胡宏
去百度文库,查看完整内容>内容来自用户:好读书不求甚解考点:凹凸性与拐点1.凹凸性与拐点的定义定义1设f(x)在区间a,b上连续,如果对x1,x2a,b,且x1x2时,恒有f(x1+x2)()f(x1)+f(x2),则称f(x)在a,b上的图形是凸(凹)的.22定义2连续曲线f(x)的凹与凸的分界点(x0,f(x0))称为曲线的拐点.定理1设f(x)在区间a,b上连续,在(a,b)内二阶可导,若f(x)(0f(x)0),则称f(x)在a,b上的图形是凸(凹)的.定理2(必要条件)若(x0,f(x0))是曲线y=f(x)的拐点,则f(x0)=0或f(x0)不存在.定理3(第一判别法)设f(x)在x0处连续,在x0的某去心邻域二阶可导.(1)若f(x)在x0两侧变号,则(x0,f(x0))是拐点;(2)若f(x)在x0两侧不变号,则(x0,f(x0))不是拐点.定理4(第二判别法)设f(x)在x0处三阶可导,f(x0)=0.(1)若f(x0)0,则(x0,f(x0))是拐点;(2)若f(x0)=0,则(x0,f(x0))可能是拐点,也可能不是拐点.例1求曲线y=x4(12lnx−7)的凹凸区间.例2证明曲线y=xx2−1+1有三个拐点位于同一直线上.例3设y(x)由参数方程xy==t3t3+3t−3t+1确定,则曲线y+1=y(x)的拐点是____.考点:不等式与方程根例1证明:当x0时,ln1+1x