逆向思维让数学复习变得简单

>一、内容1.二阶常系数齐次线性微分方程的解为什么是这个样子?尽管二阶常系数齐次和非齐次线性微分方程考纲有明确要求，但我相信仍不少考生没有思考过这个问题。他们可能觉得微分方程会识别类型，记住解法就行了，没必要知道为什么要这样解。有的老师也给学生建议：“像背单词一样把二阶常系数齐次和非齐次线性微分方程的解法背下来”。这样有个问题：很容易忘。如何对抗遗忘?思考!多思考，找到知识之间的联系就不容易忘了。如何思考?提问是思考的一个开端。拒绝机械地记忆，能简单推导的可以推导不好推导的，可以“理解性地记忆”。比如上面的问题，咱们可以把三种形式的解代入微分方程中算算，对理解，对记忆都有帮助。2.考研数学中有不少“推广”，有多少同学总结过这些吗：有多少推广?推广前后有哪些相同和不同?(1)一维随机变量与多维随机变量在学习多维随机变量时，我们可以先回顾一维随机变量的内容。那么，关于一维随机变量我们学习了哪些内容呢?首先是定义，什么是随机变量?随机变量是定义在样本空间上的函数(与高数中的函数不同)。它的作用是把随机试验的可能结果数量化了，便于用数学工具处理。那么什么是二维随机变量(多维我们主要考虑二维)?就是把两个定义在同一个样本空间上的随机变量放在一起考虑，或者说是定义在样本空间上的向量值函数。继续回忆：如何描述一个随机变量X?通用的工具是不是分布函数?分布函数F(x)是什么?它是概率，是随机变量X落入(负无穷,x]这个区间的概率。那么推广过来，我们要描述一个二维随机变量(X,Y)，也可以用分布函数。一维对应着一元函数F(x)，二维自然对应二元函数F(x,y)一维分布函数是X落入一个区间的概率，相应地二维分布函数是(X,Y)落入一个区域的概率，与(负无穷,x]这个区间对应，这个区域是(负无穷,x]乘(负无穷,y]。在讨论了分布函数的概念后，我们可以进一步讨论分布函数的性质。思考一下，一维随机变量的分布函数有哪些性质?“单调不减”，“0,1之间”和“右连续”，并且这三条性质合起来是一个函数可以作为某个随机变量的分布函数的充要条件。那么推广一下，不难得到二维随机变量的分布函数的性质，有需要注意的地方吗?第一条和第三条性质需要加上“关于x”(或者“关于y”)。“关于”是什么意思?就是把另一个变量固定，再考虑问题。第二条性质推广前的部分内容是F(正无穷)=1，F(负无穷)=0，推广之后变为F(正无穷,正无穷)=1，F(负无穷，y)=0，F(x,负无穷)=0，F(负无穷,负无穷)=0。为什么会这样?关键在F(x,y)中那个逗号，是“且”的意思。还有一条性质可以结合图形来理解，考得不多。当然二维随机变量的分布函数的这几条性质是否是充要条件?这点考研不要求。我们知道，描述一维随机变量，除了分布函数外，还有分布律和概率密度。它们是与离散型和连续型随机变量对应的。那么二维随机变量是否也有离散型和连续型，也有相应的分布律和概率密度?对应推广过来不就行了?下面的这些“推广”，你能否自己总结?(2)一元函数极限与二重极限(3)一元函数连续与二元函数连续(4)一元函数可微与多元函数可微(5)定积分与二重积分(6)二重积分与三重积分3.学数学同时也学了英语，理解了汉语同时也记住了数学符号。这状态听起来不错，要不要试一下?(1)微分的符号为什么是“d”?为什么常用“I”表示一个定积分?矩阵转置的符号为什么是“T”?“d”是微分的英文differential的首字母“I”是积分的英文integral的首字母“T”是转置的英文transpose的首字母。(2)微分方程的类型不少，你能根据名字识别它们吗?关于微分方程，我们在基础阶段要掌握的是识别和求解。