反舍于鲁
数学研究固然经常需要整套整套艰深的理论,但是也有一些短小精干的片段,只要你抓到了要领,想得够机巧,一下就能把看起来难如登天的问题解决掉。在这种地方,是最能见到数学神妙动人的本质了。我现在想举几个这样的小例子。 首先让我讲一段匈牙利天才数学家波沙 (Louis Pósa) 的故事。一九五九年当波沙十一岁时,著名的匈牙利数学家艾尔地希 (Paul Erdös) 经人介绍认识了他,便请他一同去吃午饭。当波沙正在喝汤时,艾尔地希就出了个题目想考考他的真本领有多大,他说:「波沙啊,你能不能证明假如有 n+1 个小於或等於 2n 的正整数,则它们中间必有一对数是互质的?」显然易见这个问题对 n 个数便不对,因为 2,4,6,…,2n 这 n 个数绝没有一对是互质的,而当初艾尔地希发现如此小小的定理时,还花了十分钟去找一个真正简单的证明。但是波沙继续喝著他的汤,还没过半分钟便答道:「如果你有 n+1 个小於或等於 2n 的正整数,总会有两个是相邻的,当然它们俩是互质的了。」这不是跟大数学家高斯七岁时便能一下算出 1 加到 100 相媲美吗?事质上匈牙利这麼一个小小的国家,本世纪可真出了不少大数学家,主要是因为他们非常重视中小学的数学教育,不仅有数学天才的专门中学,校际以及电视上的数学竞试,而且还有一份有八十多年历史,专门给中学生看的数学杂志,希望我们的《数学传播》也能发挥同样的作用。 第二个例子是有关用边长为 1 与 2 的矩形骨牌,覆盖边长为8的西洋棋棋盘。大家都知道如果你把棋盘的右上角与左下角截掉,就无法用 31 块骨牌来盖满。(参看图一) --------------------------------------------------------------------------------图一 --------------------------------------------------------------------------------图二 因为截去的两角均为黑色,而一块骨牌必须同时盖住一黑格一白格,现在有 30 个黑格,32 个白格,只好「没法度」了。(这还是六十五年台大数学研究所博士班的考题呢!请参看《数学传播》第一卷第二期144页)但是如果我们任意割掉一黑格一白格,剩下的棋盘是不是一定可以用 31 块骨牌盖住呢?这个问题就不那麼容易回答了。当然你可以画几个例子看,然而试试给一个证明说它可以,或是给一个反例说它不可以!这个问题的解答其实是正面的,然而最初的证明建立在图像的配对理论上,相当的艰深。几年前美国 IBM 的一位数学家高莫瑞 (Ralph Gomoy) 想到了一个证明,简直是不费吹灰之力便达到目的了。如图二中,我们在棋盘上放一个向上的三叉戟,一个向下的四叉戟,那麼我们沿著「迷宫」走一圈,一定可以回到原来的出发点,也就是说这两把戟一放,我们便给所有的方格一个循环性的次序。假设我们现在把 A 与 B 两格割掉,就有两条路从 A 走到 B,但是沿著任何一条路,总是黑白相间的走。这就证明了在这个「迷宫」中,对任何一对颜色相异的方格而言,它们之间的通道上有偶数个方格。因此骨牌便可一块一块的盖上去,空间是一定够了,就怕转弯时转不过来。但是因为骨牌可以直放,也可以横放,所以转弯的地方并不会发生麻烦,於是沿著从 A 到 B 的两条通道一路盖过去,终究是要把有洞的棋盘刚刚好盖满的。 在《数学传播》第一卷第四期中,黄光明先生有一篇〈组合学漫谈〉,曾经提到「汉弥尔顿圈」。原来在一八五○年代,爱尔兰的著名数学家汉弥尔顿 (Sir William Rowan Hamilton) 发明了一个小游戏:假如我们手头有一个正十二面立体,每个顶点当作世界上一个著名的城市,试试看从任一城市出发,沿著稜线经过所有城市再回到原地,不过除了出发点,每一个城只能经过一次。汉弥尔顿把这个游戏叫做「环游世界」,并且以二十五英镑卖给了玩具商。 --------------------------------------------------------------------------------图三 如果我们在图三中,把左边的 ABCDE 正五边形戳一个洞,将整个立体摊开成右边的平面图形,就不难看出如何画汉弥顿圈的方法了。但是如果我们的十二面体的每一面不是一个正五边形,而是一个菱形的话,还能不能找到汉弥尔顿圈呢?加拿大的著名的几何学家科克斯特 (H.S.M. Coxeter) 很巧妙的证明了没有这种图存在。 --------------------------------------------------------------------------------图四 如图四中所示,每一个顶点要麼有三条边来相会,要麼有四条边来相会,而且与三边点相邻的是四边点,与四边点相邻的是三边点。所以假如有一条弥尔顿圈。则它必须相间的经过三边点与四边点,因此要通过 14 个顶点,这种圈上必须有 7 个三边点 7 个四边点。但是不幸的是我们现在只有 6 个四边点,所以「汉弥尔顿圈」是注定找不著了。