数学小问题研究

一、选题的目的与意义我们原有的数学课堂教学在新一轮课程改革大潮的冲击下，逐渐显露出它对促进学生可持续发展的无耐和乏力。在这种形势下，我们教育工作者渴求有力的支撑。无论从何种角度讲，我们都呼唤并迫切的想找到一把能解开这种困惑的钥匙。随着新课程的纵深推进，我们开始了基础教育新课程教学策略的研究，我们经历了艰难的摸索，在各种形式、各个层面的推敲和论证下，最终将研究的目标锁定在数学“小课题”研究二组织形式的封闭性呼唤“小课题”研究来打破。我们的组织形式采用的是“班级授课制”三数学学习的价值需要“小课题”研究来体现。学生学习数学最为重要的价值莫过于“认识数学与生活的联系”和“思考”。二、课题的研究内容小课题研究生成问题的途径有：途径一：教师开发教材资源而设定的。在我们的教材中就蕴藏着大量的小课题研究内容。因此，在小课题研究开展的初期阶段，为了保证所选课题有可研究的价值，实施时切实可行，由老师结合教材内容开发资源、设定选题是一个较为便捷的途径。途径二：学生从生活中提炼出来的。由学生提炼的前提必须是学生在进行了一段小课题的研究后，渐渐地养成了“学数学看生活，生活中想数学”思维习惯才能进行的。学生观察生活的角度与成人不尽相同，来自他们的灵感更鲜活，他们在生活中引发的思考都有可能成为他们小课题研究的目标。小课题学习是一种研究性学习，它具有以下几个特点：⑴专题性。⑵开放性。⑶主体性⑷实践性。三、课题的价值一培养信息收集和处理的能力。从认知心理的角度看，学生开展学习的过程，实质上就是信息处理的过程。“小课题研究”是围绕一个需要解决的问题展开，以解决问题结束，在整个过程中，如何多渠道收集资料、整理资料，尤其是在一个开放的环境中如何自主收集和处理加工信息是个关键。二提高应用知识的能力。“小课题研究”中学生围绕某个感兴趣的主题展开学习活动，需要学生去应用、分析、综合、评价知识，每个主题所包含的知识并不是唯一的、确定的，而是一种动态性的知识，所以学生尽可以发挥自己的聪明才智，从多种角度进行发散性、批判性思考，从而增强学生自身的创造性，提高综合运用知识的能力。三获得亲身参与探究的积极体验。“小课题研究”的过程也是情感活动的过程，一般来说，学生在课题学习中的成果往往是个人或同伴知识基础上的创新，达不到原始创新。因此，重要的是通过让学生自主参与类似于科学家探索的活动来获得体验，逐步形成一种日常学习与生活中喜爱质疑、乐于探索、努力求知的心理倾向。四学会沟通与合作。“小课题研究”的过程是一个人际沟通与作用的过程，要完成一个课题，不仅需要自身的积极探索，更需要小组成员的共同努力，相互帮助，培养学生乐于合作的团队精神和交往能力至关重要。四、研究基础课题组成员曾经参与小学生数学综合实践活动教材的编写工作，对数学活动课程有着较深的研究。数学实践活动虽不同于“小课题”研究，但长期的研究积累，为研究小学数学中高年级学生“小课题”研究提供了许多可以值得参考的理论基础和依据。课题组成员多年来一直从事小学数学中高年级教学工作，积极指导学生参加数学兴趣小组活动，对数学“小课题”进行过长期的实践与探索。所辅导的学生曾经连续五年在省数学“探索”与“应用”技能大赛中荣获团体奖桂冠，辅导的学生有多篇数学小论文在省级报刊发表，这些教学实践都为“小课题”研究工作积累了丰富的经验基础。

我初二就辍学了。棒棒的，关我屁事？

一、教学时引导学生质疑；二、注重一题多解；三、联系生活应用数学；四、联系生活，用数学解释生活。找中国期刊库试试，个人感觉不错

去百度文库，查看完整内容>内容来自用户:蒋林志小学数学解决问题基本策略研究结题报告2012年1月课题“小学数学解决问题的基本策略研究”被山阳小学确立为校级课题，两年多来，本课题的研究与课堂教学实践研究紧密结合，有效促进了学生解决问题策略的形成，切实提高了学生解决问题的策略意识，完成了研究预设的目标任务。现对课题研究情况总结如下：一、研究背景。1．重视问题的解决是数学课程标准的一个显著特点。数学课的根本目的是使所有学生获得解决他们日常生活中遇到的数学问题的能力。小学阶段学生学习数学应立足于他们的终身学习和发展服务，让每一位学生学得有用的数学。让学生从小能形成解决实际问题的基本策略就是以这一点为出发点。本课题从学生学的角度，探索学生解决问题时选择基本策略的过程，形成了怎样的策略？对学生今后学习数学有什么样的实践意义？即对学生解决问题的策略形成的有效性进行研究。通过研究达到提高学生良好的解决问题的能力，达到标准对学生的总体目标要求都具有很强的理论意义与实践意义。2．国内外“解决问题”研究现状决定解决问题策略研究对实践课程标准的重要性。20世纪80年代以来，国际数学教育界提出“问题解决”这一重要概念，明确提出“具有解决数学问题能力”是数学课程的重要目标之一。面对知识经济时代和信息科技发展的需要，我国教育部在上述背景下，提出了小学数学解决问题3采用列表法通过研究，我们发现学生策略的形成主要表现在：学生在教学活动中体验方法的具

