挺多新思想和新解法的，时间充裕可以看看，线代和概率不如二李的，我当时是都刷完了，所以花的时间比较多，用了整整一个月。12月：最后冲刺时，我基本是一天一套模拟题，能找到的都做，累了就把以前所有参考书不会做并且标出来的题拿出来再练练。当时做了一个6+2的套卷（6套），400题还是超越135分名字忘记了（10套），张宇的8套，以及还有一个姓曹的5套，卷子都挺好的，大家量力而做就行，不在多，而一定要做。最后3天可以不用做了，查漏补缺看笔记就好，放轻松去考试。 小提示我对复习数学的建议： 1.如果复习时间过晚，那么就不太建议考带数学的专业了，因为数学是很难瞬间提高的。 2.尽量把学数学的时间定在上午，因为长时间的训练可以让自己在这个时间段对数字敏感，而数学正是上午考的。 3.模拟题要练，千万不能从开始备考到靠前一天一直抱着全书，让我想到，全书虽好，可不要贪杯哦~~到最后全书也是为考卷服务的，所以模拟题要多做，对于找感觉及其重要。 4.在应试技巧方面，我想说的是一定要学会用特殊值法，考研教材上很多题的参考答案都会有一堆原理去解释，但我经常不会去看，我经常做的是找一个特殊值，尤其是选择题，基本8道题有5道以上都会用特殊值法求解或者验证，再用排除法来求解，这样的好处是只要你完全满足题目要求，就能很快很精确的排除错误答案。比如告诉你一个函数 f（x），然后balabala一堆性质，再问哪个选项正确，如果是我做题，我基本都会找出一个具体的函数，满足题干中的全部条件（一定要看清题），再用排除法把3个选项排除掉，这样做出来的题目成功率非常高而且花的时间少不用去想那些理论。填空题不那么好做，不过也有很多可以，比如题目告诉你 limf（x）/x=2，那我就会直接把 f（x）=2x来试一下再用 f（x）=sin2x 来看是不是一样的答案……经常可以直接得到答案。特殊值法在660那本书里可以好好练练，节约时间的神技能。 5.在考试过程中，千万别卡题，遇到不会的别多想，直接跳，做题顺序没必要压的那么死，像我今年，级数那道题我觉得可能会比较麻烦，就直接先跳过去做后面的题目了。 最后，希望这些可以给你的数学考研一些启示，祝好！ 加油加油

01关于学校专业Q：为什么选择这个学校/专业?以及一系列。因为我在前期选学校的时候，看到学校师资非常的优秀，专业实力也非常强，所以非常想跟老师学习专业上的知识，看了老师的一些著作或论文，更加坚定了我想要报考这个学校的决心（如果没看过论文就别说，以免老师问了看了什么论文打不出来，丢掉印象分）。而且从之前的学长学姐那了解到，学校的学习氛围很好，来到学校感觉学校非常美，也很安静很适合读书学习（根据学校实际特点说）。其实这就是给你个机会好好夸学校，夸的时候要突出学校各方面条件非常好，而且自己想在学校钻研学术的心。上面是非常中规中矩的答案，如果你能从其他角度想到与众不同的答案，肯定会让导师眼前一亮，大大加分。不要盲目的不切实际的夸，最好不要答因为学校或专业比较好考。如果是调剂的同学也是一样，想调剂到这所学校，是因为学术氛围好...（即使你只有这一个调剂机会了，也不要实话实说，如果这么说大概率情况会失去读研的机会了）Q：读过哪些专业相关的文献书籍？这个题目出现的几率极大，除了专业领域的书籍期刊外，可能还会有学校自己定的参考书目。在复试备考的时候，要重点看业内大佬的专业著作，尤其是院校规定的专业书目，即使看不完，也要大致知道书里在讲什么。这个问题还有2个延伸方向：1某本书的主要学术思想，你对哪一条对印象最为深刻之类的问题？回答这个问题，最好准备好一两个观点和案例，并且预先对自己的回答做问题设问，这样在考场才能应对好老师的连环。2对目标专业的研究方向有什么了解，谈谈你的看法。对于报考的专业，就算没有深入的了解，至少也要了解专业研究的大体方向，报考专业导师的学术观点、专著。了解相同院校相关专业的情况，做好比较，优势和劣势在哪，表达一下自己的见解。02关于未来规划Q：如果考上了研究生你将来的学习规划是什么？