高等代数多项式考研题

2021年广西大学数学与信息科学学院《855高等代数》考研全套名校考研真题第1章多项式一、判断题1．设Q是有理数域，则P＝{α＋βi|α，β∈Q}也是数域，其中．（）[南京大学研]【答案】对查看答案【解析】首先0，1∈P，故P非空；其次令a＝α1＋β1i，b＝α2＋β2i其中α1，α2，β1，β2为有理数，故a±b＝（α1＋β1i）±（α2＋β2i）＝（α1±α2）＋（β1±β2）i∈Pab＝（α1＋β1i）（α2＋β2i）＝（α1α2－β1β2）＋（α1β2＋α2β1）i∈P又令c＝α3＋β3i，d＝α4＋β4i，其中α3，α4，β3，β4为有理数且d≠0，即α4≠0，β4≠0，有综上所述得P为数域．2．设f（x）是数域P上的多项式，a∈P，如果a是f（x）的三阶导数f（x）的k重根（k≥1）并且f（a）＝0，则a是f（x）的k＋3重根．（）[南京大学研]【答案】错查看答案【解析】反例是f（x）＝（x－a）k＋3＋（x－a）2，这里f（a）＝0，并且f（x）＝（k＋3）（k＋2）（k＋1）（x－a）k满足a是f（x）的三阶导数f（x）的k重根（k≥1）．3．设f（x）＝x4＋4x－3，则f（x）在有理数域上不可约．（）[南京大学研]【解析】令x＝y＋1，则f（y）＝y4＋4y3＋6y2＋8y＋2，故由艾森斯坦因判别法知，它在有理数域上不可约．二、计算题1．f（x）＝x3＋6x2＋3px＋8，试确定p的值，使f（x）有重根，并求其根．[清华大学研]解：f′（x）＝3（x2＋4x＋p）．且（f（x），f′（x））≠1，则（1）当p＝4时，有（f（x），f′（x））＝x2＋4x＋4所以x＋2是f（x）的三重因式，即f（x）（x＋2）3，这时f（x）的三个根为－2，－2，－2．（2）若p≠4，则继续辗转相除，即当p＝－5时，有（f（x），f′（x））＝x－1即x－1是f（x）的二重因式，再用（x－1）2除f（x）得商式x＋8．故f（x）＝x3＋bx2－15x＋8＝（x－1）2（x＋8）这时f（x）的三个根为1，1，－8．2．假设f1（x）与f2（x）为次数不超过3的首项系数为1的互异多项式，且x4＋x2＋1整除f1（x3）＋x4f2（x3），试求f1（x）与f2（x）的最大公因式．［上海交通大学研］解：设6次单位根分别为由于x6－1＝（x2）3－1＝（x2－1）（x4＋x2＋1），所以ε1，ε2，ε4，ε5是x4＋x2＋1的4个根.由于ε13＝ε53＝－1，且x4＋x2＋1∣f1（x3）＋x4f2（x3），所以，分别将ε1，ε5代入f1（x3）＋x4f2（x3）可得从而f1（－1）＝f2（－1）＝0即x＋1是f1（x）与f2（x）的一个公因式．同理，将ε2，ε4代入f1（x3）＋x4f2（x3）可得f1（1）＝f2（1）＝0，即x－1是f1（x）与f2（x）的一个公因式．所以（x－1）（x＋1）是f1（x）与f2（x）的一个公因式．又因为f1（x），f2（x）为次数不超过3的首项系数为1的互异多项式，所以（f（x），g（x））＝x2－1三、证明题1．设不可约的有理分数p/q是整系数多项式f（x）＝a0xn＋a1xn－1＋…＋an－1x＋an的根，证明：q∣a0，p∣an[华中科技大学研]证明：因为p/q是f（x）的根，所以（x－p/q）∣f（x），从而（qx－p）∣f（x）．又因为p，q互素，所以qx－p是本原多项式[即多项式的系数没有异于±l的公因子]，且f（x）＝（qx－p）（bn－1xn－1＋…＋b0，bi∈z比较两边系数，得a0＝qbn－1，an＝－pb0q∣a0，p∣an2．设f（x）和g（x）是数域P上两个一元多项式，k为给定的正整数．求证：f（x）∣g（x）的充要条件是fk（x）∣gk（x）[浙江大学研]证明：（1）先证必要性．设f（x）∣g（x），则g（x）＝f（x）h（x），其中h（x）∈P（x），两边k次方得gk（x）＝fk（x）hk（x），所以fk（x）∣gk（x）（2）再证充分性．设fk（x）∣gk（x）（i）若f（x）＝g（x）＝0，则f（x）∣g（x）（ii）若f（x），g（x）不全为0，则令d（x）＝（f（x），g（x）），那么f（x）＝d（x）f1（x），g（x）＝d（x）g1（x），且（f1（x），g1（x））＝1①所以fk（x）＝dk（x）f1k（x），gk（x）＝dk（x）g1k（x）因为fk（x）∣gk（x），所以存在h（x）∈P[x]（x），使得gk（x）＝fk（x）·h（x）所以dk（x）g1k（x）＝dk（x）f1k（x）·h（x），两边消去dk（x），得g1k（x）＝f1k（x）·h（x）②由②得f1（x）∣g1k（x），但（f1（x），g1（x））＝1，所以f1（x）∣g1k－1（x）这样继续下去，有f1（x）∣g1（x），但（f1（x），g1（x））＝1本文由才聪学习网原创，欢迎关注，带你一起长知识！

本篇文章收录于精品栏目#百家故事#中，本主题将聚集全平台的优质故事内容，读百家故事，品百味人生。美国商界的传奇人物吉诺.鲍洛奇曾经说过： 我是一个兴风作浪者，我相信这可能是我成功的主要原因，我做了每个人都有认为做不到的事情，而且我做这些事情的方法，使每个人都说我疯狂。我先自我介绍一下，我是19届的浙大研究生学长。我大概就是有点疯狂，本科毕业于哈尔滨一所比较普通的211高校，本科专业学的是高分子材料与工程。也就是说，在今年我选择了这个跨校跨专业考浙江大学的基础数学专业！这个专业考研的初试科目是：①101思想政治理论②201英语一③601高等代数④819数学分析，报考的时候不限专业。之所以选择这个跨考数学专业，主要是源于我对这个数学专业的喜爱，然后我的这个初试成绩也并不是特别的高，就是有一门专业课，正好是这个刚压线，复试是经历一番波折后终于被浙大录取。所以说今天，也是希望可以为大家提供这个初试和复试的正反两方面的经验，希望大家可以少走一些弯路，避免出现我在备考过程当中出现的一些失误。我整个的考研时间的规划是从这个当时的寒假开始的。因为我是跨考，所以就寒假已经开始准备专业课复习。再加上这个跨考压力确实比较大，所以一开始我就基本上进入一种冲刺状态，就是时间安排的会比较紧。因为跨考的，所以我在这个大三阶段的本科的课程系统上就是能跑就跑掉,所以说基本上就是全心全力的为这个研究生考试服务。最后这个选学校的话，是在大概暑假时候，确定要考浙江大学。因为当时志向比较高吧，想考一个比较好的学校。所以基本上就结合这个招生的人数了和最后这个复试的情况，我选择了这个浙大。（想要浙大各专业历年报录比情况的可以私信我或在评论区留言，可以免费送哒）下面我简单给大家说一下我的这个公共课的复习，首先我说一下政治。因为我的这个政治我自认为底子还是可以，因为这个平常上了不少的党课，可能觉得自己的基础还不错，所以学习的时间就比较晚，大概是8月末才开始学习。我整个的学习过程当中比较关键的一个词，对我来说，我觉得应该是肖秀荣啊。这个全程我基本上就是跟着他走。其他的，这个老师的4篇什么东西的基本上都没有看，就相当于就是看了看这个腿姐的马原的这个视频课。大家可能都知道，政治的这个比较关键的部分就是这个选择题。我觉得前期上这个基础打的好的话，一定要注重对这个1000题的练习。我前期基本上就是看这个肖秀荣的3件套，然后做他的那个1000题，就第一遍过得非常的认真，基本上不留下死角。在整个过程当中，1000题我基本上应该是刷了大概是三遍，然后所以说最后选择题应该是是做的非常的可以。中期的时候我会练习这个真题了，然后，继续看那个肖秀荣后期出的一些辅导。后期的时候基本上就是做市面上的模拟题了，就是把这个市面上能买到的模拟题，我尽可能多买一些。把里边的选择题，基本上能做的都过一遍，这样的话，对这个选择题基本上就有一个比较清晰的了解。大题，我是准备了这个肖四，然后背了部分肖八，其他模拟题的大题我是一点都没背。