（一）如何指导学生在提出问题中“问什么”1、让学生提模仿性的问题模仿性的问题适用于以下两种情况：一是学生在学习某一类知识的开始，教师可以先进行示范性的提问。案例1如王风君老师上“2、3、4的乘法口诀”，在教学2的口诀时，先出示两只青蛙图，然后教师示范性的提出以下问题：一只青蛙一张嘴，两只眼睛四条腿。两只青蛙两张嘴，（ ）只眼睛？用加法怎样计算？用乘法怎样计算。根据加法算式与乘法算式的关系，怎么编写口诀等问题。有了这样的示范，以后学生在学习3—9的口诀时就会模仿2的乘法口诀提问。如在教4的乘法口诀时，教师出示4只青蛙图后，学生就会很快模仿2的乘法口诀提出问二是当学生在课堂上遇到平时较少接触的、比较抽象的问题时，教师也可作示范性提问。案例2请看陈惠琴老师教学“可能性”这节课，（一年级数学上册）。教师先拿一个玻璃杯子，里面装着两个红球和两个蓝球，学生一下子不会提到可能性的问题，教师先示范性的提出：“你们闭上眼睛，猜一猜摸到哪种球的可能性大？”这时教师又往杯子里添上3个球，这时让学生提问题，学生就会模仿教师的问题来提问。以上提的这两种问题就称为模仿性的问题。学生可先模仿教师的提问进行提问，以后就逐渐学会自己提问。3、提比较性的问题当新旧知识有一定联系时，学生就比较容易提比较性的问题案例3如马学文老师在教学“长方形、正方形和平行四边形“的复习课时（五年级数学上册），教师出示了长方形、正方形和平行四边形图形，让学生提出问题。学生提出了（1）这些图形有什么特征；（2）这些图形之间有什么联系；（3）图形的特征有什么相同点，不同点？；（4）图形的边角有什么变化？怎么变？这类问题的提出有助于帮助学生把知识进行归类整理，分析比较，加强知识间的横向和纵向联系。4、提与课题有关的问题课题一般都是学生学习的中心或主要内容。一上课，教师可以引导学生针对课题进行思考，提出问题，使每个学生上课时都能明确学习目的、内容，带着问题来学习，激发学生探究的欲望。使教师由“解惑”为中心转变为“生惑”为中心。案例4如陈惠琴教师教学的“9加几”这节课时，教师首先创设了以下情景：（1）盒子里有9个皮球，外面有两个皮球；（2）鱼塘里原来有9条草鱼，又游来了4条等四个情景，每出现一个情景图，教师就提问：“你们能提出一个加法问题吗？”学生很容易就提出了4个加法问题。接着老师问：“怎样才能解决你们提出的问题呢？”学生列出4道加法算式：（1）9+2（2）9+4（3）9+6（4）9+5。教师又问：“你们观察这些算式，你能提出什么问题？”学生迫不及待的提出：“我想知道怎样算比较快？”从而很自然的揭示出课题。象以上问题就属于课题性问题。为了丰富提问题的形式，教师可尽量通过创设问题情景，自然的引出课题，让学生自己真正感到有问题可提，需要提问题，迫切需要解决这些问题。5、提有联想性的问题从一事物联想到另一事物，这两类事物可能是类似的，相近的，也可能是对立的，还可能是有因果关系的。学生就会从这一事物联想到另一事物，萌发提问的欲望。案例5如王风君老师在教学《人民币>一课时（一年级上册）,学生在了解了元、角、分的一些知识后，爱动脑筋的学生就会想到“为什么人民币的面值只有1分、2分、5分、1角、2角、5角、1元、2元等面值，而没有3分、4分、6分、7分等面值的问题以上这些看似简单的做法，也可能就是未来的科学家、发明家在我们课堂上一个小小的提问而诞生的源泉。这不就是我们小课题研究的最终目的吗？（二）、指导学生如何结合数学学习内容发现问题1、创设情景，让学生发现并提出问题教学中，教师可根据中、低年级学生的特点，采用讲故事、猜谜语、游戏、比赛等形式，把抽象的数学知识与生动的实物内容联系起来，激起学生思维上的疑问，形成悬念问题；也可借助多媒体技术创设问题情景，利用多媒体图、文、声、像，充分体现知识的形成过程，使学生保持旺盛的学习兴趣，对培养学生的问题能力起到事半功倍的效果。案例1如陈惠琴教师在教学<图形的认识>时，教师利用多媒体出示五种不同颜色的图形组合成一个牧童骑在牛背上，并使它动起来，学生一下子就被吸引了，学生在欣赏图的同时自然就会发现并提出：“牧童是由什么图形拼成的”“怎样拼等问题。”案例2、如王永刚教师在上《24时记时法》一课，她先出示一张节目表，问学生：“根据自己的生活经验说说从节目时间表中知道了什么，还有哪些疑问”这时，学生纷纷提出疑问：为什么会有18点、14点？为什么我们在平时最大用到12点……探求愿望油然而生。2、创设课堂新模式——奇思异想“问题”。为了唤起学生的问题意识，吴少忠老师在班里设计了“问题收购站”。由专人收购“问题”。为了激起学生提问的热情，她在学期初专门发表了热情洋溢的讲话，并设立了“最佳创意奖”，制作了一把打开知识大门的“金钥匙”。要求同学们在上完课后，将自己头脑中仍存在的疑问写在纸条上，投入问题收购站，由收购站的同学负责解决问题，解决不了的汇报给老师课内解答，让课内解答和课外尝试相结合。主要分三步骤实施：A、“提问”总动员善问是创新精神和创新能力的核心。儿童生性爱问，可一旦进入校门学了些书本知识之后，却变得不爱提问了。针对这种情况，李月玲首先给学生讲科学家的故事，鼓励学生动脑筋。要求他们学会对看似平常的事物提问题，遇事要先问一个“为什么”。这是培养学生问题意识的基本之处。B、疑问无禁区在每一个孩子心灵深处都有一个渴望，那就是渴望表现自己，渴望得到老师的赞赏和同学们的喝采。要想唤起和培养学生的问题意识，还必须爱护和尊重学生的自尊心，坚持“问者无错”的原则。对学生提出问题的热情先给予及时的表扬和热情的鼓励，然后再加以引导和启发，逐步培养学生提问题的能力。改变“不会提问、提不出问题”等问题。激励学生在学完每一课之后，敢于挑战老师、挑战书本，大胆质疑。养成不拘泥于固有的见解，不盲从于权威的观点，敢于提问的思维方式。