这个问题可以从短期规划和长期规划两方面来说：短期规划：读研期间的学习规划长期规划：未来的人生规划短期规划：因为我对报考的专业非常感兴趣，所以读研期间，我想要跟着老师学习专业领域的知识，希望能更多的参与到老师的课题中，和师哥师姐多讨论专业上的内容，不断精进自己的专业知识。除了这些，我还想要多涉猎不同领域的书籍，向更多比我优秀的人学习，拓宽自己的视野，从更多元的视角去看待专业上的知识。未来规划：我的长期规划是希望能在研究生期间，不断提升自己的专业度，将来从事与专业相关的工作（或者说你有考博的计划，希望能在科研领域作出一些成绩）。也可以说说自己希望未来自己能在专业领域能做到什么样的成绩。这里千万不能回答笼统又大又空的话，比如我没太认真的想过、我们我想要好好学习之类。或许你真的是对未来迷茫，想在读研期间去摸索，但是在面试的时候，一定要表示出你所作出的规划。Q：研究生时希望研究什么方向？个人觉得不要给太具体的回答，如果有非常想研究的方向也最好说的宽泛一点，毕竟进去了啥都好说。基本上大多数人都是比较迷茫的，而且有很多文科都是读一年后才会选导师，所以这个时候答案本身并不是特别重要（理工科除外，因为有很多一进去就要被老板折磨），这个问题在复试提出有两个意义，一个是想看看考生对老师和专业的了解 、求学态度（考生的目标感），另一个是看看和导师科研需求的匹配程度。即使联系过导师，也要说涵盖导师研究的大方向，没拿到录取结果的那一刻，什么都会变，万一这个老师临时改变主意了，其他老师也有可能会给机会。其实这个问题拆解出来就是问学习规划，如果真的不知道说啥方向，就把具体的学习或学术规划说说吧。03关于本科审查Q：毕业论文的内容，比如毕业论文参考了哪些文献？1. 准备好500字左右的毕业论文/设计的概括，毕业创作/设计的写作思路、设计理念、表达思想等。2. 可以谈谈你在写论文时的研究方法，或毕业设计的的灵感来源。我读研的时候，导师就非常重视论文的研究方法，如果你本科阶段不太了解，可以问问老师，或者上网查查，不要求精通，至少得了解吧。3. 如果你是跨专业的考研党，可以先大致说说你本科的学习与研究，然后再结合本科专业，说说对所报专业的研究的支持作用。Q：你为什么没有通过英语四/六级?如果四六级没过，告诉导师你有些偏科，但是这次准备考研，英语花了很大的功夫，并且在基本功上有所提高（不然你英语也过不了线...进不了复试环节），你要告诉导师，你虽然确实不太擅长英语，但现在还在坚持每天学习，而且相对于英语你更擅长...至少让老师知道你虽有弱项，但是你足够上进用时间去弥补不足，最后转到你擅长的内容上去。（这一条大家都可以说，英语不好不是什么致命弱点，或许你在其他方面更擅长也是一种优势，掩盖了你这个短板）Q：大学学过的专业课程有哪些？说一些主要的专业课程最感兴趣的一两门课程原因，即可跨专业的话，就说这一两门感兴趣课程中的收获对目标专业的积极影响Q：大学四年获奖情况1如果你有参加过专业相关的比赛或活动，即使没取得名次也没关系，可以告诉导师你参加过几次比赛，虽然没有取得名次，但是在比赛中你的专业能力有什么样的成长，自己收获了什么。2如果你参加过其他比赛（与专业无关），那可以告诉导师你参加过什么其他比赛，虽然没有取得名次...但....回答方式同上。3如果你参加过比赛或活动，但看起来含金量非常低，但在你其他方面没有什么优势的时候，做过什么总比没有做过强。这种情况就不要把展开来说，直接以数据化的形式告诉导师，你参加过x次，哪方面能力有所提升，可以举个栗子告诉导师，这些能力的提升对你专业学习上有什么意义。Q：有没有做过关于本专业的科研实验、或者参加过哪些项目？我本科的时候做过....（本专业考研党可以讲讲本科时候的学习或实践经历，跨专业同学可以表示对这个专业的兴趣），做过一些相关的实习（如果有可以讲，如果没有就不讲）。注意：分点说，不要把做过的事情全部都说，选有代表性的事情来说，重点突出做这件事的成绩或收获。 如果本科期间没参加过校园活动、成绩一般、没有发表过科研论文，那么找找其他方面，总有一种是你喜欢的。比如你大学期间自学了一门外语，又或者是你喜欢记录生活，坚持写日记，或者喜欢拍照，喜欢二次元漫画等等。