最后感觉真的是今年肖秀荣压得比较准，所以预期还不错。我的建议就是你尽可能把肖四一定要背下来，然后最后肖八尽可能的多背，因为肖八里边有些东西还是比较重要的，我觉得。英语我的英语的底子是非常的差的，我4级是擦线过，6级是没有过。我自知英语很差，所以我一开始就下足了功夫，一开始基本上就是保证每天大概会有3个小时的学习时间，因为词汇量真的是非常的重要。词汇量可以保证你后期做阅读的时候，在不熟悉这个做题套路的情况下，能够读懂全文。这个是我觉得最最最基本的。所以我从头到尾包括到最后的这个考试结束，我是基本上每天都会抱着这个手机上的单词软件以及这个单词书，每天都能至少保证大概会有一个小时的左右的时间啊，去背诵单词。另外一个就是大家应该都知道这个比较重要的就是一个阅读了。阅读我是前期练习都是这个张建的那个150篇啊。那个难度应该是非常大的，他的这个有时候一错甚至都全错啊。所以大家一开始如果做那个的话，就不要太注重结果，就是练习练习语感。然后6月份的话，应该是要开始这个练习模拟题了。我当时就是在做完这个张建的150篇，当然也没有全部做好，就是大概做了3分之2多，然后就到了6月份的时候，就基本上开始做这个真题了，包括一直到考试结束，基本上就是在练习模拟英语的这个真题，没有在做其他的模拟题。大概是6月份开始练习真题的阅读，练习完一遍之后，感觉就是情况特别的糟糕。因为确实错了很多，感觉体会不到其中的真谛，然后我就选择了看一些视频课。因为当时觉得看视频比较浪费时间，但是后来发现自己单独做的话，好像效果不太好，就去看了何凯文的暑期强化。这个暑期强化我觉得他那个效果还是不错的，最起码对我当时的那个阅读真的是有一个比较大的帮助。下面说一下我这个因为成绩比较差的一个原因就是我这个作文。我作文虽然是从这个9月份开始准备，但是我其实准备的非常慌了，就是没有目的性的准备。当时我看那个经验贴说是这个王江涛做的比较好，当时我是9月份的时候就买了一本他的那个作文，然后就开始背。但是后来发现背完就忘背完就忘啊。可能这也是有我自己的原因，就是没有总结自己的模板，然后反正就是感觉那种效果特别差，就是背完之后没有什么用的。后来我去听了一下这个何凯文的这个作文课，然后感觉效果还不错，然后又买了他的这一份作文书，感觉应该说效果还是可以。我是考前的一天，我才自己开始准备这个模板，自己去想一想应该遇到各种的这个主题词的时候应该怎么去写。所以我觉得虽然说这个准备作文准备的比较早，实际上后期准备的是太迟了。专业课是重头戏，这个是浙大自己出题的，我初试吃亏就在专业课上。高代是当时这个寒假开始学习的，我是一开始学的是这个北大的那个教材，然后学了大概两遍。这两遍学完之后，其实真的是可能以前没有学过的原因吧，就感觉特别蒙，包括后边的那个补充就特别多的都不会，只能会一些比较基础的题。然后我这时候去做了那个高等代数。这个西北工业大学出了一个好像是那个叫考研家。那个其实题目还是比较简单的，我不太建议大家这个数学专业的去做这个，因为他那个好像对你的这个质的提升，没有什么特别大的帮助。这时候感觉好像自己还是没有什么特别大的提升。然后因为开始觉得看视频课挺浪费时间，后来发现自己的话，确实如果不看视频课的话，嗯，理解起来太困难了。所以说我就选择了看这个丘维声老师了他的这个讲课视频（当时是从“硕博学霸说考研”的学姐那弄的）。我觉得这个视频课对我的帮助还是挺大的，最起码比自己理解起来的效果要好很多。看完视频课之后，我基本上就是对高等代数，有一个大致上的了解和这个认识吧。这个时候，时间应该是6月底，大概7月份了。然后我最终是从“硕博学霸说考研”那找了一本这个强化讲义。我觉得他的强化讲义，对这个高等代数的学习很有帮助，他可能这个是从我们考研人自己的这个角色出发去写的这本书，所以自己理解起来，我觉得特别的清晰。那这时候学完这个一遍强化讲义之后，我就开始学习丘维声老师的创新教材。这个是特别棒特别厉害，他基本上涵盖了这个高等代数所有的题型，基本上应付你这个浙大的题型完全没有问题。这个时候对创新教材的学习，我是结合着对这个强化讲义的学习的。我希望一遍强化之后并没有完全就放弃的，因为觉得理解还不是特别深，所以我在学这个丘维声老师的创新教材的时候，也包含着留出一部分的时间去学习这个强化讲义，相当于两者同时进行。相当于在后期8月份之后，做真题之前基本上就是学习这个强化讲义和这个创新教材。我觉得真的是这两个应付这个浙大的高等代数应该是完全没有问题了。题型也比较全，特别是这个创新教材啊，这个是要多学几遍去领悟其中的这些含义。 今年的真题当中就有，感觉至少有两三道，就是出自于这个当中的.我觉得浙大的真题，是很重要的，应该有必要去做一下浙大的以前每年的这个题型或者什么的，有的时候甚至我看他有一年都出过以前的原题。所以说有必要去练习一下，浙大以前的真题。这个真题也不难弄，搜“硕博学霸说考研”就轻松搞定。整个高等代数的学习过程当中，基本上用我用到了这个材料就是这个北大的这个教材+强化讲义+创新教材+浙大真题资料。我觉得这些应付浙大的高代考试完全没有问题。接下来说一下这个数学分析的学习。首先我是当时虽然说暑假开学回来之后，才开始对这个教材的学习的，我觉得这是一个我犯了一个错误--我把高等代数学习放在了数分的前面。我觉得应该先现在来看的话，应该是要先学习这个数学分析的。当时是一直在6月份之前，基本上就是在学习这个数学分析的。华师大的那两本教材就感觉确实是这个内容比较多嘛，就学起来确实耗费的功夫比较大。在这个过程当中，我是结合那个每日一题啊。我觉得他那个每日一题还是比较有用，他对比这个知识点的补充比较多啊。特别是有一些方法，对你这个知识点的理解起来会有很大的帮助。到了7月份的时候，就基本上就直接上那个裴礼文，就是感觉其实对我来说，我觉得上的比较着急，他那个难度确实比较大，但是我可能后期觉得时间不太够用了，所以就着急学那个教材。我一开始做这个裴礼文，而其实做的还是比较费劲，因为他那个内容量确实比较多，而且难度比较大。但是我不太建议你用那个配置的指导。那个指导对里边的很多题型都直接给它去掉，但是这些题型其实在浙大历年的这个数分考试当中都有所涉及，特别是今年这个涉及的特别明显。所以说我不太建议你用那个，我建议你还是对这个裴礼文的这些内容基本上尽可能的有一个早的学习。我从7月份开始刷裴礼文，大概刷到了10月份左右，大概应该是刷了3遍多不到4遍。然后基本上 自我感觉是对其中的很多内容都掌握了，其实到后期才会发现掌握的并不特特别好。学习过程中我犯了一个比较大的错误，就是太追求这个遍数就是没有追求质量。其实就是很多知识点，自己可能表面上看起来理解透了，其实是真正做题的时候发现，发现还是有些地方理解的不到位。所以我希望你在做这个的时候，你不要特别的追求这个遍数，我觉得三遍就可以了。但是这三遍你要保证每一遍过的特别的细，然后就真的是对其中的这些题型做一个比较认真的掌握。就是基本上把这些题单独拿出来的时候，你会发现你不用答案，基本上就能有一个完整的思路。这种情况就可以了。后期我又刷了一个陈守信的那本教材。其实他那个对这个考研过程中，我觉得帮助也不是特别大。如果你光刷的话，我觉得光刷裴礼文就足够了，因为他那个当中的很多内容都是裴礼文上的。我之所以初试成绩比较低的一个原因主要在于，我认为第一个是毕竟我是跨考，他那个今年可能考浙大的数学专业的同学都知道他这个浙大会经常出一些这个数分之外的这个题型的，特别是今年体现的特别密切，就出了挺多，感觉不是专门出这个数分当中这个题型的。像那个当中的有一个题，考的是这个紧集。我当时考的时候，我连紧集的定义都不知道，所以说真的是特别刺激，当时考场上直接心态崩了。而且浙大今年数学分析还出现了一个题浪费了比较多的时间，所以就真的是的这种考场上就觉得完蛋了，然后心态就崩掉了。所以在这里也提醒大家，这个是不知道最后出结果，千万不要心态出现波动。你像我当时就真的是觉得考完之后就已经凉了那个，但是最后我发现就真的是一个运气吧，正好压线，所以说真的是不到最后出结果千万不要气馁和放弃。