美国心理学家布鲁纳指出：最好的学习动机是学生对所学知识本身的内部兴趣。兴趣是最好的老师，学习数学也是如此。培养学生学习数学的兴趣，对于学习活动有重要意义，它能推动学生积极思考，提高学习效率和激发更大的学习欲望。而数学又是一门具有高度抽象性、严谨逻辑性的学科，容易给学生造成心理上的枯燥和认识上的障碍。因此，作为教师应该精心设计课堂教学，充分培养学生学习数学的兴趣。　　一、精心设计新课导入，激发学生的学习兴趣　　“良好的开端是成功的一半”。因为学生对初次接触的事物有一种好奇心和探索心，所以要想把学生的思维吸引到课堂教学内容上来，教师就要不惜花费时间，深下功夫设计一个好的导入。在教学中，教师可以根据教材提出一个有趣的问题，或讲一个小故事，或做一个小游戏等形式导入新课。例如：在讲“圆和圆的位置关系”时，为了形象、生动地演示两个圆之间的五种位置关系，理解这五种位置关系与两圆半径和圆心距的数量关系之间的联系，可以用人们熟悉的一种天文现象“日环食”来演示说明。观看由多媒体制作的日环食全过程，使学生有感性认识，体会两个圆之间的几种位置关系，理解这几种位置关系之间动态的联系。学生再用课前准备的两个不等圆纸片做相对运动，画出运动过程中两圆位置关系的不同状态，学生通过动手、动脑开始新课学习，能提高他们的学习热情和效率。这种导入设计可以在课的开始就给学生留下深刻的印象，能产生浓厚的学习兴趣。　　二、良好的师生关系，稳定学生的学习兴趣　　古人云：“亲其师，才能信其道”。如果学生受到教师的漠不关心、过多的斥责等，都可能使学生对教师产生讨厌、对抗的不良情感，从而对该教师所教的学科不感兴趣。反之，如果教师在课堂上对每个学生都抱着积极、热情、信任的态度，学生就会有一种受到信赖、鼓舞与激励的内心情感体验，从内心升腾起对教师的信赖和爱戴，从而会喜欢这位教师，进而喜欢该教师所教的学科。笔者曾对九年级学生作过调查，其中一项是：你对原来的数学老师怎么看？结果发现大多成绩较好的学生都对原来的教师充满挚爱和尊敬，而成绩较差的学生则对原来的教师有厌恶、抱怨情绪。因此，教师在教学中应积极创设宽松和谐的教学氛围，积极引导学生带着丰富的情感主动进入学习情境。例如：对学习能力较弱或成绩较差的学生采取少一点“威严”，多一点“亲切”的方法，用略带微笑的点头、信任的目光和理解的鼓励来保护学生学习的积极性，使学生在融洽的师生关系和活跃的课堂气氛中由喜欢“数学老师”而喜欢“学习数学”，从而对数学产生浓厚的学习兴趣。　　三、用心创设教学情境，调动学生的学习兴趣　　创设教学情境有利于激发学生学习数学的兴趣和求知欲望，调动学生学习的积极性；有利于学生认识知识、体验和理解知识。因此，在课堂教学中不仅要考虑到学科自身的特点，还要根据学生学习的年龄特点和心理特征，创设生动有趣的情境，为学生提供思维的素材和空间，让学生的思维在这氛围中去参与探索、发现、获得知识。初中数学是数学学习的一个新的开始，初中代数用字母表示数，从特殊到一般，提高了抽象性，增加了理解的难度；平面几何证明逻辑性强，难度大。作为数学教师，应用心创设各种有效的教学情境，以激发学生的学习兴趣，树立学生的自信心，充分调动学生的积极性、主动性，使学生觉得“学习有味”，主动参与到教学中。例如，在讲“幂的知识”时，笔者拿了一张只有0.01mm厚的白纸对学生说：“这张白纸经过对折28次之后的厚度有多少？有我们的教学楼这么高吗？”停顿片刻后说：“要超过世界最高山峰—珠穆朗玛峰的高度8848m！”学生惊讶，教师乘势指出“学习了幂之后，我们可算出其厚度为约26844m。”学生定会兴趣盎然地进入新课的学习，创设这样的教学情境能使学生变被动学习为主动学习；使学生的注意力最集中，思维最积极；增强学生学习的兴趣，提高学生学习的效率。　　四、灵活多变的教学方法，保持学生的学习兴趣　　在教育部2003年4月颁布的《数学课程标准》中明确提出，“学生的数学学习活动，不应只限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受，独立思考、自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等都应是学习数学的重要方式”。因此，教与学方式的改变，要求教师要不断地运用新颖的、富于变化的教学方法，才能引起学生的好奇心和新鲜感，有利于学生学习兴趣的激发。在教学中常用的教学方法有引导发现法、讨论交流法、实践活动法、启发式教学法等。其中启发式教学法的显著特点是让学生在“动”中进行学习，不是为教而教，而是为学而教。在教学中，教师应当积极为学生创设各种主动发现的机会，凡是学生能想、能说、能做的就应大胆放手让学生去想、去猜测、去探索。例如：在几何教学中，要尽量让学生亲自实验，通过量、剪、折、画来探索几何命题。在解题过程中，也要让学生探索实验，让学生参与解题思路的探索过程，教师启发引导，学生尝试探究，让学生在参与探索过程中体会方法，尝试创新。启发式教学法着眼于学生学习兴趣的激发，立足于学生是掌握知识的主体，我们一定要抓住时机积极进行启发式教学，把学生带入主动学习、积极探索，使学生掌握知识的同时，培养学生的能力和开发学生的智力。　　五、精选课堂练习，巩固学生学习兴趣　　课堂练习是巩固所学知识，形成技能、技巧的必要途径，是数学教学中的一个极重要的环节，只有通过适当地练，才能打牢基础。教师在设计课堂练习时，可根据教学目标的需要出些巩固概念的练习，培养能力的练习，一题多解的练习，多题一解的练习等，可以先练后讲或先讲后练，也可边讲边练，讲练结合。同时要注意控制习题的难度与数量，不搞题海战术，不出偏题、怪题来难学生，让学生在平淡的练习中体会无穷的乐趣，在轻松的练习中逐步积累知识，提高能力。例如：在讲“一元二次方程应用题”时，可以这样出题：本届世界杯足球赛有32支足球队参加小组赛，每小组4支队伍，问一共要举行几场小组赛？这种题的设计趣味性强，难度不大，又符合当前中学生喜欢足球的心理，通过讨论即可解决问题。学生能从解题中体验成功的喜悦，从而增强了学习数学的自信心，巩固了学习数学的兴趣。

