考研常用不等式总结

基本不等式可以用来解决函数值域、最值问题，可以用来解决不等式证明问题，也是用来解决参数范围问题的很有效的工具。基本不等式在高考中也属于常考点，有时是对其单独考查，为会结合其他知识点考察。结合的题目难度一般为中等偏上。高一数学基本不等式和柯西不等式是非常重要的，但是不少同学学起来有些困难。学习时，要注意“拆、拼、凑”等技巧，开始时可以从简单的习题入手，此外特别要注意应用条件，只有具备公式应用的条件时，才可应用，否则可能会得出错误的结论。下面是基本不等式常用结论，配了一些常见的习题，并附上了答案和思路提示。上面的不等式应用求最大值最小值、不等式证明的习题都是比较简单的，把这些拼凑变换熟练了以后，可以在找些复杂的题目来做，后面我会再提供一些题目供大家参考。有问题请在评论区留言探讨。

前言不论你从什么时候开始，重要的是开始了就不要停，不论你从什么时候结束，重要的是结束了就不要悔恨.每日一题感 悟1.当数列极限易求：考虑先证有界性，后证单调性.2.本题有界性和单调性的证明最终回归到不等式的证明，故利用导数证明不等式是相当重要的话题.

线性代数中矩阵的秩是非常重要的一个概念，它不仅可以用来判断线性方程组的解的情况，也是描述矩阵重要特征的一个概念。由于许多数学符号无法正常显示，例如转秩符号，AxMath和MathType等数学公式编译器也使用不上，所以可能会有一些表述不够直观，还请多多包涵。小编思考了很久，如何来讲解矩阵的秩是这个概念，才能让大家通俗易懂的理解。想想还是给大家介绍证明思路比较合适，相对于逻辑思路，结论是次要的，逻辑思路是学习数学的重要环节，因为数学是严密的、逻辑的。接下来我们直接看干货，常见矩阵秩不等式的总结。学习矩阵秩的定义(1)从矩阵的子式出发来定义：设在矩阵中有一个非零的r阶子式，且所有r+1阶子式的值均为零。则的值称为矩阵的秩为r，记为r（A）或rank(A)。(2)从向量组的极大线性无关组出发来定义：把矩阵的每一列(或每一行)都看作成向量，那么这组列向量(或行向量)的极大线性无关组的向量个数，即为矩阵的秩。考研加油矩阵的秩不等式(1)矩阵A的秩等于矩阵A的转置的秩，也即矩阵的行秩=列秩。证明思路：一个矩阵经过一系列初等变换，都可以对应到一个标准型，而标准型的非零行数就是矩阵的秩。又因为矩阵的标准型是唯一的，所以矩阵的行秩与矩阵的列秩一定相等。(2)矩阵A的秩等于矩阵A转置乘矩阵A的秩。证明思路：分别构造构造齐次的线性方程组，Ax=0与A转置乘Ax=0同解。因为可以使用前面一个方程式子推到后面一个方程式，反之，倒过来也成立。两个方程组同解，故秩相等，即得到证明。考研学习(3)矩阵A加矩阵B和的秩小于等于矩阵A的秩加矩阵B的秩，即rank(A+B)≤rank(A)+rank(B)。证明思路：把矩阵A与矩阵B分别都看成列向量的形式，利用向量组之间线性表出的关系以及极大线性无关组的概念可进行证明，具体如下：证明(4)矩阵AB的秩小于等于矩阵a的秩与矩阵B中秩中最小的那个，即rank(AB)≤min｛rank(A)，rank（B）｝。证明思路：把矩阵A看成列向量的形式，把矩阵B看成(bij)，就可以得到AB的每一个列向量都可以由A的列向量线性表出，即得到了矩阵AB的秩小于等于矩阵A的秩。反过来同理，把矩阵B看作为行向量的形式，具体如下图：证明(5)A为m×n阶矩阵，B为n×s阶矩阵，而且AB=0，那么rank(A)+rank(B)≤n。证明思路：由AB=0，那么我们得到B的每一列向量都是齐次方程组Ax=0解，那么Ax=0的基础解系的个数是n-rank(A)，也即最多有n-rank(A)个线性无关的解，即得证。考研数学(6)若矩阵P、Q可逆，那么有rank(PA)=rank(AQ)=rank(A)。证明思路：这个应该比较容易理解，矩阵左乘以一个可逆矩阵，相当于对矩阵进行了初等行变换，矩阵右乘一个可逆矩阵，相当于对矩阵进行了初等列变换，而矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，所以命题成立。(7)当然，还有很多的重要秩不等式，例如Forbenius秩不等式，Sylvester秩不等式，及一系列的分块矩阵秩不等式等等。还有一些常见且重要的矩阵秩不等式，具体如下图。总结矩阵秩的意义通俗的来说：矩阵的秩就是矩阵中最有意义、最有价值信息的数量。小编的高等代数老师，上课时是这样解释的，当时正值上午第四节课要吃饭了，假如每一个同学都可以点自己喜欢的菜，一般来说肯定有部分同学点的菜是一样的，那么去除掉那些点重复的菜的同学，剩下的这些同学就包含了全班同学点的全部菜单了。严谨的来说：矩阵列向量张成的空间的维数dimension of the space spanned by the coulomb vector of the matrix大学，加油我的一点学习建议小编在文中，也只是列举了一些基础的、常考的、常用的矩阵的秩不等式，这都是同学们必需要会的，最好能够记住它们。上面图中矩阵的秩不等式，建议大家也最好都能够熟悉、自己推导出它们每一个的证明过程，以及之后每碰到一个秩不等式都归纳到一起，用不了多久，矩阵秩不等式的题型，无论是期末考还是考研线性代数，基本都可以轻轻松松拿下高分。

