噫嘻
利用不等式 n次根下(x1x2...xn)<= (x1+x2+...+xn)/n下面就可以用数列极限的定义证明了. 对于任意的正数ε,因为lim(n-->∞)xn=0, 所以必存在一个N',当n>N'时有|xn-0|<ε/2.当n>N'时,有(x1+x2+...+xN')/n+(x(N'+1)+...+xn)/n<(x1+x2+...+xN')/n+[(n-N')ε/2]/n<<(x1+x2+...+xN')/n+ε/2又(x1+x2+...+xN')/n-->0,所以对于上面的ε,存在一个N'', 当民>N''时,有(x1+x2+...+xN')/n<ε/2, 取N=max{N',N''},则当n>N时有0<(x1+x2+...+xn)/n=(x1+x2+...+xN')/n+(x(N'+1)+...+xn)/n<ε/2+ε/2=ε.由数列极限的定义知lim(n-->∞)(x1+x2+...+xn)/n=0.