狄多公主是国王的女儿，从小聪明伶俐，深受国王的喜爱。可是，国家发生了叛乱，国王被杀，狄多公主跟随一些卫士逃离了国家。 他们坐船来到非洲，见到了非洲的雅布王。肯求雅布王给他一些土地。雅布王很同情她们，想给他们一些土地，但又怕他们所要的土地就想出了一个妙计。他给了狄多公主一块牛皮，说：“你们用这块牛皮圈土地，我会把圈到的土地给你们的。”卫士们一听，很生气。一张小小的牛皮能圈多大的土地？但是，狄多公主并不生气，带着卫士们圈地去了。雅布王暗喜，这下不会损失太多的土地了。可是，不一会儿，仆人来报告：“狄多公主圈的地已经有整个国家的三分之一大了”。雅布王大吃一惊，急忙赶去看，原来狄多公主并没有把牛皮直接铺在地上，而是把牛皮搓成牛皮绳，用牛皮绳沿着海岸线圈出了一块很大的半圆形土地。雅布王很佩服她的智慧，心甘情愿的给了她那块土地。 狄多公主在那块土地上建立了牛皮城。

研究现实社会遇到的问题，将他们拆分成细小的数学模型。进而仔细研究，推导可算的公式，公理。方便于科学研究。

专门找来一些参考资料，啰嗦就啰嗦点，不过可能对你有用！世界七大数学难题，还有世界数学最前沿问题。一、千年难题。"千僖难题"之一：P（多项式算法）问题对NP（非多项式算法）问题 在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。你的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确的。然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例子。与此类似的是，如果某人告诉你，数13，717，421可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以因子分解为3607乘上3803，那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。不管我们编写程序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂文·考克（StephenCook）于1971年陈述的。 "千僖难题"之二：霍奇(Hodge)猜想 二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导至一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。 "千僖难题"之三：庞加莱(Poincare)猜想 如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是"单连通的"，而轮胎面不是。大约在一百年以前，庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。这个问题立即变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。 "千僖难题"之四：黎曼(Riemann)假设 有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2,3,5,7,等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s$的性态。著名的黎曼假设断言，方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。 "千僖难题"之五：杨－米尔斯(Yang-Mills)存在性和质量缺口 量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的。大约半个世纪以前，杨振宁和米尔斯发现，量子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的数学之间的令人注目的关系。基于杨－米尔斯方程的预言已经在如下的全世界范围内的实验室中所履行的高能实验中得到证实：布罗克哈文、斯坦福、欧洲粒子物理研究所和筑波。尽管如此，他们的既描述重粒子、又在数学上严格的方程没有已知的解。特别是，被大多数物理学家所确认、并且在他们的对于"夸克"的不可见性的解释中应用的"质量缺口"假设，从来没有得到一个数学上令人满意的证实。在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引进根本上的新观念。 "千僖难题"之六：纳维叶－斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性与光滑性 起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的气流跟随着我们的现代喷气式飞机的飞行。数学家和物理学家深信，无论是微风还是湍流，都可以通过理解纳维叶－斯托克斯方程的解，来对它们进行解释和预言。虽然这些方程是19世纪写下的，我们对它们的理解仍然极少。挑战在于对数学理论作出实质性的进展，使我们能解开隐藏在纳维叶－斯托克斯方程中的奥秘。 "千僖难题"之七：贝赫(Birch)和斯维讷通－戴尔(Swinnerton-Dyer)猜想 数学家总是被诸如x2+y2=z2那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答，但是对于更为复杂的方程，这就变得极为困难。事实上，正如马蒂雅谢维奇(Yu.V.Matiyasevich)指出，希尔伯特第十问题是不可解的，即，不存在一般的方法来确定这样的方法是否有一个整数解。当解是一个阿贝尔簇的点时，贝赫和斯维讷通－戴尔猜想认为，有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数z(s)在点s=1附近的性态。特别是，这个有趣的猜想认为，如果z(1)等于0,那么存在无限多个有理点(解)，相反，如果z(1)不等于0,那么只存在有限多个这样的点。二、当今数学世界前沿问题。数学前沿问题简介 一、20世纪数学研究的简单回顾 记者：林先生，您好。首先我们非常感谢您在百忙之中抽出时间接受这次访谈，为全国中小学教师介绍有关数学学科前沿的一些基本情况。科学研究跨入了新世纪的门槛，我们看到，各门学科一方面在回顾学科发展历程，另一方面也在展望本学科的发展前景。您从1956年进入中科院正式从事数学研究工作，到现在已经将近半个世纪，在这半个世纪里，您一直奋斗在数学研究的前沿。您能根据您这么多年对数学的研究，回顾一下20世纪数学的发展历程，在这个历程中，数学研究有哪些重大进展和重大成就？ 林群：据您所说的，站在数学内部看，上个世纪的数学必须归结到1900年8月6日，在巴黎召开的第二届国际数学家大会代表会议上，38岁的德国数学家希尔伯特(Hilbert, 1862--1943)所发表的题为《数学问题》的著名讲演。他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势，提出了23个最重要的数学问题。这23个问题通称希尔伯特问题。这一演说成为世界数学史发展的里程碑，为20世纪的数学发展揭开了光辉的一页。在这23个问题中，头6个问题与数学基础有关，其他17个问题涉及数论、不定积分、二次型理论、不变式理论、微分方程、变分学等领域。 到了1905年，爱因斯坦创立了狭义相对论（事实上，有两位数学家，庞加莱和洛伦兹也已经走到了相对论的门口），1907年，他发现狭义相对论应用于物理学的其他领域都很成功，唯独不能应用于万有引力问题。为了解决这个矛盾，爱因斯坦转入了广义相对论的研究，并很快确立了“广义相对论”和“等效理论”，但数学上碰到的困难使他多年进展不大。大约在1911年前后，爱因斯坦终于发现了引力场和空间的几何性质有关，是时空弯曲的结果。因此爱因斯坦应用的数学工具是非欧几何。1915年，爱因斯坦终于用黎曼几何的框架，以及张量分析的语言完成了广义相对论。 还有您讲的德国女数学家诺特（Emmy Noether 1882~1935）发表的论文《Idealtheorie in Ringbereiche（环中的理想论）》标志着抽象代数现代化开端。她教会我们用最简单、最经济、最一般的概念和术语去进行思考：如同态、理想、算子环等等。 还有其它许多数学大成果。偷懒一点说，20世纪近50名菲尔兹数学奖得主的工作都是数学内部的大成果。但从数学以外，或从推动社会发展这个角度来看，也许与计算机的算法研究有关的数学，更有影响。这种研究发生在第二次世界大战前后，有三位数学家（图灵、哥德尔、冯.诺依曼），而不是工程师，由于对于计算机的诞生、设计和发展起了奠基和指导的作用，因此被列入20世纪“百年百星”的名单中。另外两位获得诺贝尔奖的纯数学家（康托洛维奇、纳什）也是与算法研究（或军事数学）有关，后者被拍成电影，刚获得奥斯卡奖。我国首届国家最高科技奖（不是数学奖）得主吴文俊的工作也包括了算法的研究。有一次在中国十大科技进展中有一项数学家堵丁柱的工作，也是有关算法的。值得注意的是，这些人都没有获得菲尔兹奖。 与算法研究（或军事数学）有关的，还有筹学、密码学以及大规模科学工程计算 等等。我怎么会有一个模模糊糊的感觉（被吴文俊感染的？），好象二十世纪中，以算法为主干的数学研究对于外部世界，科技和军事，有相当直接的影响。本世纪（信息、材料、生物）是否还会如此？等着瞧！ 二、数学研究领域的重大难题 记者：刚才林院士为我们勾勒了二十世纪数学研究的图景。应该说在20世纪，无论是经典的数学分支，还是新兴的数学分支，都取得了相当大的进展。然而我们也看到，在数学研究的历程中，存在诸多遗憾，有多难题至今没有解决，或者没有得到完美的解决。林先生，在数学研究当中，您认为在数学领域存在着哪些重大难题？ 林群：至于难题，应该说解决需要很大的决心，我以为我们科研工作者能做好自己的本职工作，上个世纪没有解决的难题，这个世纪也未必可以解决。