在历年高考数学题目中，不等式题型始终会和各种题型搭配考察，但是他不会单独出现在解答题目中，虽然不等式的分值不高，但他对于题目的解答过程方程式也有着决定性作用，贯穿着整个题目的数量关系。作为高考不等式知识点的考查，大致从五个方面进行探讨：不等式性质应用、求解不等式，更多的是和函数、数列等知识有机融合，求最值、大小比较、最优解等，都用到不等式的相关知识。由于不等式及其性质所涉及的面是很广的，特别是和函数（数列）结合，内容丰富，难度大，往往作为高考的压轴题出现，故历来是学生和教师关注的焦点。而在历年高考中，不等式的考察又可以分为一下这几种类型的题目：均值不等式，基本不等式，利用不等式求解最大值和最小值问题，和函数（数列）结合考察。西面学长就为大家剖析下这几类题目的大致解题技巧。第一，均值不等式均值不等式是高考的热点，主要考查利用均值不等式求最值、判断不等式、解决与不等式相关的问题，主要以选择或填空题形式出现，难度中等及以上，比如历年的全国卷主要放在16题填空题或者22题不等式选考部分考查。利用均值不等式求最值应同时满足三个条件：（1）各项或各因式为正；（2）和或者积为定值；（3）各项或各因式能取到使等号成立的条件。第二，基本不等式基本不等式涉及基本不等式的推导教学和求解最值问题两大部分.是不等式中高频考点之一，其应用、变形等是考试热点。基本不等式看似简单，但是再解题的时候却有很多细节性的问题需要注意，不等式的表达式通常就在这类题目中会出现，所以同学们在运用的时候，一定要回融汇贯通。第三，利用不等式求解最大值和最小值问题不仅仅是高考题，在每次考试中，求解最大值，最小值问题时，运用不等式都是最简便有效的方法，而在，高考数学中，填空题的难度相对比较大，会经常放在16题，以压轴题的作用来考察。在解题的时候，注意如果题目能够满足不等式的条件，则直接使用不等式性质求得最值；若不能直接满足不等式的条件，则改变结构，通过代换创造使用均值不等式的求解条件；若一次使用均值不等式不能达到目的，则多次使用，但要注意取等一致。第四，结合函数（数列）结合考察在之前的文章中，学长更新过高考解答题的常考题型，其中，数列和函数题目的分值都在12分，而且难度也是比较大的，因为他们经常会和不等式结合起来考察学生对于数列或者函数的深层次性质的理解或者运用。最后要求的就是函数数列的最大值或者最小值。第五，证明不等式成立题型证明不等式成立问题难度是所有高考题目中最高的，也是会和数列题目和函数题目结合起来考察的一个点，这里就要求同学们能过非常熟练的掌握不等式性质，很多同学在遇到这类题目的时候，无从下手，不知道该怎么书写解答题的步骤，导致失分过多，这是因为，大家没有掌握好不等式和函数，数列结合时候，不等式性质的转变运用，只要大家能够噱头不等式，解这类题型还是相对比价容易的。不等式题型不像等式题型那样具体，，他是一个范围的曲解过程，蕴含着丰富的数学思想方法。同时不等式既是数学知识的结合点，也是数学知识与数学方法的交汇点。不等式性质的应用体现不等关系的互化，解不等式相互联系与转化，基本不等式为求最值提供了强有力的数学方法。大家在解答不等式题型是，对于自己的思维也是一个很不错的提升的过程。由于篇幅有限，今天不等式的知识点，学长就和大家分享这么多。大家有什么不等式的问题或者是其他的数学高考知识点问题都可以和学长进行讨论。

