贵因
2 基于弗洛奎均匀化理论的纤维束模量计算理论介绍2.1 研究对象在数百万年的进化史中,产生了丰富多彩的天然材料和形式各异的结构。其中,各种各样的纤维束拥有出色的力学性质。它们在刚度,强度和断裂韧性这三个重要的力学特性之间表现出了极佳的平衡。根据已有研究,纤维束之所以拥有这样优异的力学性质,归因于从分子尺度到宏观尺度的分层微观结构。这些材料中的最小基元是镶嵌在柔软基质中的单一纤维。在各种力学行为机理中,最重要的机制是纤维和基质之间的应力传递,而这种传递是由剪切相互作用引入的。在基于弗洛奎均匀化理论的纤维束模量计算理论中,我们可以描述获得当纤维束截面上有M 条纤维任意分布时的等效杨氏模量。为了获得这个一般理论,我们有如下的假定:(1)假定纤维束由一个基本单元循环所得。(2)该纤维束单元由S 个子段组成,且每段具有均匀的物理性质(包括杨氏模量和剪切相互作用系数)。(3)虽然我们所研究系统的结构是三维的,但是系统的弹性场(包括应力、应变、位移)仅仅是纵向方向坐标的位置函数,因而我们可以将整个系统视作为一个一维的系统加以研究。(4)我们的整个研究基于线性弹性模型,因此这个方法也只适用于具有线弹性性质的纤维和基质。现在让我们引入条纤维组成的周期性异质纤维束结构,其周期长度为。我们假设每个周期单元都是由个长度为均匀段组成,此外,我们假定所有的纤维都具有完全相同的横截面。模型图图示如下所示。2.2 理论推导对于周期性异质纤维束结构单元内的任何物性相同的部分,我们可以写出其相应的应力—位移相互作用方程如下。(2.1)(2.2)方程中符号的含义如下:为第条纤维的纵向应力(纵向即纤维伸长方向)。为第条纤维的纵向位移。为第条纤维与第条纤维之间的相互作用系数。为第条纤维的杨氏模量(这里要注意,它也是纵向位置的函数)。上述公式中与的取值范围是也就是仅考虑在一个周期单元之内。方程(2.1)表示的是每条纤维的力的平衡,方程(2.2)表示的是由杨氏模量所控制的纤维的线性响应。考察等式(2.1)的右侧的求和。当时,意味着把作用力作用到第条纤维上,同时把作用力作用到第条纤维上。由此可见,若令组成一个矩阵,则矩阵为对称矩阵,而且。显然,与横截面上纤维排列组合的方式有密切的关联。当然,由于与都是与纤维束的分段相互关联的,所以我们的方程在整个系统内可以描述物理上的异质性。上面提到的方程是针对周期性异质纤维束结构单元内任何同质的分段而得的,如果考虑周期内所有的分段,我们可以给出下面的用矩阵描述的系统方程其中表示系统内的一个状态向量(T表示矩阵的转置),表示第段内各条纤维之间的力的相互作用,具体将之写出便如下。于是我们得到了针对周期性异质纤维束结构周期单元内段的个线性微分方程。这里我们要强调的是,周期性异质纤维束结构的应力和位移组成的状态向量必须在任何段的界面交接处保证其连续性,也就是说,我们认为相邻的段与段之间应该满足理想的接触。于是显而易见,考察我们所研究的对象的基础方程,我们会发现,在整体上,我们实际上是在处理一个典型的Floquet系统。Floquet系统的系统方程为这个方程对于整个周期性异质纤维束结构都是有效的。其中,也就是说在我们所研究的整个结构中存在着周期。如果详细一点分析,也就意味着在周期单元的第一段()内有,在第二段()内有,以此类推即可。为了计算结构的等效杨氏模量,我们需要引入一个新的系统状态向量。我们不妨这样思考,纤维的纵向位移可以分为两个部分。第一部分是由均匀应变所引起的总位移场,这是一个线性项。第二部分是由物理异质性结构的松弛引起的,是一个附加扰动项,松弛的原因是纤维之间的位移是不均匀的,从而导致纤维之间发生了剪切。通过上述分析,我们可以将纤维的纵向位移分解为下面的式子式子中符号的含义是:表示结构整体的应变;表示物理异质性结构因为松弛所引起的附加的扰动。这里有一点要注意的是,在结构发生了松弛以后,我们必须保证所有纤维在最后的长度是一样的。于是很容易想到,附加扰动也应该是一个周期函数。它的周期即为纤维束的周期。因此我们可以定义一个新的系统状态向量如下。于是我们有进一步我们可以得到其中,,则是一个单位矩阵。当我们注意到矩阵的特点之后,我们很容易得到关系式于是我们可以将前面所得的方程进一步进行化简,得到。我们从数学的观点出发来考察这个方程,会发现这是带有一个附加常数的Floquet方程。下面先让我们来定义纤维束结构的等效杨氏模量,定义如下为了后面推导的方便,我们定义向量,于是我们可以将上面的式子改写为。由此可见,我们推导的关键在于求解。现在先让我们考虑一个一般的Floquet系统(没有常数项),系统方程如下。根据Floquet系统的求解方法,其特解总是可以表达为。对于我们所研究的,带有一个附加常数的Floquet系统,由相应的理论,可以得到其一般解为。我们令,于是可得。不难理解,应该为周期函数,其周期亦为,由此我们可以得到的式子如下其中为Moore-Penrose伪逆。为了进一步化简上式,我们定义一个新的量。于是之前定义的等效杨氏模量可以改写为。因此现在我们求解的关键在于。先让我考虑一般的Floquet系统于是我们可以求得。进行积分,我们可以得到(2.3)这里。现在我们从另一个角度,定义矩阵。通过求解微分方程,我们可以得到一个矩阵函数。于是进行求积(2.4)我们也可以将上式进行化简。通过比较式(2.3)与式(2.4),我们最终可以得到等效杨氏模量的表达式。3 纤维束等效杨氏模量及应力分布的计算方法与编程3.1 研究对象从本章开始,为本论文的主要内容。对于当前碳纳米管材料的研究,弱界面以及交错模式的选择仍是限制碳纳米管材料发展的重要一环。在绪论中我们谈到,将仿生的结构引入到碳纳米管纤维的设计之中,增强界面之间的连接以改善碳纳米管纤维的力学性能,是当今研究碳纳米管纤维界面研究的一个新兴的手段。人们通过化学的方法,在碳纳米管纤维之间引入共价交联,这些交联有效地改善了碳纳米管纤维束的力学性能。当我们引入共价交联之后,就有两个重要的问题:共价交联的密度是多少?共价交联如何分布?这两个方面都会深刻地影响整个碳纳米管纤维束的力学性能。下面先来构建本文的研究模型。先观察一下软件模拟的含共价交联的碳纳米管纤维束模型(如图)。图中蓝色的管状体为碳纳米管,而碳纳米管之间的红色连接即为共价交联。本文从简单的角度出发,构建研究模型如图所示。模型由上下两条碳纳米管纤维构成。纤维被分为许多段,分段可以是均匀的,也可以是不均匀的。纤维之间分布有共价交联(也就是黄色的部分,分布在段内),由于共价交联,上下两条碳纳米管之间产生相互作用。整个模型的边界条件是:上端纤维的左端固定,下端的纤维右端受有作用力。上下两条碳纳米纤维的杨氏模量相同。