所以说这个数分的话，我给大家推荐的教材就是华师大的教材+裴礼文+每日一题+浙大真题等资料。然后我希望你能够再找一本浙大的这个教材做一个补充啊。因为这个浙大的数分的那种点实在是太多了，包括这个数分以外。所以说希望到时候，不要因为这个而失分。现在回想起整个考研经历来看，浙大的考研专业课复习方面我觉得除了受益于参考书，再就是受益于“硕博学霸说考研”的学姐给提供的真题等考研资料。我特后悔的一件事就是没有听那个学姐的一对一辅导，以前一直觉得那些都是为了钱才建议我进行辅导的，现在看来真的是小人之心了！后来听初试成绩前三的一个学长（他也是跨校跨专业考的）说，他说他当时就报了这个学姐的一对一辅导，后来考场上毫无压力，像我这样险过的真的是家里的香烧多了吧！关于浙大数学专业的考研初试情况暂时就这些，如果还有什么想了解的，就私信我吧。关于复试的经历和考点我单独写了一篇文章，没看过的可以点开这个链接看一下，也是相当刺激：浙江大学数学专业考研复试被刷，为何被录取为浙大研究生｜百家故事著名教育家叶圣陶说过：培育能力的事必须继续不断地去做，又必须随时改善学习方法，提高学习效率，才会成功。所以我分享一下我的考研历程，你得到启发了吗？如果觉得对你有帮助，欢迎转发收藏哦~我是硕博学霸说考研，专注考研领域研究十五年！想要获取更多考研干货，记得私信我或在评论区留言哦！

希望这些对你有用，欢迎转载，分享中国科学院大学硕士研究生入学考试《高等代数》考试大纲本《高等代数》考试大纲适用于中国科学院大学数学和系统科学等学科各专业硕士研究生入学考试。高等代数是大学数学系本科学生的最基本课程之一，也是大多数理工科专业学生的必修基础课。它的主要内容包括多项式、行列式和线性方程组、矩阵及其标准形、特征值和特征向量、线性变换和矩阵范数。要求考生熟悉基本概念、掌握基本定理、有较强的运算能力和综合分析解决问题能力。一、考试的基本要求要求考生比较系统地理解高等代数的基本概念和基本理论，掌握高等代数的基本思想和方法。要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。二、考试方法和考试时间高等代数考试采用闭卷笔试形式，试卷满分为150分，考试时间为180分钟。三、考试内容（一） 多项式1． 一元多项式的因式、带余除法公式及互素的概念及判别；2． 复根存在定理；3． 根与系数关系；4． Sturm定理。（二） 行列式1． 行列式的置换、对换、置换奇偶性；2． 行列式的定义，基本性质及计算；3． Vandermonde行列式；4． 行列式的代数余子式、Cramer法则。（三） 矩阵1． 矩阵基本运算、分块矩阵运算；2． 初等矩阵、初等变换和矩阵的秩；3． 矩阵的逆、伴随阵、线性方程组的矩阵形式；4． 行列式乘积定理；5． 矩阵和转置、Hermite共轭；6． 对角阵、三角阵、三对角阵；7． 矩阵的迹、方阵多项式；8． 广义逆矩阵。（四） 线性方程组求解1． 线性方程组有解的充分必要条件；2．Gauss消元法；3．三角分解。（五） 线性空间和线性变换；1． 向量的线性相关和线性无关；2． 线性空间的定义及性质；3． 向量组的秩、线性空间的基及坐标；4． 线性变换的矩阵表示；5． 矩阵相似；6． 不变子空间；7． 子空间的直接和、维数公式；8． 线性空间的同构。（六） 特征值和特征向量1． 特征值和特征多项式；2． 特征向量、特征子空间、度数和重数；3． 非亏损矩阵的完全特征向量系和谱分解；4． 特征值估计的圆盘定理；5． 三对角矩阵的特征值与Sturm定理。（七） 内积空间和等积变换1． Euclid空间的标准正交基，施密特（Schmidt）正交化；2． Gram行列式；3． 正交变换及其矩阵表示；4． 初等旋转和镜像变换；5． QR分解；6． 酉空间和酉变换；7． 正交相似变换和酉相似变换；8． 向量到子空间的距离、最小二乘。（八） 二次型和对称矩阵1． 二次型及其标准形、惯性定理；2． 实对称矩阵正定的充分必要条件；3． Rayleign商；4． 极大－极小原理、极小－极大原理；5． 正定矩阵的开方和Cholesky分解；6． Hermite型和Hermite矩阵；7． 正规矩阵。（九） Jordan标准形1． 向量的最小化零多项式；2． 线性变换及矩阵的最小多项式；3． 矩阵的Jordan标准形及其唯一性；4． 初等因子和不变因子；5． 矩阵函数。（十） 极限和范数1． 向量和矩阵的极限；2． 向量范数和范数等价定理；3． 相容范数和从属范数；4． 矩阵依范数的收敛性。四、掌握重点（一） 行列式乘积定理及其应用（二） 分块矩阵运算及其应用（三） 矩阵三角分解及其应用（四） 矩阵的秩及其应用（五） 线性空间的概念及性质（六） 线性变换下的不变子空间及其矩阵表示（七） 圆盘定理与特征值估计（八） 二次型的标准形（九） 实对称矩阵及其性质（十） 矩阵Jordan标准型的计算及其应用（十一） 矩阵范数与矩阵收敛五、主要参考书目[1] 北京大学编《高等代数》，高等教育出版社，1978年3月第1版 ，2003年7月第3版 ，2003年9月第2次印刷.[2] 复旦大学蒋尔雄等编《线性代数》，人民教育出版社，1988.[3] 张禾瑞，郝鈵新，《高等代数》，高等教育出版社， 1997.想要了解更多考研信息可以加qq392778967

数学专业的同学，如果考学硕，一般初试都要考《数学分析》《高等代数》这两门课，各150分。数学分析似乎没有太大的争议，华东师大第四版是不错的选择，也是大多数高校一直沿用的经典。关于高等代数，目前主要有以下四种教材：1北京大学数学系主编的第四版的高等代2 清华大学丘维声老师主编的高等代数3 复旦大学出版社出版的《高等代数学》4高校自编教材（一般为院校老师自编）同学们在备研的时候到底该用哪一本？大表哥隆重推荐3，复旦大学的高等代数第三版，因为这本教材由浅入深，开始紧紧抓住了代数的一条主线，线性方程组的问题，比如第一，二章分别引入了行列式，矩阵，并且行列式的定义并不像北大第四版的教材那样抽象，复旦的教材从简单的二阶，三阶行列式入手，也给出了行列式的背景知识，编者们一直试图在告诉读者，我们为什么要这么做？我们的目的是什么？并且采用展开式的定义方式，这样不至于一开始就是什么逆序数，排列，取自不同行不同列的元素乘积的代数和，在证明行列式的各种性质时，也显得得心应手。复旦的教材，对于每个知识点，都解释得非常详细，尤其是给一个定义之后，下面立即给出一个简单的例子加以说明。教材在定理证明之前，经常用大段通俗的语言引出证明的思路，正式证明的过程中没有任何的跳步，不像北大的教材那样具有跳跃性。复旦的高等代数，每一节课后，都有相应的习题，难度适中，题量适度，只要掌握了本节所讲的知识点，读者应该可以独立做完课后百分之七十左右的习题，非常适合备研之用。北大第四版的教材，一开始就讲多项式（第一章），整个多项式理论在高等代数中相对独立，而且理论性较强，大表哥不建议同学们复习时以多项式开始，应抓住代数最核心的主线——线性方程组展开。多项式的复习可留到最后。清华大学丘维声老师的高等代数上下册，内容相当丰富，容量相当于一般高等代数教材的2.5倍，适合老师作为教辅材料，不太适合同学们备考只用，如果你底子很好，可以买一套，当辅助的工具书查阅。自编的教材，请谨慎使用，具体原因，请自行体会，大表哥不做过多解读。最后，同学们还有一个普遍的疑问，比如我的目标院校是XX大学，而目标院校指定的教材就是北大的高代，那我是不是必须围绕北大的高代展开复习？大表哥回答：整个分析，代数的理论基础在十九世纪就已经盖棺定论，所以目前所有的高等代数教材的内容本身都是一样的，至于怎么编排，每个教材都有自己的思路！同学们不用担心目标院校教材指定的问题，知识完全是一样的，我们在备考的时候，需要选一个编排科学合理的“好”教材，待知识融会贯通之时，你会发现，用不用指定的教材，完全不影响考研成绩！所以，大表哥最终推荐复旦大学的教材！我是大表哥，关注我，考研不翻车！