不等式选讲所有考点+真题全面总结，理解吃透，高考再难也是满分[考情分析]　本部分主要考查绝对值不等式的解法，求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围，不等式的证明等．结合几何的运算、函数的图像和性质、恒成立问题及基本不等式、绝对值不等式的应用成为命题的热点．下面把不等式选讲的考点和近几年的高考真题总结如下：欢迎阅读高中数学蒋老师百家号，这里每天分享精品数学资料 ，希望对你的学习有所帮助，更多精品高中数学文章及视频讲解将持续更新，敬请关注

第一章 实数考点一、实数的概念及分类 （4分）1、实数的分类：有理数 ：正有理数、零 （有限小数和无限循环小数）、负有理数无理数（无限不循环小数）： 正无理数、 正无理数2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如√2、√3等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如π+1等；（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数，如sin60°等考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 （4分）1、相反数实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。2、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。3、倒数如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。考点三、平方根、算数平方根和立方根 （4—8分）1、平方根如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方根）。一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。正数a的平方根记做“±√a”。2、算术平方根正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“√a”。正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。√a=|a|=a（a≥0）=-a （a＜0）；注意√a的双重非负性：√a≥0，a≥03、立方根如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。考点四、科学记数法和近似数 （4分）1、有效数字一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。2、科学记数法把一个数写做a×10的形式，其中，n是整数，这种记数法叫做科学记数法。考点五、实数大小的比较 （4分）1、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。2、实数大小比较的几种常用方法（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。（2）求差比较：设a、b是实数，a-b＞0 则a＞b；a-b=0，则a=b；a-b＜0，a<b。（3）求商比较法：设a、b是两正实数，a/b>1，则a>b；a/b=1,则a=b；a/b<1,则a<b。（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，|a|>|b|则a<b。（5）平方法：设a、b是两负实数，a>b，则a<b。考点六、实数的运算 （做题的基础，分值相当大）1、加法交换律 :a+b=b+a2、加法结合律:（a+b)+c=a+(b+c)3、乘法交换律:ab=ba4、乘法结合律:(ab)c=a(bc)5、乘法对加法的分配律:a(b+c)=ab+ac6、实数的运算顺序先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。第二章 代数式考点一、整式的有关概念 （4分）1、代数式用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。2、单项式只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。考点二、多项式 （8分）1、多项式几个单项式的和叫做多项式。其中每个单项式叫做这个多项式的项。多项式中不含字母的项叫做常数项。多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。单项式和多项式统称整式。用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出结果，叫做代数式的值。注意：（1）求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入。（2）求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，“整体”代入。2、同类项所有字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。3、去括号法则（1）括号前是“+”，把括号和它前面的“+”号一起去掉，括号里各项都不变号。（2）括号前是“﹣”，把括号和它前面的“﹣”号一起去掉，括号里各项都变号。4、整式的运算法则整式的加减法：（1）去括号；（2）合并同类项。注意：（1）单项式乘单项式的结果仍然是单项式。（2）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同。（3）计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号。（4）多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项。（5）公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式。（6）（7）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，单项式除以多项式是不能这么计算的。考点三、因式分解 （8-12分）1、因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。2、因式分解的常用方法3、因式分解的一般步骤：（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。考点四、分式 （8~12分）1、分式的概念一般地，用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示成A/B的形式，如果B中含有字母，式子A/B就叫做分式。其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。分式和整式统称为有理式。2、分式的性质（1）分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。（2）分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。