不管这些你是不是真的擅长，你都可以说，至少某种程度上，能让导师看到你热爱生活，看到你的上进心。如果拿兴趣爱好来说的话，一定要举例，不要说我喜欢...就完了，话谁都会说，一定要用一两件事情证明下，你能做好或你真的喜欢做这件事。Q：询问本科成绩复试面试中了解考生的本科成绩是考研复试中的基本环节，成绩好的同学可以着重介绍自己的成绩及本科收获，成绩不好的同学，也不要有心理负担，可以这样在面试中补救。1. 自我介绍有所侧重如果本科成绩不好，但在大三时成绩有进步，那么在自我介绍时，可以着重表达自己好好学习后，学习成绩得到了显著提高，突出自己在学业成绩上的进步。如果本科成绩一直不是很理想，可以在自我介绍时，着重介绍一些自己本科上过什么课，不要过多强调成绩方面的内容。在自我介绍的环节，我们可以变被动为主动，把本科成绩不好这个暂时不利的情况，转化为对我们有利的情况。2. 展现自己对报考专业的熟悉程度如果我们本科成绩不好，那么在考研复试面试中，更应该是如此。如果你很早就投入到对报考专业的复习，我们也可以把老师问及我们本科成绩的问题，转移到我们对于报考专业的学习和研究上。3. 基本态度是不回避无论你是在自我介绍中展现自己本科成绩有提高，还是讲述你对本科学科的熟悉程度，亦或是化被动为主动地讲述我们对于报考专业的学习，我们的基本态度都应该是不回避、坦诚。那是只是我们的本科成绩而已，如果不是因为考研，也不会那么被人过分强调。所以，面对本科成绩，我们在准备复试和复试面试现场的基本态度就是不回避，也不要因本科成绩不理想，有过重的负担。04关于日常生活Q：介绍下你的大学这个问题是导师一般会对自己不太熟悉的院校做这样的提问，尤其是二三本院校的考研党一定要注意准备。可以按照这个思路准备：1. 要介绍院校的地理位置（如果学校名字没有体现在哪的话）在当地处于什么什么水平（几本）如果所学专业是院校重点专业拿出来说一说；2. 学校的优势：国际化、重实践、学风浓厚（可以顺便带一嘴自己在这样的环境下获得的东西，比如外教课多，所以自己的口语能力强；3. 有大牛人物也可以拎出来说一嘴，比如某教授是我们学校的、著名的xx创始人是我学长，我也一直以他们为目标努力；4. 配套很强，专业实验室齐全；可以在演播室，实验室，金融实操过很多次。但注意说的时候不用说太多，核心逻辑就是几句话突出优势，这个优势跟自己有什么关系，对自己有什么影响。Q：介绍下你的家乡？考生应该从自己的家乡特殊点出发，在自己的家乡特殊的熏陶之下自己有哪些能力的提升或自己的家乡对自己的影响，老师最为看重的还是你的家乡对你的影响而不是你的家乡有哪些小吃或者是哪些著名的景点。Q：详细阐述自己的爱好可以从自己的生活和专业等方便作答，生活方面体现自己的兴趣爱好广泛即可，更加注重的应该是自己的专业课的内容学习，说说自己在专业方向上的兴趣爱好，可以结合自己的生活中或者是自己的大学期间的重要项目来作答。05其他问题Q：如果这次面试没通过呢?回答示例：如果没有通过面试，我会觉得很遗憾，因为这个专业是我非常感兴趣的（或这个学校是我非常喜欢的），我非常希望能够在这个专业领域不断深耕，而且在考研期间，我也非常努力，付出了很多的时间和精力（如果有突出点，可以举例，比如父母不支持，但是仍然努力说服或坚持自己的想法等）。最后如果没能被录取，会有些难过，但是我会认真思考自己的不足，调整好状态，再做之后的打算。建议：不管面试发挥地怎么样，听到这个问题，心里肯定都会咯噔一下。但是别担心，这个问题是在考察抗压能力，你冷静回答就好。Q：跨专业的考研党可能会被问到：你认为自己的本科专业和现在所考的专业，有什么互补性或者借鉴性?回答建议：其实跨专业的考研党根本不用担心，实际上一些老师很喜欢跨专业的考生，因为有多学科的背景，跨界掌握的知识面会更广。你可以针对自己的专业说一些与专业相关的东西，找到所跨专业和自己专业的交叉点，以交叉点为突破口就行了。以上都是框架和思路，大家一定要根据自己及学校专业的情况灵活使用。