一、考研初心读研已经成为当下大学生群体的热门话题，如果随机到一所本科院校挑选任意一位同学询问毕业后的打算，那么他的回答十有八九是“我要读研！”。读研的理由千千万万，可能是各个招生单位对学历要求的水涨船高，或许自己想从事科研相关工作，亦或是自己在本科的学习生活中留有遗憾想要弥补，也有可能仅仅是不想这么早就业而留给给自己三年的缓冲时间……当读到这里的时候，希望你能找出一个属于自己的读研理由，因为这将是支持你接下来一年奋勇拼搏的不竭动力。下面就来说说我为什么要读研吧。其一是本科四年学习留有遗憾，年少轻狂不懂事虚度了几年光阴，想要通过读研三年尽可能弥补；其二是并不满意本科毕业后的就业环境，大多数就业的同学都是从事水电相关工作或是施工单位，或者电站运行检修，虽然福利待遇倒也不错，但是工作地点的偏僻让我退避三舍；最后就是希望想检验一下自己是否有学术潜力，是否有资格走科研道路。这三点理由最终成型于大三下学期，也即我考研开始的时间。二、考研历程政治:政治不用准备太早，但也不能太迟。我是跟着徐涛老师走的，徐老师是博士，很睿智读书多也不失幽默，讲的细致而且每个难点都会举例子或者画图分析，年轻也比较有意思，大家听的时候可以倍速播放，1.5倍速、2倍速都可以，根据自己的情况去选择倍速播放。前期我每天复习政治的时间大概是1-2个小时。到了九月份的时候，刷教材课程听完了以后就可以刷选择题了，用肖老师的1000题就可以了，全国通用知名品牌。大概每天学习的时间是一个多小时，大家也可以根据自己的情况去倍速播放视频。到了11月的时候肖八肖四就出来了，一定要把上面的选择题做一做，非常有代表性。12月就可以背大题了，大家可以背肖四，肖老师押题比较准，不用一字一句的背，要知道每个题考察的知识点，分点背，背思路，能串起来就行。一般考研真题，很多答案都是在材料里，学会抄材料就行。大题拉不开分数政治主要还是看选择题，所以后面也可以多做几个押题卷，比如肖四肖八必做，当然其他老师的押题卷有精力的话也可以做做。英语：考试内容：词汇、完型、阅读、写作。参考书目：恋练有词、新祥旭考研真题、写作书籍。复习计划：准备开始考研的时候就要开始背单词、相近词、词组、语句、语法这些都需要去学习和练习的，按照我的学习节奏是每日固定30—60分钟的单词学习时间的，这个是无法省去的；其次是阅读等部分的练习，我建议同学们如果基础不好，可以跟老师一起来学习，了解解题技巧以及做题步骤，这些都是经验，可以少走很多弯路；真题可以等到词汇背诵完以后就开始刷的，前期就是提高正确率，我最开始做阅读和完形每天需要4、5个小时，说实在的，需要弄懂文章主旨，需要花费很长时间，主要还是词汇和语法是障碍的，如果想得高分，词汇与语法一定要基础好的。最后是专业课的备考：在大一时，学过一遍数学分析仪与高等代数，但是到考研复习时，基本上已经忘的差多了，所以备考几乎是从零开始，暑假开学已经是9月份了，距离考研只有3个月的时间，要看完那么多书，当时就觉得一定得有个计划，大的计划是到10月中下旬完成1轮复习，11中旬完成第二轮复习，然后考研前还能再过一遍，万事开头难，第一遍学习的时候，就像学习新课，先是自己预习，最后在做题目巩固，在这个过程中会遇到很多不懂的问题，我的解决办法是去看考研文库查找资料或者问学长学姐，课下是免费答疑的，比较及时，总之不懂的一定要及时解决，并且做好记录，起初几天自己还能稳下心来学习，慢慢的就觉得有点坐不住，偶尔还会乱想，甚至有放弃考研的想法，但是我会寻找自己的动力，朋友、父母以及老师都会鼓励我，压力山大时，我会去操场跑步，会听听轻音乐来放松自己，当我每次抬头看到周围同样考研的，他们那么努力，那么专心，我也会受到他们的影响。专业课书中的重点，我是这样去找重点的，在暑假里我通过考研真题已经提前大概了解了一下往年考研会考什么内容，把他们分门别类整理好，数学分析的重点大约有数列与函数的极限、积分与求导、级数等，高等代数的重点包括多项式、行列式和线性方程组、矩阵及其标准形、特征值和特征向量、线性变换等。尤其需要强调一下要注意往年考研真题，比如2020年考研，数学分析就有好几道原题，可以看出真题的重要性。三、复试建议：1. 仪态方面是最好拿分的，也是最难拿分的，因人而异。建议注意下着装，最好请平时衣品比较好的小伙伴看一下自己面试时的着装发型是否合适。2.自我介绍非常重要，我个人感觉就是自我介绍准备好了练好了说好了就等于成功一小半了。内容围绕“专业+性格”就好，请不要广重复“性格开朗”。建议 拆点准备，自我介绍的重要性在于每句话都可以拆成点，然后围绕这些点进行可能的问题进行准备。3. 答题技巧，不要抢答，略带沉思。听完老师的问题后千！万！不要抢答，所以你需要听完问题后略微沉思2~3秒，同时也要轻微点头表示没有出现网络卡顿。关注老师，但不要过度。很多小伙伴会对老师的反应比较过激，其实大可不必。老师笑是礼貌），不笑是常态，所以不要想太多，正常发挥就好。敢于承认，如果碰到不会的问题就大大方方承认不会，不是什么大不了的事，老师不是想要个AI当百科全书；但是也不能只说“不会”，要尝试通过现有的知识来回答这个问题，注意一定要点明自己是从什么角度答的，而且这个角度要熟悉。

一、专业介绍数学科学学院成立于2004年，其前身是1915年创建的北京高等师范学校数理部，1922年成立数学系，1983年成立数学与数学教育研究所。学院现有教职工96人，其中教授39人,副教授31人；专任教师中有博士学位的教师占98%。特别地，有中国科学院院士2人，第三世界科学院院士1人，全国高校教学名师奖1人，国家杰出青年基金获得者3人、国家优秀青年基金获得者2人，入选新世纪百千万人才工程国家级人选2人。现有全日制在校生1290人，其中本科生964人，硕士研究生228人，博士研究生98人。1988年，基础数学、概率论与数理统计被评为国家重点学科。1990年建立了北京师范大学第一个博士后流动站。1996年，数学学科成为国家211工程重点建设的学科。1997年成为国家基础科学人才培养基金基地。1998年获数学一级学科博士学位授予权。2001年概率论方向被评为国家自然科学基金创新群体。2005年进入“985工程”科技创新基础建设平台。二、专业目录三、参考书《数学分析》第二版上、下, 陈纪修等, 高等教育出版社, 2004. 《简明数学分析》 第二版, 郇中丹等, 高等教育出版社， 2009. 《数学分析》数学分析第3版(1-3册), 郑学安等编著, 北京师范大学出版社。《代数学基础》(上)，张英伯，王恺顺，北京师范大学出版社《高等代数学》第三版，姚慕生，吴泉水，谢启鸿。《空间解析几何》（第四版），高红铸，王敬庚，傅若男，北京师范大学出版社《解析几何》尤承业，北京大学出版社《解析几何》（第三版），丘维声，北京大学出版社《新祥旭714考研辅导班内部讲义》四、分数线学校名称：北京师范大学学院名称：数学科学学院年份：2019专业代码：070101专业名称：基础数学总分：305.00政治：48.0外语：48.0专业课一：85.0专业课二：90.0五、714大纲1、实数集与函数考试内容：实数概念及性质，确界原理，闭区间套定理，函数的概念及表示法，函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，复合函数、反函数、分段函数和隐函数，基本初等函数的性质及其图形，初等函数，函数关系的建立.2、数列与一元函数的极限考试内容：数列极限和函数极限（简称极限）的定义，数列的上、下极限，函数的单侧极限(自变量趋于单点时函数的左极限与右极限，自变量趋于正或负无限大时函数的极限)，函数的单侧上、下极限，无穷小量和无穷大量的概念及其关系，无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的性质，极限存在的两个判别准则: 