3、分式的运算法则考点五、二次根式 （初中数学基础，分值很大）1、二次根式式子√a(a≥0)叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“√”；被开方数a必须是非负数。2、最简二次根式若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。（2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。3、同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。4、二次根式的性质5、二次根式混合运算二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。第三章 方程（组）考点一、一元一次方程的概念 （4分）1、方程含有未知数的等式叫做方程。2、方程的解能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。3、等式的性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。4、一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程ax+b=0(a≠0）叫做一元一次方程的标准形式，a是未知数x的系数，b是常数项。考点二、一元二次方程 （8分）1、一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。2、一元二次方程的一般形式：ax+bx+c=0(a≠0,b、c为常数），它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中ax叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。考点三、一元二次方程的解法 （8分）1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如（x+a）=b的一元二次方程。根据平方根的定义可知，x+a是b的平方根，当时b≥0时，x+a=±√b，x=-a±√b，当b<0时，方程没有实数根。2、配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式a±2ab+b=(a+b)，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有x±2bx+b=(x±b)。3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的求根公式：4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。考点四、一元二次方程根的判别式 （4分）根的判别式一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)中，b-4ac叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“△”来表示，即△=b-4ac.考点五、一元二次方程根与系数的关系 （4分）如果方程ax+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x1、x2，那么x1+x2=-b/a,x1x1=c/a。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。考点六、分式方程 （8分）1、分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程。2、分式方程的一般方法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是：（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母（2）解所得的整式方程（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。3、分式方程的特殊解法换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。考点七、二元一次方程组 （8~10分）1、二元一次方程含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是（2、二元一次方程的解使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。3、二元一次方程组两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。4二元一次方程组的解使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。5、二元一次方正组的解法（1）代入法（2）加减法6、三元一次方程把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。7、三元一次方程组由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组。第四章 不等式（组）考点一、不等式的概念 （4分）1、不等式用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。2、不等式的解集对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。求不等式的解集的过程，叫做解不等式。3、用数轴表示不等式的方法考点二、不等式基本性质 （4-8分）1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。考试题型：考点三、一元一次不等式 （4~8分）1、一元一次不等式的概念一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。2、一元一次不等式的解法解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x项的系数化为1考点四、一元一次不等式组 （8分）1、一元一次不等式组的概念几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。2、一元一次不等式组的解法（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。

2010-2019年 考研数学一二三真题 逐题精讲视频已出!!!一、每日一练209考查：二重积分考查：二重积分二、每日一练210考查：不等式的证明考查：不等式的证明三、每日一练211考查：微分方程考查：微分方程考研路上，你我同行。加油！

高中阶段，数列不等式是一个常考点，在考试中，多以选择题和填空题简单考查利用基本不等式求最值，以解答题的形式考查基本不等式在实际问题中的应用。在高考中，多和函数、导数等知识联合考查利用基本不等式求函数的最值。掌握好不等式，可以为自己加分不少，这里也给大家带来了高中数学的数列不等式的证明方法，总结得很详细！需要打印版资料请看末尾！好了，今天就更新到这里了，喜欢就多多关注吧！完整word资料的获取步骤：1、点击头像进入主页并关注，2、点击发消息发送“100”即可