应该说二十世纪是数学大发展的世纪。从报道上看，数学的许多重大难题得到了解决，如费尔玛大定理的证明，有限单群分类工作的完成等，从而使数学的基本理论得到空前发展。 计算机的出现是20世纪数学发展的重大成就，同时极大推动了数学理论的深化和数学在社会和生产力第一线的直接应用。回首20世纪数学的发展，象您所说的，数学家们深切感谢20世纪最伟大的数学大师大卫•希尔伯特。正如我们在开始谈到的，希尔伯特在1900年8月8日于巴黎召开的第二届世界数学家大会上的著名演讲中提出了23个数学难题。希尔伯特问题在过去百年中激发数学家的智慧，指引数学前进的方向， 其对数学发展的影响和推动是巨大的，无法估量的。 效法希尔伯特，许多当代世界著名的数学家在过去几年中整理和提出新的数学难题，希望为新世纪数学的发展指明方向。 数学界也爱搞点新闻效应，2000年初美国克雷数学研究所的科学顾问委员会选定了七个“千年大奖问题”， 克雷数学研究所的董事会决定建立七百万美元的大奖基金，每个“千年大奖问题”的解决都可获得百万美元的奖励。克雷数学所“千年大奖问题”的选定，其目的未必是为了形成新世纪数学发展的新方向，而是集中在对数学发展具有中心意义、数学家们梦寐以求而期待解决的重大难题。 2000年5月24日，千年数学会议在著名的法兰西学院举行。会上，1998年费尔兹奖获得者伽沃斯（Gowers）以“数学的重要性”为题作了演讲，其后，塔特（ Tate）和阿啼亚 (Atiyah) 公布和介绍了这七个“千年大奖问题”。克雷数学研究所还邀请有关研究领域的专家对每一个问题进行了较详细的阐述。克雷数学研究所对“千年大奖问题” 的解决与获奖作了严格规定。 每一个“千年大奖问题”获得解决并不能立即得奖。任何解决答案必须在具有世界声誉的数学杂志上发表两年后且得到数学界的认可，才有可能由克雷数学研究所的科学顾问委员会审查决定是否值得获得百万美元大奖。 这七个“千年大奖问题”是：NP 完全问题，郝治（Hodge） 猜想，庞加莱（Poincare） 猜想，黎曼（Rieman ）假设，杨－米尔斯 (Yang-Mills) 理论, 纳卫尔－斯托可（Navier-Stokes）方程，BSD（Birch and Swinnerton-Dyer）猜想。 “千年大奖问题”公布以来，在世界数学界产生了强烈反响。这些问题都是关于数学基本理论的，但这些问题的解决将对数学理论的发展和应用的深化产生巨大推动（第一个问题就是关于计算机算法的一个基本理论）。认识和研究“千年大奖问题”已成为世界数学界的热点。不少国家，包括我国数学家，正在组织联合攻关。 三、数学研究领域的重大难题（续） 数学领域其他的难题可以说层出不穷，根据您提供的信息，简单的至少有以下几个： 第一个是哥德巴赫猜想 哥德巴赫（Goldbach）是德国一位数学家，生于1690年。1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。 公元1742年6月7日哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想： (a) 任何一个>=6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。 (<--emo&B)--> <--endemo--> 任何一个>=9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。 这就是著名的哥德巴赫猜想。欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。从哥德巴赫提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些具体的验证工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, . . . . 等等。有人对33×108以内且大过6之偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想(a)都成立。但严格的数学证明尚待数学家的努力。 从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。1920年，挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比36大的偶数都可以表示为（9+9）。这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从（9+9）开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了“哥德巴赫猜想”。 目前最佳的结果是中国数学家陈景润于1966年证明的，称为陈氏定理(Chen's Theorem) 。即“任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而后者仅仅是两个质数的乘积。”通常都简称这个结论为大偶数可表示为 “1 + 2 ”的形式。 在陈景润之前，关于偶数可表示为 s个质数的乘积 与t个质数的乘积之和（简称“s + t”问题）之进展情况如下： 1920年，挪威的布朗(Brun)证明了 “9 + 9”。 