柯西(Cauchy)准则和单调有界准则, 两个重要极限，致密性定理，聚点定理，数列极限的施托尔茨(Stolz)定理，函数极限的海涅(Heine)定理，开集、闭集和紧集，有限覆盖定理.3、一元函数的连续考试内容：函数连续的概念和性质，函数间断点的类型，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质. 4、一元函数微分学考试内容：导数和微分的概念和关系，导数的几何意义和物理意义，微分的几何意义，函数的可导性与连续性之间的关系，平面曲线的切线和法线，导数和微分的四则运算，基本初等函数的导数，复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法，高阶导数，莱布尼兹求导公式，一阶微分形式的不变性，微分中值定理，泰勒(Taylor)公式，洛必达(L'Hospital)法则，函数单调性的判别，函数的极值，函数的最大值和最小值，函数图形的凹凸性、拐点及渐近线，函数图形的描绘，插值多项式和方程近似求根.5、一元函数积分学考试内容：原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质，基本函数的积分公式,定积分(指黎曼积分)的概念和基本性质，定积分中值定理，积分上、下限函数及其导数，黎曼可积的判别准则，牛顿一莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式，不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法，有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分，反常(广义)积分，定积分的应用.6、无穷级数考试内容:（一）常数项级数：收敛与发散的概念，收敛级数的和的概念，级数的基本性质与收敛的必要条件，几何级数与，p级数及其收敛性，正项级数收敛性的判别法，交错级数与莱布尼茨定理，任意项级数的绝对收敛与条件收敛.（二）函数项级数：收敛域、和函数、一致收敛概念，函数项级数的一致收敛判别法、和函数的分析性质(连续性、可微性和可积性；逐项求极限、求微分和逐项求积分),（三）幂级数：幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域，幂级数的和函数，幂级数在其收敛区间内的基本性质，简单幂级数的和函数的求法，初等函数的幂级数展开式.（四）三角级数与函数的傅里叶（Fourier）级数：2л-周期函数的傅里叶系数与傅里叶级数，黎曼引理，贝塞尔不等式，傅里叶级数收敛的狄尼(Dini)判别法、狄利克雷(Dirichlet)判别法，傅里叶级数的收敛定理，2l(l>0)-周期函数函数的傅里叶级数，正弦级数和余弦级数.7、多元函数微分学考试内容：多元函数的概念，二元函数的几何意义，多元函数的极限与连续的概念，多元函数极限存在与否的判断，二元函数的累次极限，有界闭区域上多元连续函数的性质，多元函数的偏导数和全微分、二阶乃至更高阶偏导数，全微分存在的必要条件和充分条件，隐函数存在定理，反函数存在定理，多元复合函数、隐函数的求导法、二阶导数，方向导数和梯度，空间曲线的切线和法平面，曲面的切平面和法线，二元函数的二阶泰勒公式，多元函数的极值和条件极值，多元函数的最大值、最小值及其简单应用.8、含参变量的广义积分考试内容：含参变量的广义积分的概念，含参变量的广义积分一致收敛的概念，含参变量的广义积分的分析性质，一些含参变量的广义积分的计算.伽玛(Gamma)函数,贝塔(Beta)函数.9、多元函数积分学考试内容：二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用,两类曲线积分的概念、性质及计算，两类曲线积分的关系，格林（Green）公式,平面曲线积分与路径无关的条件，二元函数全微分的原函数，两类曲面积分的概念、性质及计算，两类曲面积分的关系，高斯（Gauss）公式,斯托克斯（Stokes)公式,散度、旋度的概念及计算,曲线积分和曲面积分的应用.六、专业课经验专业课前期先打好基础，后期的巩固与提高才有效果，大概用了2个月的时间先看华东师范大学的《数学分析》，和北大的《高等代数》。主要是看内容，课后习题（两套教材都是有配套习题解答书，用起来很方便）。关于教材的内容，不留死角，在课本上的内容都要弄清楚，课后习题先自己独立思考，不会的话借助习题解答书。暑假6月到9月在看李傅山的《数学分析中的问题与方法》和王利广的《高等代数中的典型问题与方法》，两本书是分类综合的复习书，相比教材难度要稍大，把教材的内容重新归类，提炼出常考点，难点重点，也保证了每个题都有解答，我经常会有想不通的地方，会提出一些问题与新祥旭一对一的学长沟通，暑期认真读透了这两本书，感觉收获很大。过完暑假自己开始作华东师范大学的考研真题（因为华东师范大学的考研真题比较全，网上有卖一套解答与解析），每天白天查漏补缺并学习英语和政治，晚上抽出3小时的时间，模拟考试，时间持续了一个多月，进步很大。知道了考试的大致范围，常考点和套路，这个时候再去看其他学校的考研真题，大部分都有了思路。进入11月及12月，我开始钻研琢磨北师大的考研真题，因为北师大的考研真题在网上没有成体系的解答，基本上都是我和新祥旭学长一道一道商讨解决的。与此同时我开始着手解析几何的备考（北师大的专业课2是65分的解析几何和85分的高等代数，虽然解析几何的难度比较低，但是11月开始着手备考有点不妥）进入12月份，自己的心态有些变化，每天会心慌（尽管自己前期做了很多努力，看书与刷题，也许到这个时间段心态的变化都是正常的。

来源：期货日报作者：周晓雅 昨夜美股开盘，三大股指受到美国时间隔夜白宫和参议院达成经济刺激协议的推动，而出现继续的上涨。其中道指一度上涨接近700点，而纳指和标普500指数的涨幅都超过了1％。盘中三大股指大幅上涨后，却在收盘前15分钟内出现迅速跳水。其中，道琼斯工业平均指数一度涨幅高达6％，最后仅收涨2.39％；标普500指数尾盘时候涨幅迅速回落，最后收涨1.15％；纳指收跌0.45％。美股恐慌指数VIX涨3.70％至63.95，期权市场对美股后市担忧程度增加。美国疫情持续升级，连续第3天新增病例超过1万例，据美国约翰斯·霍普金斯大学发布的实时统计数据显示，截至北京时间今天早上7点，全美共报告新冠肺炎确诊病例65285例，死亡926例，较前一天新增确诊病例12017例。美国国防部长已向美国军方发出停止行动命令，要求所有驻海外美军停止一切旅行和行动计划。该命令将执行最多长达60天，以防范新冠肺炎疫情在美军部队中传播。欧洲方面，德国开始执行史无前例的援助措施。昨天德国议会批准1.1万亿欧元的一揽子救助计划以保护经济。德国议会授予政府紧急状态权利，允许无限制发债，同意暂停“债务刹车（上限）”。据了解，“债务刹车”条款将联邦预算赤字限制在GDP的0.35％，只有在非常紧急的情况下，德国联邦政府才有权向议会申请提高上限。同日，法国政府也通过了25项行政法令以应对公共卫生紧急状态，这25项行政法令中最为突出的是法国政府对企业和个人的经济援助措施。其中，有3000亿欧元面向所有企业，10亿欧元面向中小企业，85亿欧元资助“部分失业”的个人。受此影响，欧股今天凌晨收盘全线上涨。欧洲斯托克600指数收涨3.1％，创2008年以来最大的两日涨幅。德国DAX指数收盘上涨1.34％；英国富时100指数收盘上涨4.26％；法国CAC40指数收盘上涨4.47％；西班牙IBEX35指数收盘上涨3.65％；意大利富时指数收盘上涨2.48％昨天下午，据俄罗斯媒体报道，伊朗一石化工厂管道爆裂引发火灾。昨晚美股盘中，有消息人士称美国计划在G20会议期间施压沙特，敦促其克制原油生产。