对门儿
只要证明f^2(x)是一致连续的就可以了。对任意的e>0,存在X,当B>A>=X时,有∫ (从A到B)f^2(x)dx<e/(4C^2);于是由Cauchy-Schwartz不等式,对任意的0<B--A<=1,有1/4*|f^2(B)--f^2(A)|^2=|∫ (从A到B)f(x)f'(x)dx|^2<=∫ (从A到B)f^2(x)dx* ∫ (从A到B) (f‘(x))^2dx <=e/(4C^2)*C^2*(B--A)<e/4,即|f^2(B)--f^2(A)|<根号(e)。在【0,X】上f^2(x)一致连续,故存在d1,使得对任意的A,B位于【0,X+1】,有|f^2(A)--f^2(B)|<根号(e);取d=min{d1,1},则可以证明,对任意的A,B位于【0,+无穷),只要|A--B|<d,必有|f^2(A)--f^2(B)|<根号(e),于是f^2(x)一致连续。