1924年，德国的拉特马赫(Rademacher)证明了“7 + 7”。 1932年，英国的埃斯特曼(Estermann)证明了 “6 + 6”。 1937年，意大利的蕾西(Ricei)先后证明了“5 + 7”, “4 + 9”, “3 + 15 ”和“2 + 366”。 1938年，苏联的布赫•夕太勃(Byxwrao)证明了“5 + 5”。 1940年，苏联的布赫•夕太勃(Byxwrao)证明了 “4 + 4”。 1948年，匈牙利的瑞尼(Renyi)证明了“1 + c”，其中c是一很大的自然数。 1956年，中国的王元证明了 “3 + 4”。 1957年，中国的王元先后证明了 “3 + 3 "和 "2 + 3”。 1962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩(BapoaH)证明了 “1 + 5”，不久，潘承洞和王元又证明了“1 + 4”。 1965年，苏联的布赫•夕太勃(Byxwrao)和小维诺格拉多夫(BHHopappB)，以及意大利的朋比利(Bombieri)证明了“1 + 3 ”。 1966年，中国的陈景润证明了“1 + 2”。 最终会由谁攻克“1 + 1”这个难题呢？现在还无法预测，不过，王元最近有一个演讲，说英国数学家正在绕道探讨，但愿有希望。 图1 大数学家欧拉 图2 青年人的榜样、 中国著名数学家陈景润 图3 著名数学家王元 图4法国数学家韦达 图6法国数学家达朗贝尔 第二个是连续统之谜 （注：文中将阿拉夫零记为alf(0)，阿拉夫一记为alf(1)，依次类推…） 由于alf(0)是无穷基数，阿拉夫是有异于有限运算的神奇运算，因而，以下的结果也不足为怪： alf(0)+ 1 = alf(0) alf(0) + n = alf(0) alf(0) + alf(0) = alf(0) alf(0) n = alf(0) alf(0) alf(0) = alf(0) alf(0)是自然数集的基数。一个无穷基数，只要是可数集，其基数必为alf(0)。由可排序性，可知如整数集、有理数集的基数为alf(0)；或由它们的基数为alf(0)，得它们为可数集。而实数集不可数（可由康托粉尘线反证不可数）推之存在比alf(0)更大的基数。乘法运算无法突破alf(0)，但幂集可突破： = alf(1)。可以证明实数集的基数card(R) = alf(1)。进而，阿拉夫“家族”一发而不可收： = alf(2); = alf(3); …… alf(2)究竟有何意义？人们冥思苦想，得出空间所有曲线的数目。但而后的alf(3)，人类绞尽脑汁，至今未能道出眉目来。此外，还有一个令人困惑的连续统之谜：“alf(0)与alf(1)之间是否还存在另一个基数？” 公元1878年，康托提出了这样的猜想：在alf(0)与alf(1)之间不存在其它的基数。但当时康托本人对此无法予以证实。 公元1900年，在巴黎召开的第二届国际数学家会议上，德国哥庭根大学教授希尔伯特提出了举世闻名的23个二十世纪须攻克的数学问题中，连续统假设显赫的排在第一个。然而这个问题的最终结果却是完全出人意料的。 公元1938年，奥地利数学家哥德尔证明了“连续统假设决不会引出矛盾”，意味着人类根本不可能找出连续统假设有什么错误。1963年，美国数学家柯亨居然证明了“连续统假设是独立的”，也就是说连续统假设根本不可能被证明。 哥德尔的工作太重要了，冯.诺依曼就是受他的影响来设计计算机。 用四种颜色着色；随后又推进到了50国。看来这种推进仍然十分缓慢。电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程。1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。四色猜想的计算机证明，轰动了世界。它不仅解决了一个历时100多年的难题，而且有可能成为数学史上一系列新思维的起点。不过也有不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们还在寻找一种简捷明快的书面证明方法。 第四个是几何的三大问题 平面几何作图限制只能用直尺、圆规，而这里所谓的直尺是指没有刻度只能画直线的尺。用直尺与圆规当然可以做出许多种图形，但有些图形如正七边形、正九边形就做不出来。有些问题看起来好像很简单，但真正做出来却很困难，这些问题之中最有名的就是所谓的三大问题。 几何三大问题是 : 1.化圆为方：求作一正方形使其面积等于一已知圆； 2.三等分任意角； 3.倍立方：求作一立方体使其体积是一已知立方体的二倍。 圆与正方形都是常见的几何图形，但如何作一个正方形和已知圆等面积呢？若已知圆的半径为1则其面积为π，所以化圆为方的问题等于去求一正方形其面积为π，也就是用尺规做出长度为 的线段（或者是π的线段）。 三大问题的第二个是三等分一个角的问题。对于某些角如 ，三等分并不难，但是否所有角都可以三等分呢？例如 ，若能三等分则可以做出 的角，那么正18边形及正九边形也都可以做出来了（注：圆内接一正十八边形每一边所对的圆周角为 ）。其实三等分角的问题是由求作正多边形这一类问题所引起来的。 第三个问题是倍立方。