此前白宫已确认特朗普将参与周四的G20电话会议，美国国务卿蓬佩奥在昨日与沙特王储的通话中也敦促沙特确保危机期间全球能源和金融市场的稳定。原油似乎并未受影响，截至今早六点，WTI原油期货开跌1％，现报24.25美元/桶。此外，伦铜涨0.51％；黄金跌1.56％。美豆跌0.38％；美豆粕跌3.08％；美豆油涨1.02％；美糖涨2.22％；美棉涨0.58％；GVZ（贵金属VIX）指数涨0.37％。OVX（原油ETF的VIX）指数涨跌15.70％。伊朗油厂突发火灾！油价弱势概率偏高据俄罗斯媒体报道，伊朗阿巴丹（Abadan）石化工厂管道爆裂引发火灾。目前，暂不清楚人员伤亡情况。疫情在伊朗也并未完全得到控制，在过去的24小时里伊朗新增新冠肺炎确诊病例2206例，新增死亡病例143例，累计确诊27017例。据了解，阿巴丹是伊朗著名石油城，在产油区胡齐斯坦省内。1980年两伊战争开始前，阿巴丹炼油厂日炼油达60万桶，为伊朗全国最大的炼油厂。两伊战争使阿巴丹遭到严重破坏。1988年两伊战争结束后，伊朗重建阿巴丹炼油厂。中信期货原油分析师杨家明认为，伊朗目前因为美国制裁原油出口量已经大幅下滑，市场影响力锐减，意味着对国际原油需求影响有限，但该炼厂如果出现问题可能导致伊朗国内成品油供应出现问题。“该炼厂产能目前为39万桶/天，是伊朗国内最大炼厂，产能占比为20％，叠加近期疫情冲击，伊朗国内成品油供应或出现短缺，是否引发社会动乱还有待观察。”“美国股市近期受到经济刺激计划提振，短期大幅上涨，但市场对刺激计划的看法有分歧，导致金融市场波动加剧。原油近期受到供应与疫情冲击需求的双重压制，战胜疫情更多依靠民众自愿隔离，因此原油需求在疫情出现好转前，暂时难以改善维持弱势概率偏高。”杨家明说。国内昨日期市收盘大面积翻红昨日，国内期市大面积收涨，其中沪银涨逾7％，铁矿石涨超5％，郑棉涨停、棕榈油涨逾4％。能化品分化，沥青、原油涨逾2％，苯乙烯跌逾4％，甲醇跌逾2％；基本金属也多数上涨。继周二沪金、沪银期货主力合约开盘涨停后，昨日国内期市贵金属板块涨幅居前。“贵金属近日的上涨主要与美联储不断推出宽松政策，美股大幅反弹，流动性危机缓解有关，市场停止了对贵金属的抛售，并回补空头头寸。黄金的上涨与疫情引起的物流不畅有一定关系，所以COMEX近月黄金出现了反常的升水远月合约以及现货黄金。” 五矿经易期货高级分析师王俊表示，白银的波动性一向大于黄金，由于近期风险事件不断，白银明显走弱，金银比处于历史极高位置，沪银昨日涨幅较大也是出于修复金银比的需要。他介绍，近期驱动贵金属反弹的原因主要是流动性危机出现缓解，资金停止了对贵金属的抛售，同时价格的过快下跌也吸引了一些抄底资金介入，而短期金银能否继续反弹主要要看市场特别是股市风险偏好能否继续回升，这关系着市场对通缩的预期是否会出现修正。“如果美股重新归于下跌，则市场会重新聚焦于通缩压力，贵金属也会相应承压，从资金情绪和逻辑分析，我们倾向于认为金银上方空间有限，短期反弹后价格会重新承压。”具体来看，王俊建议，短期需要重点关注疫情发展和美股市场的走势，以及美国正在酝酿的财政政策和美联储的货币政策，任何美股市场的风险重新回归，都将令市场产生通缩预期，从而令贵金属承压，建议在压力位适当布局空单。“当然，由于全球央行极尽全力地释放流动性，本次危机过后，我们看好金银的长期投资价值。”此外，油脂油料板块昨日也普遍上涨。中粮期货研究院高级经理白杰表示，目前油脂油料基本面的焦点主要集中在供应端，肺炎疫情在全球范围内的发酵给产区和物流带了较大的不确定性，国内偏低的油籽库存对产区和物流情况变得更加敏感。“由于国内棕榈油全部依赖进口，棕榈油产地种植园暂停运营和马来延长管制时间引发市场对后期供应的担忧。”对于目前棕榈油期货价格的涨势，白杰认为，在目前全球肺炎疫情发酵和原油暴跌对棕油需求的影响未见到转变的情况下，连盘棕榈油上涨以反弹看待。此外，他还表示，目前国内大豆和豆粕库存处在历年同期低位，与此同时，肺炎疫情在南美巴西和阿根廷的发酵给产区物流带了较大的不确定性，偏低的库存对南美产区物流情况变得更加敏感，在当下时间点不建议做空。美对部分中国商品重新加征25％关税根据美国贸易代表办公室近日公布的针对中国第二批340亿美元关税排除清单内商品加征有效期延长的公告，部分商品自昨日起，将被重新加征25％的关税。据了解，自2018年7月6日起，美国对总价值约为340亿美元的中国出口商品加征25％关税。2019年3月25日，美国贸易代表办公室宣布，对上述商品中的部分商品暂时免除加征关税，为期一年。在一年期限到期前，美方更新了暂时免除加征关税的名单，其中11项商品获得延长免征期限1年，22个商品未获得延长，3月25日起将被重新加征25％的关税。根据公告，获得延长免征期限的商品包括潜水用水过滤机械、吸乳器等，3月25日被加征关税的商品包括潜水离心泵、铸铁叶轮外壳、为涡轮增压器设计的压缩机壳体等。有市场消息称，美国或将批准企业推迟缴纳税款，但非普适性规定，需具体企业具体分析。大型企业呼吁美国政府延缓和暂停征收进口关税，美国海关向进口商表示，将视具体情况批准缓征进口关税，但钢铁生产商和贸易鹰派反对这一提议。英国王储新冠检测呈阳性，普京宣布俄罗斯下周不工作，西班牙疫情愈发严重疫情已经入侵英国王室。英国王室25日发布声明说，英国威尔士亲王查尔斯王储的新冠病毒检测结果呈阳性，目前症状较轻。克拉伦斯宫发言人说，现年71岁的查尔斯目前表现出轻度症状，“近日都在家办公”；其夫人卡米拉经过检测，没有感染。声明说，查尔斯最近几周内履行王室公职活动很多，因此不能确定他从何处感染新冠病毒。而英国女王伊丽莎白二世及其丈夫菲利普亲王本月早些时候已离开白金汉宫，避居温莎城堡。北京时间昨天深夜，俄罗斯总统普京，就新冠肺炎疫情向全国民众发表电视讲话。普京宣布推迟对宪法修正案的投票（原定于4月22日对宪法修正案进行全民公投），普京还宣布，下周对于俄罗斯民众来说是“不工作周”，但工资保持不变。据西班牙卫生部25日公布的数据，西班牙较前日新增新冠肺炎确诊病例7937例，新增死亡病例738例，累计确诊病例达47610例，其中3434人死亡，5367人治愈出院。此外，西班牙副首相卡尔沃也确认感染。意大利累计确诊病例已超7万。根据当地时间3月25日18时意大利卫生部公布的最新数据，意大利现有新冠病毒感染者57521例，死亡7503例，治愈9362例，累计确诊感染新冠病毒总人数为74386例。

胡适耕，男，湖南人，教授，博士生导师，宝钢奖获得者。1944年10月出生，原籍湖南湘乡。1967年毕业于湖南大学数学系，1968年-1979年在湖北一家工厂劳动，1979年底入华中理工大学（今华中科技大学）数学系任教至今。1991年被聘为教授，1996年起任数学系主任，1995年起任《应用数学》杂志常务副主编，1994年起任中国数学规划研究会理事。今天，小编为喜爱胡适耕的朋友精心挑选了TA的3部高分作品，来看看都是哪些呢？1.《实变函数》豆瓣评分：7.8作品简介：全书共五章。其中前二章（集与点集、测度与可测函数）以较小的篇幅紧凑地介绍了学习全书所需的集合论和测度论基础，第三章Lebesgue积分，第四章Lp空间是全书的中心内容，系统地介绍了Lebesgue积分论，并给出了较多的应用例子，第五章徽分论与Stieltjes积分，包括广义测度的一个梗概。《实变函数》在每一章后增加了评注，习题依要求的不同分为A、B两类，在《实变函数》的最后还附有对每一道习题的解答与提示。与传统教材相比，《实变函数》适当增加了应用实例，增加习题数量并将基本题与难题分开；加强背景与主要思路的说明；与前后课程的衔接处添加了引导性说明。《实变函数》用语准确，表述清晰。可作为理工科大学、高等师范院校数学及相近专业的教材或参考书，也可供有一定数学基础的读者自学之用。书友点评：我承认我在重修实变。胡老师这本书是艺术品。评价完毕。2.《高等代数》豆瓣评分：7.6作品简介：《高等代数:定理问题方法》简介：高等代数与数学分析并称为最重要的数学基础课程，多年来为教育界所公认。学生从高等代数课程中所获得的知识与方法训练，在其后的数学学习与研究中有不可替代的作用。《高等代数:定理问题方法》通过800道例题分析，透彻地阐释并系统运用了读者在学习过程中所感觉到的优美的思想与方法，务求读者能真正透彻地弄清一些问题。《高等代数:定理问题方法》共分四章，分别为多项式、矩阵与向量、特征值与标准形、内积空间与二次型，每小节以概念与定理、问题与方法的模式进行阐述。书友点评：哥当年考研就毁在高代上了，永远的疼。3.《泛函分析》豆瓣评分：7.5作品简介：《泛函分析》主要内容有Banach空间；线性算子与线性泛函；谱论初步；非线性算子；习题答案与提示。《泛函分析》具有以下特色：突出那些体现泛函分析基本特征的思想，简化或回避了一些复杂的构造，尽可能降低难度，提高可读性。对于主要概念与结果的背景与实质，作了尽可能透彻的说明。所有基本结论的证明，都作了尽可能的简化。经简化后仍很繁琐的证明，则移入各章最后一节。书友点评：第一节就把我吸引住了！再继续读下去，果然泛函还是很难啊 。