在前面的内容中，小编已经给大家梳理了高等数学中的所有核心知识点。如果要说高等数学中哪一个部分的内容最难，那不好说。但微分中值定理一定是最难的内容之一，且微分中值定理这部分的内容往往以考察高分值的大题的为主。许多同学往往觉得微分中值定理的题构造十分的复杂且繁多，所以做题有些困难。其实，不只是构造，而且其形式多变，还可以结合积分等多部分内容来考核。下面，小编带大家一起来盘点一下常见的微分中值定理题型。考研基础知识首先，我们应该熟悉几个常见的中值定理，并且能够独立的推导出他们的证明过程。之所以这么严格要求，原因有下面两个。①因为在考研数学中，很有可能直接考察定理的证明。②定理证明过程的思想往往就是我们做题的证明过程思路。基础下面，小编根据自己的理解，给大家大致的叙述一下主要的几个定理的证明思想。由于许多定理证明的方法不止一种，所以小编提供的方法仅供参考。(1)介值定理(与根的存在性定理等价，也称作为零点定理，证明了解即可，基本不会考。)证明思想：通过构造，结合确界原理，推出在函数值等于0的点在区间的两端取不到。其次，在利用反证法设函数在开区间中取不到0。(2)最大、最小值定理(了解即可)证明思想：想要证明最大最小值定理，我们首先要知道有界性定理，即若一个函数在闭区间上连续，那么这个函数在闭区间上也有界。其次，我们再通过结合确界原理使用反证法，证明函数在闭区间上存在上确界是错误的。考研(3)Rolle(罗尔)定理(重点)证明思想：因为函数f在闭区间上连续，所以满足最大、最小值定理，一定存在最大值与最小值，分两种情况讨论。①最大值等于最小值时，那么函数为常数函数。②最小值小于最大值时，我们发现函数f满足费马定理的条件，可以使用费马定理，从而直接得到证明。(4)lagrange(拉格朗日)定理(重点)证明思想：证明拉格朗日中值定理时，我们常常需要构造辅助函数，其中我们最常见的是构造助函数：F（x）=f(x)-f(a)-(x-a)(f(b)-f(a)/（b-a）然后使用罗尔中值定理即可。同学其实想不太明白这个函数的构造是如何得到的，其实这个构造只是为了方便验算罗尔中值定理。直接把拉格朗日中值定理两等式两边，进行积分构造也是可行的，只是验证罗尔定理条件的时候麻烦一点。考研(5)cauchy(柯西)中值定理(重点)证明思想：要通过构造辅助函数，利用罗尔定理就可以证明。(6)积分第一中值定理(重点)证明思想：同样我们利用最大、最小值定理，函数f在闭区间上存在最大值与最小值，使用积分不等式结合连续函数的介值定理就可以得到证明。题型总结小编大致总结了一下常见的几种微分中值定理题型，共为6种题型。其中，整理的许多题目来自考研数学真题，值得去斟酌思考。（电子版领取方式在文末）总结总结总结总结我的学习建议微分中值定理的学习，对于初学者或者是第一遍考研复习的同学而言，做题会显得十分吃力，几乎每一题都要校对答案才能明白，甚至有了答案也不明白答案的函数构造是从何思想而来。其实，这是一种正常状态。学习微分中值定理的内容，首先，就是要把几个中值定理本身的证明思想吃得通透，然后再对常见题型、常用方法进行总结归纳。事实上，考研数学也逃不过在这几个题型上反复考察。难就难在题型和方法的总结上，每一道题，每一个题型都要耗费大量的时间。现在，小编在这里总结出了完整的版本，希望这篇文章对考研同学们或初学者有所帮助。由于篇幅有限，小编只能放几张整理的题型图片，有需要电子版的同学，关注我，私信回复中值定理即可领取电子版。大学高等数学核心内容大总结，掌握这些知识，高数成绩杠杠的！