对于可分离变量的微分方程，如何识别?关键信息就在它的名字中––“可分离变量”。如果所给微分方程的x和y是完全可以分开的，那么这就属于此类方程。它的解法也与名字“可分离变量”直接相关––通过恒等变形把x和y的式子移到等式的两边，然后两边求不定积分即可。对于齐次微分方程，也可以通过名称识别：齐次是什么意思?字面含义是次数相等。“齐次微分方程”的“齐次”指方程的每一项关于x、y次数都相等，如x的平方，x乘y，y的平方均为二次项(注意“齐次线性方程组”中的“齐次”是指每个方程的每一项关于x的次数相等“二阶常系数齐次线性微分方程”中的“齐次”指微分方程的每一项关于x的次数相等(都是零次))。那么如果一个一阶微分方程，每一项x、y次数都相等，那么就属于此类型。对于一阶线性微分方程，识别的关键也在其名字––“一阶线性”。“一阶”体现在导数的最高阶数是一阶，“线性”在数学中即一次的意思，如线性函数即为一次函数，体现在微分方程关于y的导数和y是一次的，即不会出现y的导数的平方或y的导数乘以y这种非线性的项。对于二阶常系数非齐次线性微分方程，可以类似按关键字“二阶”、“常系数”、“非齐次”和“线性”理解。其实，这部分内容也可以理解成“顾名思义”。如果你也觉得挺有意思，那不妨自己主动去发现。4.有时，我们可以用联想把数学和其它学科联系起来，体会某种“异质同构”的乐趣。(1)求极限的题目中，如果是这种类型的：分子分母均为若干个无穷大的加减，可以用“抓大头”这种方法。所谓“抓大头”就是原极限等于从分子分母中分别抓出起决定作用的无穷大再算极限。这种做法是不是用点像“射人先射马，擒贼先擒王”，或者“首犯必办，胁从不论”?(2)还有一种求极限的题目，分子或分母中有一项(非因子)是幂指型函数。有同学直接把这个幂指型函数的极限算出来，再算剩余部分的极限。想想他犯了什么错误?是犯了刻舟求剑的错误，还是形而上学的错误?想想这些是不是有点意思?二、方法1.在数学上，我们学习一个新的内容，一般是按照定义、性质和计算来学习。那么大家复习时，也可以从这三个方面来进行。比如极限、连续、可导，比如行列式、矩阵、向量等。2.我们学习一种方法，可以问自己这两个问题：何时用?怎么用?把这两个问题回答完整了，这种方法也掌握得差不多了。比如不定积分的分部积分法，何时用?被积函数是两个不同类型的函数之积或者被积函数含有对数函数，反三角函数这类求导之后比自身简单的函数。怎么用?选择被积函数的一部分作为u，剩下的部分作为v的导数。那么什么样的函数适合作为u呢?我们观察分部积分公式会发现，用了公式后是要对u求导数的，那么u自然要选择求导后比自己简单的函数。所以，适合作为u的除了上面提到的两类函数外，还有多项式。那么什么样的函数作为v的导数呢?再观察分部积分公式，可以认为要用这个公式，第一步是把v的导数“往微分号d里拿”，即凑微分。所以易凑微分的函数适合作为v的导数，比如正余弦函数，指数函数等。再比如带拉格朗日余项的泰勒公式(带皮亚诺余项的泰勒公式主要用来算极限)，何时用?出现高阶导数(大于等于二阶)时。怎么用?选一个函数，选一个点，把函数在该点展开。函数的选择比较容易，一般题目中就一个函数点的选择有点讲究，一般是找给出信息比较多的点，好包含导数信息。三、其它套用电影《肖申克的救赎》中的台词：既然我们已经思考了这么多，为什么不再多思考一步呢?1.我们需要的是灵丹妙药吗?课程、辅导书和方法能给我们不小的帮助，但真正使我们能力增强的是我们的主动思考和不懈付出。2.作为准研究生的我们应当如何?研究从主动思考开始，思而去罔。>>

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