埃拉托塞尼（公元前276年~公元前195年）曾经记述一个神话提到说有一个先知者得到神谕必须将立方形的祭坛的体积加倍，有人主张将每边长加倍，但我们都知道那是错误的，因为体积已经变成原来的8倍。 这些问题困扰数学家一千多年都不得其解，而实际上这三大问题都不可能用直尺圆规经有限步骤可解决的。 1637年笛卡儿创建解析几何以后，许多几何问题都可以转化为代数问题来研究。1837年旺策尔(Wantzel)给出三等分任一角及倍立方不可能用尺规作图的证明。1882年林得曼（Linderman）也证明了π的超越性（即π不为任何整数系数多次式的根），化圆为方的不可能性也得以确立。 五、数学研究领域的重大难题（续） 第五个是费马最后定理 被公认执世界报纸牛耳地位的纽约时报于1993年6月24日在其一版头题刊登了一则有关数学难题得以解决的消息，那则消息的标题是《在陈年数学困局中，终于有人呼叫“我找到了” 》 。时报一版的开始文章中还附了一张留着长发、穿着中古世纪欧洲学袍的男人照片。这个古意盎然的男人，就是法国的数学家费马（Pierre de Fermat）（费马小传请参考附录）。费马是十七世纪最卓越的数学家之一，他在数学许多领域中都有极大的贡献，因为他的本行是专业的律师，为了表彰他的数学造诣，世人冠以“业余王子”之美称，在三百六十多年前的某一天，费马正在阅读一本古希腊数学家戴奥芬多斯的数学书时，突然心血来潮在书页的空白处，写下一个看起来很简单的定理。这个定理的内容是有关一个方程式 的正整数解的问题，当n=2时就是我们所熟知的毕氏定理（中国古代又称勾股弦定理）： ，此处z表示一直角形之斜边，而x、y为其之两股，也就是一个直角三角形之斜边的平方等于它的两股的平方和，这个方程式当然有整数解（其实有很多），例如：x=3、y=4、z=5；x=6、y=8、z=10；x=5、y=12、z=13……等等。费马声称当n>2时，就找不到满足 的整数解，例如：方程式 就无法找到整数解。 当时费马并没有说明原因，他只是留下这个叙述并且也说他已经发现这个定理的证明妙法，只是书页的空白处不够无法写下。始作俑者的费马也因此留下了千古的难题，三百多年来无数的数学家尝试要去解决这个难题却都徒劳无功。这个号称世纪难题的费马最后定理也就成了数学界的心头大患，极欲解之而后快。 十九世纪时法国的法兰西斯数学院曾经在1815年和1860年两度悬赏金质奖章和三百法郎给任何解决此难题的人，可惜都没有人能够领到奖赏。德国的数学家佛尔夫斯克尔（P•Wolfskehl）在1908年提供十万马克，给能够证明费马最后定理是正确的人，有效期间为100年。其间由于经济大萧条的原因，此笔奖额已贬值至七千五百马克，虽然如此仍然吸引不少的“数学痴”。 二十世纪电脑发展以后，许多数学家用电脑计算可以证明这个定理当n为很大时是成立的，1983年电脑专家斯洛文斯基借助电脑运行5782秒证明当n为286243-1时费马定理是正确的（注286243-1为一天文数字，大约为25960位数）。 虽然如此，数学家还没有找到一个普遍性的证明。不过这个三百多年的数学悬案终于解决了，这个数学难题是由英国的数学家威利斯（Andrew Wiles）所解决的。其实威利斯是利用二十世纪过去三十年来抽象数学发展的结果加以证明的。 50年代日本数学家谷山丰首先提出一个有关椭圆曲现的猜想，后来由另一位数学家志村五郎加以发扬光大，当时没有人认为这个猜想与费马定理有任何关联。在80年代德国数学家佛列将谷山丰的猜想与费马定理扯在一起，而威利斯所做的正是根据这个关联论证出一种形式的谷山丰猜想是正确的，进而推出费马最后定理也是正确的。这个结论由威利斯在1993年的6月21日于英国剑桥大学牛顿数学研究所的研讨会正式发表，这个报告马上震惊了整个数学界，就是数学门墙外的社会大众也寄以无限的关注。不过威利斯的证明马上被检验出有少许的瑕疵，于是威利斯与他的学生又花了十四个月的时间再加以修正。1994年9月19日他们终于交出完整无瑕的解答，数学界的梦魇终于结束。1997年6月，威利斯在德国哥庭根大学领取了佛尔夫斯克尔奖。当年的十万法克约为两百万美金，不过威利斯领到时，只值五万美金左右，但威利斯已经名列青史，永垂不朽了。 要证明费马最后定理是正确的（即 对n>3 均无正整数解），只需证 和 (P为奇质数)都没有整数解。 六、数学研究领域的重大难题（续） 第六个是七桥问题（一笔画问题） 当欧拉（Euler）在1736年访问Konigsberg, Prussia(now Kaliningrad Russia)时，他发现当地的市民正从事一项非常有趣的消遣活动。Konigsberg城中有一条名叫Pregel的河流横经其中，在河上建有七座桥如图所示: 这项有趣的消遣活动是在星期六作一次走过所有七座桥的散步，每座桥只能经过一次而且起点与终点必须是同一地点。Euler把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地的桥以线表示，便得如下的图形: 后来推论出此种走法是不可能的。他的论点是这样的：除了起点以外，每一次当一个人由一座桥进入一块陆地（或点）时，他（或她）同时也由另一座桥离开此点。所以每行经一点时，计算两座桥（或线），从起点离开的线与最后回到始点的线亦计算两座桥，因此每一个陆地与其他陆地连接的桥数必为偶数。七桥所成之图形中，没有一点含有偶数条数，因此上述的任务是不可能实现的。数学难题我大概就谈这么多。参考资料：网络收集