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2010-2019年 考研数学一二三真题 逐题精讲视频已出!!!考研数学真题讲解：每日一练227天一、题目二、解析考研路上，你我同行。加油！关注“泰笛牛考研数学”，一次性获得完整历年考研数学真题资料！还可以免费享受在线答疑！关注能考140+分哦~

数列求极限一般在考研数学中属于难题，很多同学要么不会做，要么做不完整。其实原因有很多，可能是你做的题目类型少；也可能是你对这样的题目没有形成自己的解题套路。今天笔者来给大家分析几种数列求极限的考题类型，当然我也是受某为名师的启发，大家想看就看，不喜勿喷。1.用单调有界准则求数列极限。这种方法比较常用，也是求极限的方法之一。说到这里给大家来个小插曲吧，求极限的方法包括夹逼准则、洛必达法则、等价无穷小代换、泰勒公式以及单调有界求极限。一般情况下洛必达和等价无穷小代换出现的比较多或者洛必达和泰勒公式结合，而夹逼准则和单调有界准则更多会出现在数列求极限。回到主体，用单调有界准则求数列极限可以说是很常规的考法，但是考题难度不一。如果题目简单会给大家一些提示，比如先让大家求数列对应连续型函数的零点或者单调性等等；如果不简单的话，题目可能直接让大家证明极限存在和求极限。18年数二就是个很好的例子，题目直接让证明极限存在并求极限，所以难倒了一大片考生。所以在考前大家还是最好去接触接触这种题型。2.结合定积分定义求数列极限。本来是有图的，但由于我忘记带那本书，所以在这里就不给大家看例题了。这种题目好像在十八讲中有所涉及，在夹逼准则那里作为特例出现的好像，大家可以翻书看一看。主要问题在于，你在做这种题目时，大家看着也许都像是要用夹逼准则就可以做出来，但是做了之后左右两边极限不相等，所以这个时候就可以考虑用定积分定义来做这样的题，所以同学们要牢牢掌握定积分定义的用法。3.“隐性”夹逼准则求极限。为什么说是“隐性”呢？就是说题目中没有明显说怎么求，这里有张图可以给大家看一下。这种题是有一定难度的，所以会首先给大家一个台阶让大家证明一个不等式成立，也算是在给大家指引解题方向在哪里。但是这种类型的题目就怕出难了，不给任何提示就让大家求，可能大家会没有思路不知道方向和不知道怎么放缩……但是这类的题目已经有十多年没有出现了，大家还是花点心思了解一下比较好。主要解题步骤就是去证明让证明的不等式成立，再用证明过的不等式结合夹逼准则求极限。希望以上几种题型大家予以重视吧。

相信考研的学生都听说考研存在大小年，也就是奇偶年，意思就是说考研奇数年容易，偶数年难。那2020年考研的同学是不是已经在风中瑟瑟发抖了呢？选专业在考研交流圈里，一直都有存在着考研大小年的话题。意思是考研一年容易一年难，具体来说是奇数年容易，偶数年难。那么说到这，2020考研的同学瑟瑟发抖了？考研存在大小年这个说法，在某种程度上是认同的，假如前一年题目难度大，则第二年难度就会小。这可以从数学考试中看出来，比如16.18年数学难，17年数学就简单。那大家所说的大小年真的存在吗？有可信度吗？从考研分数看大小年其实所谓的大小年是大家按照每一年出题的老师难度以及各个学科的分数线而推出来的一种趋势。这种趋势可以给大家一定参考，但是绝不可以100％相信。考研公共课的题目是出题人按照大纲来出题的，不会存在太偏、太难的题目，因此在备考过程中，大家只要好好准备就可以了，不要存在侥幸心理。专业课题目对于考研的专业课题目，一般都是学习自己命题，大家只要好好做学校的真题就可以了，多多研究学校出题的规律，至于大小年，大家自己心里有数就可以了。大小年只是一个说法，没有绝对意义。而存在大小年的原因也是命题老师根据以往的考生录取考生考试情况而做出的灵活变化。2020考研2020年是偶数年，那考试难度真的会增加吗？我们又应怎么办呢？其实大家不用担心，就算考试难度增加，那也是大家一起难，分数说低都是一起低，你还怕什么呢？而且考研难度和你是否能看上关系不大，考研难度和你的复习有关，如果你平时认真、踏实复习，那无论题目难易你都会考的很好！最后，预祝2020年考研的学生们顺利上岸！