撰文 | 林开亮来源：好玩的数学本书作者阿克斯勒之所以要打倒行列式，可能主要是想突出线性代数的本质方面是概念而非计算。正是出于对后一个看法的支持，促使我在这里向读者推荐这本书。人民邮电出版社，2016年作者谢尔登·阿克斯勒（Sheldon Axler）和他的猫，取自其个人主页http://www.axler.net/在中国，线性代数一般等同于矩阵论，这主要是受华罗庚先生的影响，他的矩阵功底炉火纯青，因此他的学生曾肯成教授这样说：“龙生龙，凤生凤，华罗庚的学生会打洞。”所谓“打洞”，就是用相似变换或其它矩阵变换将矩阵化成标准型（其中有很多元素为0，即“洞”）。据华罗庚的另一得意弟子陆启铿院士讲，当初邀请华罗庚访问美国普林斯顿高等研究所的外尔（H. Weyl）曾这样评价：“华罗庚玩矩阵就像玩数字一样得心应手。”大概是陆启铿先生的话被人听岔了，做出这一评价的外尔教授，有时被讹传为韦伊（A. Weil）。稍微了解韦伊的人都知道，他不可能说这话。为什么呢？因为韦伊是法国布尔巴基学派的灵魂人物，他跟谢瓦莱（C. Chevalley）都致力于消除代数中的行列式、结式等计算性的概念，而华罗庚是以矩阵计算见长，绝非韦伊所欣赏的风格。这里有罗塔(Gian-Carlo Rota)教授在1988年提供的证词 (见其文章Fine Hall in its golden age: Remembrances of Princeton in the early fifties,收入A Century of Mathematics in America, Part III, History of Mathematics, Volume 3, P. Duren, Ed., pp.223-236, American Mathematical Society, 1989. http://www34.homepage.villanova.e/robert.jantzen/princeton_math/pmcxrota.htm)：即便是本科生的线性代数教学，也留下了阿廷（E. Artin）清晰可见的印记：他在我们面前从来绝口不提基和行列式（考虑到他是那么喜欢计算，这真是奇怪的禁令）。阿廷的盟友，谢瓦莱和韦伊，竭尽全力将行列式和结式驱逐出代数。每每想到革命尚未成功，九泉之下的两位（注：指1962年过世的阿廷和1984年过世的谢瓦莱，韦伊也在1998年过世）可能都无心睡眠。在这方面，韦伊和谢瓦莱的先驱，正是罗塔这里所提到的阿廷。荷兰数学家范德瓦尔登（van der Waerden）曾根据阿廷和诺特（E. Noether）的讲义，写成抽象代数的经典名著《近世代数》（后来更名为《代数学》，有中译本，科学出版社），此书直接刺激了布尔巴基学派的诞生。希尔伯特（Hilbert）、诺特、阿廷是近世代数的先驱，近世代数的思想一度在德国盛行。特别地，受到量子力学的刺激，冯·诺依曼（von Neumann）将这一思想应用到无限维空间的泛函分析中，导致了线性代数的几何化。这方面的第一本书，就是冯·诺依曼在普林斯顿高等研究院的助手哈尔莫斯（P.R. Halmos）根据他的讲义写成的《有限维向量空间》（Finite-Dimensional Vector Spaces）。该书1942年出版，之后多次再版，现已成为经典（期待有朝一日能够引进中译本，这是笔者心目中独一无二的线代数圣经）。眼下这本《线性代数应该这样学》（Linear Algebra Done Right 第三版），可以说，基本上是按照《有限维向量空间》的精神写的一本新书。这毫不奇怪，作者是圣弗朗西斯科州立大学数学系的教授阿克斯勒（Sheldon Axler）。他是哈尔莫斯的徒孙，中间的链接是萨拉森（Donald Sarason）。阿克斯勒写作这本书，可以追溯到他在1995年发表在《美国数学月刊》上的一篇阐述性文章《打倒行列式！》（Down with determinants!），该文次年获得了美国数学协会颁发的 Lester R. Ford 写作奖。标题取名为“打倒行列式! ”，也许在中国的读者看来，有点不可思议！因为在通行的线性代数教科书中，行列式通常放在一开头讲的，如果直接扔掉了，后面还怎么讲？事实上，这是完全可以做到的，《线性代数应该这样学》就做到了这一点。在全书中，迹和行列式是最后一章，而之前讲完了线性代数所有其它内容（尤其是作为矩阵灵魂的特征值与特征向量），根本不需用到这两个概念！阿克斯勒之所以要打倒行列式，可能主要是想突出线性代数的本质方面是概念而非计算。正是出于对后一个看法的支持，促使我在这里向读者推荐这本书。如前所说，线性代数的教学分两派：一派注重代数计算，以华罗庚先生为代表，这条线最终可溯源到美国的代数与数论学家迪克森(L. E. Dickson) ，中间的链接是杨武之教授（杨振宁的父亲，把近世代数和数论引进到中国）；一派注重几何直观，以哈尔莫斯为代表，最终追溯到诺特和阿廷，中间的链接是冯·诺依曼。虽然我本人经受的课堂训练是偏计算的(教材用北大的经典《高等代数》，它以丁石孙先生的《高等代数简明教程》为蓝本，丁先生在自传中说他借鉴了苏联斯米尔诺夫的《高等数学教程》；课堂之外，我的高等代数老师、天津大学数学系田代军教授指引我去读华罗庚、万哲先的《典型群》以及雅各布森（N. Jacobson）的抽象代数著作)，然而只是在我后来用哈尔莫斯的《有限维向量空间》重新学了一遍线性代数以后，我才敢说我对线性代数有了一点底气。我希望我说这话时，你不要认为我是在吹牛，我甚至希望这话能得到专业人士的认可，因为我在博士论文中的部分工作，就是用阿廷、冯·诺依曼、哈尔莫斯那一派的几何观念和方法，完善了华罗庚先生1947年的一项纯代数的矩阵工作。因此可以说，我是华罗庚先生和哈尔莫斯教授两派结合的产物。代数计算将线性代数机械化了（我有一次在打乒乓球时感觉每一次回球就像在做一次初等变换），同时也变得有点无聊。我常常有一种天真的想法，也许可以考虑用吴文俊先生倡导的数学机械化，将华罗庚学派炉火纯青的打洞技术给实现了！要想让线性代数生动起来，除了介绍一些精彩应用的例子外，一个可行的办法是强调几何的语言。几何的语言，自然是相对于代数的语言而说的。简单讲，就是用线性变换代替矩阵, 用抽象向量代替列向量。几何语言的优点是简洁明快，例如“作用（action）”这个词给人的感觉就是如此。代数语言的好处是具体清晰，两个矩阵“相乘”在我们头脑中的图象，是一系列具体运算的运作。通常的教科书往往过分强调了代数的语言，这同时也充分暴露了其诸多弊端。最大的缺点在于容易将几何淹没于代数。而且，在很多问题中坐标的选取并不重要，我们所需要的往往只是一些基本的运算规律, 例如分配律、结合律等。这时抽象的几何语言就十分适用了，例如在内积空间的理论中，我们往往采用几何语言。其实，数学家正是靠这种几何观点来指引具体的代数运算的，例如所谓Gram-Schmidt正交化，无非就是将第二个向量沿第一个向量作垂线（从三角形的一个顶点往底边引高线），一旦指出这一点，Gram-Schmidt正交化的公式就很容易理解了。更近一步，理解Cauchy-Schwarz不等式就是水到渠成的了：它所对应的，无非是这样一个熟知的几何事实：直角三角形的直角边长不超过斜边长。我要指出，我这里并非说代数计算不好，我想强调的是，要尽可能在几何直观的指引下做代数计算。我觉得借用阿廷在其名著《几何化的代数》（Geometric Algebra, 1957年出版）一书中的一句话来评论阿克斯勒的《线性代数应该这样学》再好不过了：我的经验是，一个用矩阵进行的证明，如果你抛开矩阵的话往往可以使这个证明缩短一半。有时，这一点是办不到的，你需要计算一个行列式。我将阿克斯勒的这本书郑重推荐给所有想重新从几何的观点看待线性代数的朋友，所有想从零开始学习线性代数的朋友。该书继承和发扬了哈尔莫斯《有限维向量空间》的几何化特色，以几何引代数，以概念指导计算！它会告诉你，线性代数不仅仅是矩阵论，或者更恰当地说，从几何的观点看，线性代数和矩阵论原来可以很简单！你不再需要-矩阵，不再需要分块矩阵，更不必担心复杂的行列式计算会挡住你前行的道路！而且，额外的好处是，一旦熟悉了这种几何的观念和思维，当你应用线性代数和学习泛函分析时会更加得心应手。根据我的经验，要使线性代数在你心中扎根，你需要读哈尔莫斯的Finite-Dimensional Vector Spaces。如果你还不习惯读外文教材，那么阿克斯勒的《线性代数应该这样学》中译本在目前是首选。下面我们简单介绍一下本书的内容。全书共十章，其中三章讲向量空间(1,2,6)， 一章讲多项式(4)，六章讲线性映射（其余）。第一章讲向量空间，引出线性空间的一般概念。向量空间是线性代数演出的舞台。(记得我博士毕业找工作时面试高校教师时抽到的一刻钟试讲题目，就是向量空间。）第二章讲有限维向量空间，维数是向量空间的基本不变量，借助基与坐标映射可以给出抽象向量空间到列空间的同构。限制于有限维的好处是，所有的运算都是有限的代数运算（不会涉及无穷）。现在舞台搭好，主角要出场了，第三章给出线性映射的基本概念。线性映射是向量空间之间的自然映射，在基底下体现为矩阵。给定一个线性映射，就诱导出两个重要的子空间，核空间与像空间。线性映射的基本定理 (3.22节）给出了这两个子空间的维数关系。(这样一个定量关系，其实可以用线性方程组的基本定理来描述。) 这个基本定理只是对线性映射给出了最粗略的描述，为了更精细地观察线性映射，我们需要将它分解为简单的线性映射。为此，一个有效的工具是多项式，这是第四章的主题。这个概念其实不属于线性代数，但它的理论可特征子空间的直和。(特征值与特征向量是观察线性变换的最佳视角，不过并非所有的线性变换都可以完全通过特征向量刻画）。第六章讨论内积空间。内积空间中因为赋予了可以度量长度、角度等几何观念的内积，从而拓展了中学阶段所熟悉的平面向量和空间向量的几何知识，例如勾股定理、正交投影等。但这不只是简单地重新唤醒我们的记忆，让我们将向量几何从二维三维推广到高维；现在有了前面关于向量空间与线性映射的概念，自然我们就要问，内积空间的不变量如何刻画？这就自然引出正交变换的概念，最终我们发现，原来正交变换（以及平移变换——注意它一般不是线性变换）就是我们中学所学习的全等（也称为欧几里得运动）概念的实质。（在中学时，我从未了解到，平面上两个图形全等的真正含义是，存在平面上的一个全等变换可以将其中一个图形一一映射成另一个图形。）第7章的主题是谱定理，主要的结果是内积空间上的对称变换可正交分解为一些伸缩变换的直和。这是线性代数最核心的结果。据我分析，每年高等数学考研线性代数两道大题，分别考察线性方程组的基本定理与实对称矩阵的谱定理。遗憾的是，我接触到的一些迎考学生甚至在线性代数课程中都没有学过谱定理！在我看来，对大部分学生，线性代数至少要学到这里，还应知道正交变换的谱定理——因为只有知道了旋转与反射的几何图景，你才会与全等变换的直观印象联系起来，代数与几何才合二为一。就我个人来说，我真的是学完第2遍线性代数才明白我们通常说的三维空间的旋转是什么含义！致敬科比（单指转球可以看成三维空间的一系列旋转）第8章讲复向量空间上的线性变换的标准型，第9章讲实向量空间上线性变换的标准型，它们都是线性代数中的经典结果，要用到诸如广义特征向量之类的概念。不过对一般读者来说，也许你知道有这么一回事就可以了，毕竟通常呈现在你眼前的线性变换（或矩阵）都是比较简单而特殊的，用不到如此一般的系统理论。第10章是迹与行列式，这是线性变换的两个基本不变量。行列式比迹要复杂，所以放在后面。我的朋友吴帆在线性代数教学方面颇有心得，他曾说过，任何一本线性代数教材，如果一开头就讲行列式，学生基本上就学不会线性代数了。我想，这正是国内许多人学不会线性代数的原因吧。因此，我们特别提醒那些想学会线性代数的读者，如果你不想一开头就被行列式弄头大，不妨选择我们推荐的这本书。对了，各章开头插入的精美彩图也会令你眼前一亮，心向往之！我们仅取第一章和最后一章的两幅插图为证！第一章插图：笛卡儿（右一）在向瑞典女王克里斯蒂娜讲解自己的工作第十章插图：英国数学家和计算机科学先驱艾达·洛夫莱斯本书的前两版曾在美国近300所院校作为教材使用，作者因此收到了成千上万条反馈意见，可以想见，第三版将何等卓越。奇文共欣赏，疑义相与析。预祝你们阅读愉快，有疑问不妨直接与作者联系，据我的经历，阿克斯勒非常欢迎读者给他提意见与建议。注：正规矩阵（normal matrix）是一类重要的矩阵。此处的笑点在于，normal 在英文中是“正常”的意思。所以，如果要真正体现出幽默来，可能要将“正规矩阵”翻译为“正常矩阵”。请允许我多说一句，可以说，正规矩阵的谱定理（各个版本）是线性代数中最重要的一个定理。温馨提示1：虽然这本书中穿插着一些幽默的图片与言论（如上图,取自原书7.B节习题15，题目是求图片中第一个矩阵被挡住的右下角元素。），但它更适合比较严肃的读者，特别是数学系的学生。读完这本书，再接触抽象代数（如小阿廷（M. Artin）的著作），应该会比较容易。对于非数学专业的学生，我想可能你们会更适应MIT数学系教授Gilbert Strang的线性代数教材和公开课视频。我想这两本书的差别可以概括为：本书重线性映射的理论，从不变量的角度以几何的观点考察线性代数；Strang的书重矩阵的应用，强调具体计算以诠释线性代数的种种应用。简单说，如果你更喜欢线性映射之类的几何语言，那么用本书；如果你更习惯矩阵之类的代数语言，用Strang的书。当然，并无绝对，本质上线性代数是代数与几何的统一，两种观点都是需要的。Strang的个人主页为http://www-math.mit.e/~gs/温馨提示2：《线性代数应该这样学》原书在2016年出版了一个删节版，可以在作者的个人主页免费下载，http://linear.axler.net/LinearAbridged.pdf温馨提示3：作者制作了本书的音频（带幻灯片），有兴趣的读者可以浏览：https://www.bilibili.com/video/av63561127/致谢：感谢美国南密西西比大学丁玖教授和付晓青博士对初稿提出了有价值的建议！原文出自《数学文化》，推送时略作修订。作者简介：林开亮，首都师范大学基础数学专业博士，现任教于西北农林科技大学理学院。本文经授权转载自微信公众号“好玩的数学”。特 别 提 示1. 进入『返朴』微信公众号底部菜单“精品专栏“，可查阅不同主题系列科普文章。2. 『返朴』提供按月检索文章功能。关注公众号，回复四位数组成的年份+月份，如“1903”，可获取2019年3月的文章索引，以此类推。